209

4.4Лекция 28

4.4.1Собственные значения самосопряженных операторов

Предложение 4.4.1. Все собственные значения самосопряженного оператора A в евклидовом пространстве H действительны. Все собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. В самом деле, пусть Ax = x, kxk 6= 0, тогда

(x; x) = (Ax; x) = (x; Ax) = (x; x);

откуда = .

Далее, если Ax = x, Ay = y, причем 6= , то

(x; y) = (Ax; y) = (x; Ay) = (x; y);

откуда (x; y) = 0.

4.4.2Теорема Гильберта-Шмидта

Как мы видели в разделе 3, не всякий оператор имеет собственные вектора. Мы выделим один важный класс операторов, которые имеют достаточный запас собственных векторов, чтобы построить из них базис.

Докажем теперь спектральную теорему для компактного самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве.

Теорема 4.4.1. (Гильберт-Шмидт) Для любого компактного самосопряженного линейного оператора A в гильбертовом про-

210

странстве H существует ортонормированная система f ng собственных векторов, отвечающих ненулевым собственным значениям f ng, такая что каждый элемент x 2 H записывается единственным образом в виде

X

x = ck k + u0

k

где x0 2 ker A; при этом

X

Aux = ck k k

k

и если система f kg бесконечна, то limn!1 n = 0.

Доказательство. Для доказательства теоремы нам потребуется несколько вспомогательных утверждений.

Сначала нам потребуется следующий простой критерий компактности оператора в гильбертовом пространстве.

Лемма 4.4.1. Оператор A : H1 ! H2 в полных евклидовых пространствах H1, H2 компактен тогда и только тогда, когда он всякую слабо сходящуюся последовательность переводит в сильно сходящуюся.

Доказательство. Пусть A : H1 ! H2 – компактный оператор, а fxngn2N H1 – какая-нибудь слабо сходящаяся последовательность. Так как всякая слабо сходящаяся последовательность ограничена, то fAxngn2N содержит сильно сходящуюся подпоследовательность. С другой стороны, если x 2 H есть слабый предел fxng, то

lim (Axn; y) = lim (xn; A y) = (x; A y) = (Ax; y)

n!1 n!1

для всех y 2 H. Значит, fAxngn2N слабо сходится к Ax. Так как слабый предел совпадает с сильным, если последний существует, то

211

fAxngn2N не может иметь более одной предельной точки. Другими словами, если какая-нибудь подпоследовательность fAxnkg последовательности fAxngn2N сходится, то она сходится к Ax.

Предположим теперь, что fAxngn2N не сходится к Ax. Это значит, что существует " > 0 такое, что для любого 2 N найдется

2 N

(4.4.1) kAx Axk ":

Так как последовательность fx g ограничена, то она содержит такую подпоследовательность fx k g, что fAx k g фундаментальна. Из полноты пространства следует, что fAx k g сходится (очевидно, к Ax). Поскольку это невозможно в силу (4.4.1), то fAxngn2N

сходится сильно.

Обратно, пусть M H – ограниченное множество. Согласно следствию 2.7.1 оно содержит слабо сходящуюся подпоследовательность. Если A переводит ее в сильно сходящуюся, то A(M) пред-

компактно, а значит, A компактен.

Лемма 4.4.2. Если fxngn2N слабо сходится к x 2 H, то

lim Q(xn) = lim (Axn; xn) = (Ax; x) = Q(x):

n!1 n!1

Доказательство. В самом деле, для всякого n 2 N

j(Axn; xn) (Ax; x)j j(Axn; xn) (Axn; x)j + j(Axn; x) (Ax; x)j:

Но

j(Axn; xn) (Axn; x)j kxnkkA(xn x)k;

j(Ax; xn) (Ax; x)j = j(x; A(x xn))j kxkkA(xn x)k;

и так как числа kxnk ограничены, а limn!1 kA(xn x)k, то

lim (Axn; xn) = (Ax; x);
n!1
что и требовалось доказать.

212

Лемма 4.4.3. Если функционал jQ(x)j = j(Ax; x)j, где A

самосопряжен, линеен, ограничен и достигает на единичном шаре максимума в точке x0, то из (x0; y) = 0 вытекает, что

(Ax0; y) = (x0; Ay) = 0:

Доказательство. Ясно, что kx0k = 1. В самом деле, если

kx0k < 1, то Q(x0=kx0k) = kx1k2 Q(x0) > Q(u0), а это про-

0

тиворечит тому, что функционал Q достигает на единичном шаре максимума в точке x0.

Положим

x0 + ay

x = p ;

1 + jaj2kyk2

где a – произвольное комплексное число. Так как kx0k = 1, а

(x0; y) = 0, то

kxk2 =			x0 + ay	2	= 1:
		p

1 + jaj2kyk2

Далее,

1

Q(x) = 1 + jaj2kyk2 Q(x0) + a(Ax0; y) + a(Ax0; y) + jaj2Q(y) :

Ясно, что число a можно выбрать сколь угодно малым по модулю и таким, что a(Ax0; y) 2 R и отрицательно. Тогда, домножая правую и левую части предыдущего равенства на 1 + jaj2kvk2, мы заключаем, что

Q(x) = Q(x0) + 2a(Ax0; y) + O(jaj2):

Из последнего равенства ясно, что если (Ax0; y) 6= 0, то a 2 C

может быть выбрано настолько малым, что jQ(x)j > jQ(x0)j, что противоречит условию леммы.

213

Из леммы 4.4.3 непосредственно вытекает, что если функционал jQ(x)j достигает максимума при x = u0, то x0 есть собственный вектор оператора A. В самом деле, согласно следствию 2.3.2 вектор x0 может быть включен в некоторый ортонормированный базис, скажем, fx0; b1; : : : ; bk; : : : g в H. Тогда согласно лемме 4.4.3 из (x0; bk) = 0 для всех k 2 N следует (Ax0; bk) = 0 для всех k 2 N. Значит, Ax0 пропорционален вектору x0, т.е. Ax0 = x0.

Продолжим теперь доказательство теоремы. Будем строить элементы k по индукции, в порядке убывания абсолютных величин соответствующих собственных значений

j 1j j 2j : : :

Для построения элемента 1 рассмотрим выражение jQ(x)j = j(Ax; x)j и докажем, что оно на единичном шаре достигает максимума. Пусть

S = sup j(Ax; x)j

kxk 1

и fxkg B(0; 1) – такая последовательность, что

S = lim j(Axk; xk)j:

k!1

Так как единичный шар слабо компактен в H (см. следствие 2.7.1), то из fxkg можно извлечь слабо сходящуюся к некоторому элементу x0 2 H подпоследовательность fxkj g. При этом

kx0k2 = klimj	(x0; xkj ) klimj		kx0kkxkj k kx0k;
!1		!1
т.е. kx0k 1. В силу леммы 4.4.2
j(Ax0; x0)j = klimj		j(Axkj ; xkj )j = S:
	!1

Таким образом, функционал jQ(x)j достигает максимума при x = x0, а значит x0 есть собственный вектор оператора A и kx0k = 1.

214

Элемент x0 мы и примем за 1. Заметим также, что если 1 суть соответствующее собственное значение, то A 1 = 1 и

j 1j = j(A 1; 1)j = S: j( 1; 1)j

Пусть теперь собственные векторы

1; 2; : : : ; n;

отвечающие собственным значениям

1; 2; : : : ; n

построены. Пусть L(f kgnk=1) – линейная оболочка этой системы векторов. Рассмотрим функционал j(Ax; x)j на B(0; 1) \

(L(f kgnk=1))?, где (L(f kgnk=1))? есть ортогональное дополнение L(f kgnk=1) в H. Ясно, что (L(f kgnk=1))? = Hn является (замкнутым) подпространством в H. Покажем, что A : Hn ! Hn.

В самом деле, если x 2 (L(f kgnk=1))?, то

(Ax; k) = (x; A k) = (x; k k) = 0

для всех 1 k n, т.е. Ax 2 Hn. Применяя к Hn проведенные выше рассуждения, получим, что в Hn найдется вектор n+1, собственный для оператора A.