МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

Лекция 7. Логика предикатов

7.1Понятие предиката. Логические операции (связки) над предикатами

7.2Кванторы.

7.3Свободные и связанные переменные

7.4Интерпретация формул логики предикатов

7.5Аналитические правила в логике предикатов.

7.6. Схемы суждений

Структура высказывания

Внутреннюю структуру высказывания можно разделить на субъект и предикат, где субъект есть подлежащее, а предикат определяет свойство субъекта

Логика высказываний и логика предикатов

Все студенты умные . Петя студент . Следовательно он умный

Понятие предиката

Одноместным предикатом Р(х), определенным на множестве М, называется выражение, которое после подстановки в него вместо х предмета из области определения М обращается в высказывание. Область определения предиката называется предметной областью. Элементы из области определения называются предметными постоянными (предметами). Переменная, от которой зависит предикат, называется предметной переменной

Понятие предиката

Примеры

R(x, у, z, t): «x родился в у году в городе z, имеет образование t», х {люди}, у N,

z {города}, t {начальное, среднее, высшее}. R(x, у, z, t) — неоднородный четырехместный предикат.

Однородный предикат: Q(x, у, z):

«параллелепипед имеет высоту х, ширину у, длину z, где х,у, z R.

Понятие предиката

Даны произвольные множества D1, D2, …, Dn, Di Dj = 0 для любых i j, и переменные x1, x2, …, xn, xi Di для любых i = 1, 2, …, n.

Предикат - функция P(x1, x2, …, xn),

x1, x2, …, xn – предикатные переменные

D1, D2, …, Dn – область интерпретации предиката

Одноместный предикат - предикат-свойство, n-местный (для n>1, n N) – предикат-отношение, 0-местный предикат – высказывание.

Полный прообраз единицы (1) при Р называется множеством истинности Т(Р) предиката Р (от англ. truth – истина):

Т(Р) = Р-1(1) = {x | x Dn, P(x) = 1}.

Для установления взаимно-однозначного соответствия между n-местной (n≥2) высказывательной формой и соответствующим предикатом принято устанавливать для предметных переменных определённый порядок.

Принято одноместный предикат называть предикатом-свойством, n-местный (для n>1, n N) – предикатом-отношением, 0-местный предикат – высказыванием.

Полный прообраз единицы (1) при Р называется множеством истинности Т(Р) предиката Р (от англ. truth – истина):

Т(Р) = Р-1(1) = {x | x Dn, P(x) = 1}.

Логические операции (связки) над предикатами

Отрицанием предиката P(x,...) называется предикат P(x) , также определённый на множестве D и истинный при тех значениях переменной х, при которых P( x,...) ложен, т.е.

T (P) D \ T (P).

D

D\T(P)

Множество истинности	T(P)
предиката P(x)

Пример

Предикат «х – составное (целое) число»,

определённый на Z, будет отрицанием предиката Р(х):

«х – простое число»,

т.е. P(x) , а его областью истинности будет множество всех целых составных чисел (имеющих три и более делителей):

T (P(x)) D \ T (P(x)).