8.3 Метрические задачи

Метрическиеми называются задачи, решение которых связано с определением линейных и угловых величин геометрических фигур.

Все многообразие метрических задач может быть подразделено на три группы:

1. Определение расстояний (линейных характеристик геометрических фигур).

2. Определение углов (угловых характеристик геометрических фигур).

3. Определение величин плоских фигур (площадей, углов плоской фигуры и.т.д.).

Любая метрическая задача решается с помощью основных задач преобразования чертежа.

8.3.1 Определение расстояний

К этому классу метрических задач относятся задачи на определение расстояний между двумя точками, точкой и прямой, двумя параллельными прямыми, двумя скрещивающимися прямыми, точкой и плоскостью, двумя параллельными плоскостями.

Расстояние между двумя точками измеряется длиной отрезка прямой линии, соединяющей эти точки. Следовательно, необходимо применить решение первой основной задачи преобразования чертежа.

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Если прямая будет проецирующей, то отрезок перпендикуляра будет проецироваться без искажения на плоскость проекций, перепндикулярную к прямой. Следовательно, необходимо применить решение второй основной задачи преобразования комплексного чертежа.

Определить расстояние от точки м до прямой [ав]

.

Дано:

[AB] – о.п.

M [ AB]

M₂

M,AB-?

Для преобразования прямой о.п. в проецирующую необходимо применить первую, а затем вторую основные задачи.

M₁

M₂

А₂

1.Примените первую основную задачу, преобразовав прямую о.п. в прямую уровня.

B₂

Z_A

Z_B

M₁

П₂

П₁

X₁₂

B₁

А₁

П₂ П₄  П₁ ; П₄ || [AB]

Z_A

Z_B

X₁₂ X₁₄|| [A₁B₁]

B₄

А₄

M₄

А₂

M₂

M₁

2.Примените вторую основную задачу, преобразовав прямую уровня в проецирующую прямую.

B₂

П₂

П₁

А₁

X₁₂

B₁

П₁ П₅  П₄

П₅  [AB]

B₄

А₅B₅

А₄

M₄

M₅

X₁₄ X₄₅ [A₄B₄]

₄

₅

3. Кратчайшим расстоянием от точки М до прямой [AB] является перпендикуляр MN, который проецируется без искажения на плоскость проекций П₅

(т.к. П₅ [AB] и [MN] П₅)

[M₅N₅] =M,AB

4. Прямая [MN] в системе плоскостей проекций П₅/П₄ является прямой уровня, значит

[M₄N₄] Х₄₅

А₂

M₂

5. Найдите горизонтальную и фронтальную проекции перпендикуляра [MN], применяя свойство принадлежности.

N₂

B₂

П₂

X₁₂

П₁

А₁

M₁

N₁

B₁

N₄

А₅B₅N₅

B₄

А₄

M₄

₄

₅

M₅

Расстояние от точки до плоскости измеряется длиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Если плоскость будет проецирующей, то отрезок перпендикуляра будет проецироваться без искажения на плоскость проекций, перпендикулярную к заданной плоскости (так как он будет параллелен ей). Следовательно, необходимо применить решение третьей основной задачи преобразования комплексного чертежа.