Конъюнкция предикатов			P(x,...) и Q(x,...) есть
новый предикат P(x) Q(x)			, определённый на
множестве D и истинный при тех значениях
переменной	х,	при	которых	истинны
одновременно оба предиката P(x,...)				и Q(x,...) ,

поэтому T (P Q) T (P) T (Q).

T(Q(x))

T(P(x))

Множество истинности

конъюнкции предикатов T(P Q)

Λ

Пример.	x 8,
Система			означает	конъюнкцию
	x 5
высказываний		(x 8) (x 5)		5	,
					x 8

а ответ является пересечением Т(Р1) и Т(Р2), т.е. интервалом 5 x 8.

					х
5			8

Графическое решение системы неравенств

x 8,x 5

Т(Р Q) = T(P) U T(Q)

Множество истинности	T(P)	T(Q)
дизъюнкции предикатов

Т(Р v Q)

При решении уравнений (неравенств), левая часть которых есть произведение нескольких множителей, а правая – нуль, они разбиваются

на совокупность уравнений (неравенств). Например, х2 - 8х – 20 = 0 (х - 10)( х + 2) = 0

х – 10 = 0 (Р1) или х + 2 = 0 (Р2).

В соответствии с формулой алгебры логики a b a b имеем

P Q		Q	и T (P Q) (D \ T (P)) T (Q).
	P

D

Т(P→Q)

Т(Q)

Т(Р)

Множество истинности импликации предикатов

Пример 1.

Из двух высказывательных форм – уравнений (х - 2)(х - 3) = 0 (Q1) и х – 3 = 0 (Q2) – из х – 3 = 0 следует, что (х - 2)(х - 3) = 0, т.е. верна запись Q2 Q1, потому что T(Q2) T(Q1).

Пример 2.

В случае D(Q)=N, Q1: «х ≥ 9», Q2: «8 ≤ х < 12», Т(Q2) = {8, 9, 10, 11}, а T(Q1) = {9, 10, 11, 12, 13,

14, …}, отношение T(Q2) T(Q1) не выполняется, поскольку 8 T(Q1), следовательно, из Q2 не

следует Q1..

Кванторы

Для количественных характеристик обычно используют

понятия «все», «некоторые», «существуют» и др., которые называют кванторами (от лат. quantum – сколько).

Кванторы – (всеобщности), (существования)

x f(x) – для всех значений x из области интерпретации предиката формула f(x) имеет значение "истина";

x f(x) – существует, по крайней мере, одно значение x из области интерпретации предиката, для которого формула f(x) имеет значение "истина"

x f(x) эквивалентно x ( f(x))

Пример

S – множество "учебная группа"

f1(t) – утверждение “t получает стипендию“, t S

f2(t) – утверждение “t не имеет задолженностей в сессию“, t S

Переменная x S

1.x (f1(x)) имеет значение "истина", если хотя бы один член группы получает стипендию, и ложь, если никто в группе не получает стипендию.

2.x (f2(x)) имеет значение "истина", если все члены группы не имеют задолженностей в сессию, и ложь,

если хотя бы один член группы имеет задолженность

Вхождение переменных

Формула, на которую распространяется действие квантора, называется областью действия квантора.

Переменная, по которой навешивается квантор и

попадающая в его область действия, называются

связанной переменной.

Переменная, лежащая вне области действия квантора, называются свободной переменной.

Формула, не содержащая свободных переменных, называется замкнутой. Замкнутые формулы являются

высказываниями.

Область действия квантора ограничивается скобками, если она содержит более одного предиката.

Свободные и связанные переменные

Вхождение переменных. Пример

x(R(x, y) y(U(x, y, z) Q(x, y)))

Переменная x связана квантором Свободное вхождение переменной y Переменная у связана квантором Свободное вхождение переменной z