Kollokvium

Циркуляция вектора В по замкнутому контуру, совпадающему с одной из линий магнитной индукции, охватывающему все N витков, согласно (4.12) равна:

.								(4.14)
Интеграл			можно представить в виде суммы двух интегралов: по
внутренней части контура:					и по внешней:								, тогда
из (4.14) получим:
,								(4.15)
									или
		,						(4.16)
где В – индукция магнитного поля внутри соленоида;												– число

витков на единицу длины соленоида.

Магнитное поле внутри тороида, так же, как в соленоиде, однородно, сосредоточено внутри; вне тороида магнитное поле, создаваемое круговыми токами тороида, равно нулю. Величина магнитного поля в тороиде определяется выражением (4.16), причем длина тороида l берется по средней длине тороида (среднему диаметру).

Отметим любопытный факт. Во всех учебниках по физике остался не отмеченным факт существования у соленоида и тороида второго магнитного поля, которое появляется из-за того, что, например, в соленоиде по отношению к средней линии соленоида витки направлены не точно перпендикулярно, а под углом меньше 90°. Это приводит к появлению тока

(эффективного, но равного току I, протекающему через соленоид), вдоль соленоида (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Второе магнитное поле соленоида

То есть соленоид создает дополнительное магнитное поле, такое же, как и прямолинейный бесконечно длинный проводник с током. Точно так же и для

тороида: вдоль средней линии протекает эффективный токI.

У тороида второе магнитное поле эквивалентно магнитному полю витка с током (рис.4.3). Диаметр этого витка равен диаметру тороида (его средней

линии), а магнитное поле тороида (R – радиус тороида).

Рис. 4.3. Второе магнитное поле тороида

§ 3. Поток вектора магнитной индукции

Магнитным потоком Ф через площадку S называется скалярная величина

	Ф = В ∙ S		(4.17)
				или
			(4.
			18)
где				– проекция вектора В на направление нормали n к

площадке S; a – угол между векторами В и n.

Поток вектора В может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от знака cosa. Если рассматривать магнитный поток через контур с током, то положительное направление нормали уже определено правилом правого винта (правило буравчика). Таким образом, магнитный поток, создаваемый контуром через поверхность, ограниченную этим контуром, всегда положителен. Единица измерения магнитного потока: 1 Вб (Вебер) = 1 Тл ×1 м2.

Теорема Гаусса для магнитного поля: поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:

,

(4.19)

где dS – элемент замкнутой поверхности S, Вn – проекция В на нормаль к этой поверхности.

Эта теорема говорит о том, что в природе отсутствуют магнитные заряды, а линии магнитной индукции замкнуты, то есть магнитное поле является вихревым (соленоидальным).

Магнитный поток через соленоид:

(4.20)

где . Отметим, что В×S умножено на N, т. е. каждый виток соленоида создает магнитный поток В×S, а витков N, т. е. магнитный поток увеличивается в N раз.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение циркуляции вектора магнитной индукции по заданному замкнутому контуру.

2.Покажите графически магнитные поля короткого, бесконечно длинного соленоидов и тороида.

3.Что такое поток вектора магнитной индукции? Объясните его физический смысл.

4.В каких отраслях промышленности и народного хозяйства применяется магнитное поле соленоида и тороида?

5.В каких случаях применима теорема Гаусса?

Глава 5. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ. МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ. НАМАГНИЧЕННОСТЬ

Рекомендуемая литература

[3, 5, 11, 12]

§ 1. Магнитный момент атомов

Для того чтобы разобраться в магнитных свойствах сред и их влиянии на магнитную индукцию, необходимо рассмотреть действие магнитного поля на атомы и молекулы вещества. Опыт позывает, что все вещества, помещенные в магнитное поле, намагничиваются. Природа молекулярных токов стала

(

5.1)

понятной после того как опытами Резерфорда было установлено, что атомы всех веществ состоят из положительно заряженного ядра и движущихся вокруг него отрицательно заряженных электронов. Движение электронов в атомах подчиняется квантовым законам. Магнетизм вещества удается объяснить посредством модели Бора, согласно которой электроны в атомах движутся по стационарным круговым орбитам. Электрон, движущийся по одной из таких орбит, эквивалентен круговому току, поэтому он обладает орбитальным магнитным моментом: Pm =ISn, модуль которого

Pm = IS = enS,

где I = en – сила тока; n – частота вращения электрона по орбите; S – площадь орбиты. Если электрон движется по часовой стрелке (рис. 5.1), то ток направлен против часовой стрелки и вектор Pm (в соответствии с правилом правого винта) направлен перпендикулярно плоскости орбиты электрона.

Рис. 5.1. Орбитальные магнитный момент Pm и механический момент Le электрона

С другой стороны, движущийся по орбите электрон обладает механическим моментом импульса Le, модуль которого

Le = mVn = 2mnS, (5.2)

где V = 2pnr, pr2 = S. Вектор Le (его направление также определяется по правилу правого винта) называется орбитальным механическим моментом электрона. Из рис. 5.1 следует, что направление Pm и Leпротивоположны, поэтому, учитывая выражение (5.1) и (5.2), получим

	Pm
Le = gLe,	(5.3)

где величина

(5.

4)

называется гиромагнитным отношением орбитальных моментов (общепринято писать со знаком << - >>, указывающим на то, что направления моментов противоположны). Это отношение, определяемое универсальными постоянными, одинаково для любой орбиты, хотя для разных орбит значения V и r различны. Формула (5.4) выведена для круговой орбиты, но она справедлива и для эллиптических орбит.

Вследствие вращения вокруг ядра электрон оказывается подобным волчку. Это обстоятельство лежит в основе так называемых магнитомеханических явлений, заключающихся в том, что намагничивание магнетика приводит к его вращению, и наоборот, вращение магнетика вызывает его намагничивание. Существование первого явления было доказано экспериментально Эйнштейном и де Гаазом, второго – Бранеттом. Опыт Эйнштейна и де Гааза строится на следующих предположениях. Если намагнитить стержень из магнетика, то магнитные моменты электронов установятся по направлению поля, а механические моменты – против поля. В результате суммарный механический момент электронов åLei станет отличным от нуля (первоначально вследствие хаотической ориентации отдельных моментов он был равен нулю). Момент импульса системы: стержень плюс электроны должен остаться без изменений. Поэтому стержень приобретает момент импульса, равный –åLei и, следовательно, он приходит во вращение. Изменение направления

намагниченности приведет к изменению направления вращения стержня. Опыт Эйнштейна и де Гааза осуществлялся следующим образом (рис. 5.2).

Тонкий железный стержень подвешивался на упругой нити и помещался внутрь соленоида. Закручивание нити при намагничивании стержня постоянным магнитным полем получалось весьма малым. Для усиления эффекта был применен метод резонанса – соленоид питался переменным током, частота которого подбиралась равной собственной частоте механических колебаний системы. При этих условиях амплитуда колебаний достигала значений, которые можно было измерить, наблюдая смещения светового зайчика, отраженного от зеркальца, укрепленного на нити. По данным опыта было вычислено магнитомеханическое отношение, которое оказалось равным e/m. Таким образом, знак заряда носителей, создающих молекулярные токи, совпал со знаком заряда электрона. Однако полученный результат превысил ожидаемое значение магнитомеханического отношения в два раза.

Рис. 5.2. Опыт Эйнштейна и де Гааза

Для объяснения этого результата, имевшего большое значение для дальнейшего развития физики, было предположено, а впоследствии доказано, что кроме орбитальных моментов [см. (5.1) и (5.2)], электрон обладает собственным механическим моментом импульса Les, называемым спином. Считалось, что спин обусловлен вращением электрона вокруг своей оси, что привело к целому ряду противоречий. В настоящее время установлено, что спин является неотъемлемым свойством электрона, подобно его заряду и массе. Спину электрона Les соответствует собственный (спиновый) магнитный момент Pms, пропорциональный Lesи направленный в противоположную сторону:

Pms = gsLes. (5

.5)

Величина gs называется гиромагнитным отношением спиновых моментов. Проекция собственного магнитного момента на направление

вектора B может принимать только одно из следующих двух значений:

	,		(5.6)
где		(h – постоянная Планка); mB – магнетон Бора, являющийся

единицей магнитного момента электрона.

В общем случае магнитный момент электрона складывается из орбитального и спинового магнитных моментов. Следовательно, магнитный момент атома складывается из магнитных моментов входящих в его состав электронов и магнитного момента ядра (обусловлен магнитными моментами входящих в ядро протонов). Однако магнитные моменты ядер в тысячи раз меньше магнитных моментов электронов, поэтому ими пренебрегают. Таким образом,

общий магнитный момент атома (молекулы) Pa равен векторной сумме магнитных моментов (орбитальные и спиновые), входящих в атом (молекула) электронов:

Pa = åPm + åPms.

11. Силы, действующие в магнитном поле. Закон Ампера. Сила Ампера. Сила Лоренца.

Сила Лоренца

Так как электрический ток представляет собой упорядоченное движение зарядов, то действие магнитного поля на проводник с током есть результат его действия на отдельные движущиеся заряды.

Силу, действующую со стороны магнитного поля на движущиеся в нем заряды, называют силой Лоренца.

Сила Лоренца определяется соотношением:

Fл = q·V·B·sina

где q - величина движущегося заряда; V - модуль его скорости;

B - модуль вектора индукции магнитного поля;

a - угол между вектором скорости заряда и вектором магнитной индукции.

Обратите внимание, что сила Лоренца перпендикулярна скорости и поэтому она не совершает работы, не изменяет модуль скорости заряда и его кинетической энергии. Но направление скорости изменяется непрерывно

Сила Лоренца перпендикулярна векторам В и v , и её направление определяется с помощью того же правила левой руки, что и направление силы Ампера: если левую руку расположить так, чтобы составляющая магнитной индукции В, перпендикулярная скорости заряда, входила в ладонь, а четыре пальца были направлены по движению положительного заряда (против движения отрицательного), то отогнутый на 90 градусов большой палец покажет направление действующей на заряд силы Лоренца F л.

Сила Лоренца зависит от модулей скорости частицы и индукции магнитного поля. Эта сила перпендикулярна скорости и, следовательно, определяет центростремительное ускорение

Сила Ампера это та сила, с которой магнитное поле действует на проводник, с током помещённый в это поле. Величину этой силы можно определить с помощью закона Ампера. В этом законе определяется бесконечно малая сила для бесконечно малого участка проводника. Что дает возможность применять этот закон для проводников различной формы.

Формулировка закона: сила, действующая на проводник с током, помещенный в однородное магнитное поле, пропорциональна длине проводника, вектору магнитной индукции, силе тока и синусу угла между вектором магнитной индукции и проводником.

Формула 1 — Закон Ампера

B индукция магнитного поля, в котором находится проводник с током I сила тока в проводнике

dl бесконечно малый элемент длинны проводника с током

альфа угол между индукцией внешнего магнитного поля и направлением тока в проводнике Направление силы Ампера находится по правилу левой руки. Формулировка этого правила, звучит так. Когда левая

рука расположена таким образом, что лини магнитной индукции внешнего поля входят в ладонь, а четыре вытянутых пальца указывают направление движения тока в проводнике, при этом отогнутый под прямым углом большой палец будет указывать направление силы, которая действует на элемент проводника.

Если размер проводника произволен, а поле неоднородно, то формула выглядит следующим образом:

Правило левой руки : если расположить левую руку так, чтобы перпендикулярная составляющая вектора магнитной индукции входила в ладонь, а четыре пальца были вытянуты по направлению тока в проводнике, то отставленный на 90° большой палец, укажет направление силы Ампера.

Из закона Ампера следует, что сила Ампера будет равна нулю, если угол между линией магнитной индукции поля и током будет равен нулю. То есть проводник будет располагаться вдоль такой линии. И сила Ампера будет иметь максимально возможное значение для этой системы, если угол будут составлять 90 градусов. То есть ток будет перпендикулярен линии магнитной индукции.

С помощью закона Ампера можно найти силу, действующую в системе из двух проводников. Представим себе два бесконечно длинных проводника, которые находятся на расстоянии друг от друга. По этим проводникам протекают токи. Силу, действующую со стороны поля создаваемого проводником с током номер один на проводник номер два можно представить в виде.

Формула 2 — Сила Ампера для двух параллельных проводников.

Сила, действующая со стороны проводника номер один на второй проводник, будет иметь такой же вид. При этом если токи в проводниках текут в одном направлении, то проводнику будут притягиваться. Если же в противоположных, то они будут отталкиваться. Возникает некоторое замешательство, ведь токи текут в одном направлении, так как же они могут притягиваться. Ведь одноименные полюса и заряды всегда отталкивались. Или Ампер решил, что не стоит подражать остальным и придумал что то новое.

На самом деле Ампер ничего не выдумывал, так как если задуматься то поля, создаваемые параллельными

проводниками, направлены встречно друг другу. И почему они притягиваются, вопроса уже не возникает. Чтобы определить, в какую сторону направлено поле создаваемое проводником, можно воспользоваться правилом правого винта.

Рисунок 2 — Параллельные проводники с током

Используя параллельные проводники и выражение силы Ампера для них можно определить единицу в один Ампер. Если по бесконечно длинным параллельным проводникам, находящимся на расстоянии в один метр, текут одинаковые токи силой в одни ампер, то силы взаимодействия между ними будет составлять в 2*10-7 Ньютона, на каждый метр длинны. Используя эту зависимость, можно выразить чему будет равен один Ампер.

При протекании тока в одном направлении проводники притягиваются, а при противоположном отталкиваются. Величина силы взаимодействия между токами определяется по формуле:

Где µ0 = 4π*10-7 Гн/м – магнитная постоянная, r – расстояние между проводниками. Если принять длину проводников равной единице, тогда формула примет вид

12. Движение зарядов в магнитном поле. Применение силы Ампера. Применение силы Лоренца. Вектор намагничивания.

13. Описание поля в магнетиках. Классификация магнетиков: диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики. Их основные свойства