125

2.8Лекция 15

2.8.1Обобщенные функции

Рассмотрим один поучительный пример. Сейчас мы построим линейное (не нормируемое, не метризуемое!) пространство, где "сходимость" элементов также описывается в некотором слабом смысле. Кроме того, элементы данного пространства существенно увеличивают запас "функций", являющихся решениями дифференциальных и интегральных уравнений. Этот объект называется пространством обобщенных функций и интенсивно используется в математике и физике.

Определение 2.8.1. Будем говорить, что функция : R ! R

финитна	на R, если	найдется такой отрезок [a; b]	R, что
(x) =	0 для всех x	62[a; b]. Носителем функции	назовем

пересечение всех таких отрезков; мы обозначим его supp . Множество всех финитных бесконечно дифференцируемых функций на числовой оси обозначим через C01(R). Иногда это пространство называют пространством пробных функций или пространством основных функций.

Пространство C01(R) отлично от нулевого.

Пример 2.8.1. Пусть a > 0. Функция

(

(x) =	0;	2	2	);	jxj a;
	e 1=(a		x		jxj < a:

принадлежит C01(R), а ее носитель совпадает с [ a; a]. В самом деле, поскольку (x) 2 C1( a; a) и

lim (x) = 0; lim (x) = 0;

x!a

x! a+

126

то функция непрерывна на всей числовой оси. Далее, легко убедиться, что

lim	dk		(x) = 0; lim	dk		(x) = 0
x!a dxk			x! a+ dxk

для всех k 2 N.

Докажем теперь, что 2 C1(R). Для этого достаточно проверить, что все производные функции в точках a существуют и

равны нулю. Легко увидеть, что

0		0				e 1=(a2 x2)
	(a) = 0;		(a) = lim				= 0;
+			x	!	a+	x a

а значит, 0(a) = 0, и, аналогично, 0( a) = 0. В частности, функция 0 непрерывна на всей числовой оси. Доказательство завершается индукцией по порядку производной функции .

По построению, пространство C01(R) линейно над полем R.

Определение 2.8.2. Последовательность финитных бесконечно дифференцируемых функций f jgj2N называется сходящейся в C01(R), если найдутся такие функция 2 C01(R) и отрезок

[a; b] R, что
1) supp j [a; b] для всех j 2 N;
2)	supp [a; b];	k		k
3)	последовательности f	d j	gj2N сходятся к ddxk в пространстве
		dxk

C[a; b] для всех k 2 Z+.

Определим теперь пространство, сопряженное к C01(R).

Определение 2.8.3. Функционал f : C01(R) ! R называется непрерывным, если числовая последовательность ff( j)gj2N

127

сходится к f( ) в случае, когда последовательность финитных бесконечно дифференцируемых функций f jgj2N сходится в C01(R)

к элементу .

Множество всех непрерывных линейных функционалов на

C01(R) обозначим через (C01(R))0. Элементы этого множества называются обобщенными функциями или распределениями.

Пример 2.8.2. Всякая функция g, модуль которой интегрируем (по Риману или по Лебегу) на любых измеримых ограниченных подмножествах R, может быть отождествлена с некоторым элементом (C01(R))0. Более точно, определим функционал f следующим образом:

	1
f( ) =	Z	g(t) (t) dt; 2 C01(R):
	1

Данный интеграл существует для всякого 2 C01(R), поскольку носитель лежит в некотором отрезке [a; b], а значит,

j	( )j a t b j			b	j	( )j		1
			(t)	j Za			dt <		:
	f	max				g t

Это неравенство обеспечивает также и непрерывность функционала f, так как

j

j)

( )j a t b j

b

j (

)j

! 0

! 1

(

j

j Za

dt

;

f

f max

(t)

(t)

g t

; j

если только f jgj2N сходится к в C01(R) при j ! 1. Элементы (C01(R))0, порожденные интегрируемыми функция-

ми, называются регулярными обобщенными функциями. Все остальные распределения называются сингулярными.

128

Пример 2.8.3. Типичным примером сингулярной обобщенной функции служит так называемая "дельта-функция":

( ) = (0); 2 C01(R):

Линейность и непрерывность этого функционала очевидны. Справедливости ради, нужно сказать, что физики начали ис-

пользовать данную "функцию" раньше математиков. Именно, они ввели в рассмотрение следующий объект:

(t) =	( +1; x = 0;	+1
		Z	(t) dt = 1;
	0; x 6= 0;
		1

не заботясь о его формальном обосновании (как, например, понимать интеграл?).

Пример 2.8.4. Для 2 C01(R) рассмотрим следующий интеграл

	+1
	Z (t)
P ( ) = v:p:			dt
		t

1

(понимаемый в смысле главного значения). Этот интеграл также задает обобщенную функцию.

Отметим, что, как и в случае пространств, сопряженных к нормированным, множество (C01(R))0 является линейным многообразием над полем R со стандартными операциями сложения и умножения на скаляр:

(f1 + f2)( ) := f1( ) + f2( );

( f)( ) := f( ); 2 R; 2 C01(R):