Анализ корней характеристического уравнения

Корни характеристического уравнения являются общими для переходных уравнений напряжений и токов всех ветвей схемы. Они позволяют качественно оценить характер переходного процесса, определить время его окончания и построить кривые изменения токов и напряжений на элементах цепи. Следует иметь в виду, что:

• Поскольку в линейной цепи с течением времени переходный процесс затухает, вещественные части корней характеристического уравнения не могут быть положительными.

• Если все корни вещественные, то имеет место апериодический переходный процесс.

• Наличие пары комплексно сопряженных корней обусловливает появление затухающих синусоидальных колебаний (колебательный переходный процесс).

Определение постоянной времени

Важной характеристикой при исследовании переходных процессов является постоянная времени τ, определяемая для цепей первого порядка, как

,

где р1 – корень характеристического уравнения.

Для цепи третьего порядка, постоянная времени определяется по правилу

Если корни комплексно-сопряженные, то

Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго. Однако на практике считается, что он заканчивается за время равное 3*τ.

Классический метод расчета переходных процессов

Последовательность расчета переходных процессов классическим методом следующая:

1. Рассчитать параметры цепи в установившихся режимах и в момент коммутации;

2. Составить характеристическое уравнение цепи и найти его корни;

3. Определить значение постоянной времени и длительность переходного процесса;

4. Записать в общем виде аналитическое выражение для переходного тока (напряжения) в форме

,

где: - свободная составляющая;принужденная составляющая классического решения переходного переходного тока;

5. Определить постоянные интегрирования А₁, А₂…., А_т;

6. Записать выражение для переходного напряжения (тока) в числовой форме;

7. Построить графики переходного напряжения на конденсаторе и тока через индуктивность.

Классический метод расчета переходных процессов заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих изменения токов и напряжений на участках цепи в переходном процессе.

В общем случае при использовании классического метода расчета составляются уравнения электромагнитного состояния цепи по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, связанных между собой соотношениями, приведенными в табл. 1.

Рис. 2. Пример электрической цепи с последовательным соединением элементов

Для последовательной цепи, содержащей линейные резистор R, катушку индуктивности L и конденсатор С, при ее подключении к источнику с напряжением u (см. рис. 1) можно записать (1)

Подставив в (1) значение тока через конденсатор

,

получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно u_C

.

В общем случае уравнение, описывающее переходный процесс в цепи с n независимыми накопителями энергии, имеет вид:

, (2)

где х – искомая функция времени (напряжение, ток, потокосцепление и т.п.);

 f(t) - известное возмущающее воздействие (напряжение и (или) ток источника электрической энергии);

 a_k - постоянный коэффициент, определяемый параметрами цепи.

Порядок уравнения равен числу независимых накопителей энергии в цепи, под которыми понимаются катушки индуктивности и конденсаторы.

Как известно из математики, общее решение уравнения (2) представляет собой сумму частного решения исходного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения, получаемого из исходного путем приравнивания его левой части к нулю.

,

где x_пр - частное решение уравнения (2), соответствующее искомой переменной х в установившемся режиме по окончании переходного процесса; x_св - свободная составляющая, которая существует только во время переходного процесса, отображает изменения токов и напряжений обусловленные запасами энергии в индуктивности и конденсаторе.

Принужденная составляющая определяется при расчете стационарного режима работы схемы после коммутации любым из рассмотренных ранее методов расчета линейных электрических цепей.

Таблица 2. Связь корней и свободных составляющих общего решения
Вид корней характеристического уравнения	Выражение свободной составляющей
Корни p1, p2, …, pn  вещественные и различные
Корни p1, p2, …, pn  вещественные и p1 = p2 = … = pm = p(m  n)
Пары комплексно-сопряженных корней pk,k+1 = k ± jωk

Вид свободной составляющей общего решения уравнения (2) определяется составом корней характеристического уравнения, см. табл. 2.

Таким образом, переходный процесс рассматривается как наложение друг на друга двух режимов – принужденного, наступающего сразу после коммутации, и свободного, имеющего место только в течение переходного процесса.

В соответствии с определением свободной составляющей  в ее выражение входят постоянные интегрирования А₁, А₂, и т.д., число которых равно порядку дифференциального уравнения. Постоянные интегрирования находятся из начальных условий, которые определяются на основании законов коммутации.

Примеры расчета переходных процессов классическим методом приведены в приложении.