02 АЗЭ Лекционный материал / лекция 12

ческое определение вероятности как отношение числа случаев, при которых имеет место событие М, к общему числу случаев N.

Событием будем считать принятие случайной величиной определенного значения. Тогда М = 1, но общее число таких случаев даже в ограниченном интервале равно бесконечности, так как бесконечно велико число возможных значений. Поэтому N = ∞. Вероятность принятия случайной величиной опре-

деленного значения по формуле классической вероятности равна 1 0 , т. е.

бесконечно мала. В данном случае нулевое значение вероятности попадания в определенную точку связано не с невозможностью самого события (отсут-

ствие случаев, когда оно может произойти), а с бесконечно большим числом возможных случаев. Поэтому для непрерывных случайных величин опреде-

ляют вероятности попадания не в точку, а в некоторый интервал. Этот интер-

вал можно, однако, принять сколь угодно малым.

Следует напомнить, что точно измерить какую-либо величину практиче-

ски нельзя, поэтому измерение проводят в некотором интервале.

Для количественной оценки вероятностей как непрерывных, так и дис-

кретных случайных величин вводят функцию распределения F(х), которая,

по определению, равна вероятности того, что данная случайная величина η

(непрерывная или дискретная) попадает в интервал значений от ∞ до некото-

рого значения х, т. е. она меньше, чем х:

F(x) P( x ).

(12.12)

Из данного определения следует, что F( - ∞)=0 и F(+∞)=1.

Для определения функции распределения дискретной случайной величи-

ны можно использовать таблицы распределения, производя суммирование вероятностей слева направо.

Для непрерывных случайных величин функция распределения задается аналитически, если это возможно, или графически. Задание функции распре-

деления дает возможность вычислить вероятности попадания случайной ве-

личины в определенный интервал значений x1÷ x2. Если известны значения

F(x1) и F(x2) для случайной величины η, то искомая вероятность попадания в интервал

P(x1 x2 ) F(x2 ) F(x1 )

(12.13)

т. е. для того, чтобы определить вероятность попадания непрерывной слу-

чайной величины η в интервал x1÷ x2 (где x1< x2), достаточно взять разность функции распределения при значениях x1 и x2.

Закон распределения вероятностей непрерывных случайных величин мо-

жет быть определен заданием не функции распределения, а плотности рас-

пределения вероятностей. Плотность распределения вероятностей φ(х) пред-

ставляет собой производную от функции распределения по значению слу-

	чайной величины х:
	(х)	dF (x)	(12.14)
		dx
	поэтому
	X
	F (x) (x)dx		(12.15)

Если плотность распределения вероятностей задана аналитически, то ве-

роятность попадания непрерывной случайной величины в какой-либо, интер-

вал x1 - x2 (x1< x2)

X1	X 2
P(x1 x2 ) F (x2 ) F (x1 )	(x)dx (x)dx	(12.16)

т. е. равна интегралу от плотности распределения вероятностей, взятому в пределах искомого интервала.

В энергетике находят широкое применение случайные величины со сле-

дующими распределениями вероятностей: равномерное, простейшее нор-

мальное, общее нормальное, биноминальное, по закону Пуассона. В прило-

жении-2 для них даны формулы функций, и плотности распределения веро-

ятностей, а также формулы, определяющие вероятность попадания случай-

ной величины в заданный интервал.

Нормальное распределение, как простейшее, так и общее, используется при определении вероятностей ошибок прогнозирования нагрузки потреби-

телей энергосистемы и отклонения нагрузки энергосистемы и отдельных ее узлов от средних значений и т. п.

Биноминальное распределение и распределение по закону Пуассона нахо-

дят применение при определении вероятностей различных значений аварий-

ных снижений мощности в энергосистеме и аварийного выхода различного числа агрегатов в группе однотипных и т. д.

Равномерное распределение служит основой метода статистических ис-

пытаний (метод Монте-Карло), Применяющегося при определении резерва мощности, отказа в срабатывании автоматики и т. п.

Из-за отсутствия соответствующих статистических материалов не всегда можно задать таблицы распределения вероятностей.

Для дискретных случайных величин или функции распределения и плот-

ности распределения вероятностей для непрерывных случайных величин.

Однако и не для всех практических задач требуется знать полные вероят-

ностные характеристики случайной величины. Во многих случаях достаточ-

но знать некоторые числовые характеристики случайных величин, характе-

ризующих их основные свойства. К числу основных характеристик относятся математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение и моменты случайной величины.

Так как случайная величина может приобретать различные значения, то большую роль имеет ее среднее значение. Однако, если известна совокуп-

ность значений случайной величины, то простое среднее значение, опреде-

ляемое как сумма возможных значений, разделенная на их число, еще не ха-

рактеризует действительных условий. Ведь различные значения случайной величины могут иметь различные вероятности, и поэтому более вероятные значения будут чаще встречаться на практике и в большей мере определять истинное среднее значение случайной величины.

Поэтому для оценки среднего (в вероятностном смысле) значения случай-

ной величины вводится понятие математического ожидания, представляюще-

го собой действительно среднее значение случайной величины, определяемое

с учетом различных вероятностей отдельных значений. Математическое ожидание (в дальнейшем сокращенно м. о.) случайной величины η будем обозначать через М (η).

Определим м. о. для случайной дискретной величины. Пусть задана таб-

лица вероятностей различных значений случайной дискретной величины:

Таблица 1.

Значения случайных дискретных величин

Значение η	х1	х2	х3		…
Вероятность	р1	р1	р1
Примем, что общее число испытаний составляет п, причем m1					раз получи-

лась величина х1, m1 раз х2 и т. п.

Тогда м. о., представляющее собой действительное среднее значение

случайной величины, будет

M ( )	m1 x1 m2 x				x1 p1	x2 p2	...	(12.17)
			n
так как вероятность	p	m1	, и т. д.
	1	n
Таким образом, для дискретной случайной величины
		M ( ) xk pk						(12.18)
			k

причем суммирование происходит по всем значениям дискретной вели-

чины- хk, имеющей вероятность рk..

Для непрерывной случайной величины из аналогичных соображений

M ( ) x( )dx	(12.19)

где φ(х) — плотность вероятности.

В теории вероятностей доказывается ряд теорем, связанных с м. о., кото-

рые здесь приводятся без доказательств.

1. М. о. постоянной величины С равно этой величине, т. е.М(С) = С, так как вероятность постоянной величины равна единице.

М[ M ( )] M ( ) M ( ) 0

2. М.о.произведения случайной величины на постоянную С равно произ-

ведению постоянной величины С на м. о. случайной величины:

M(Cη)=CM(η) (12.20) 3. М. о. суммы случайных величин равно сумме м. о. каждой из величин в

отдельности:

M(α+β)=M(α)+M(β).

(12.21)

4. М. о. произведения независимых случайных величин равно произве-

дению м. о. каждой из величин:
M(αβ)=M(α)M(β).	(12.22)

Статистическое среднее, т. е. м. о. случайной величины, характеризует действительное среднее значение случайной величины, но этого недостаточ-

но для ее полной характеристики. Следует знать, насколько отклоняется слу-

чайная величина от своего м. о.

Если эти отклонения очень невелики, то м. о. достаточно хорошо пред-

ставляет случайную величину; если же отклонения очень велики, т. е. раз-

брос значений случайной величины или их рассеяние велико, то одно м. о.

уже не характеризует данную величину. Нельзя определять степень отклоне-

ния случайной величины от ее м. о. по среднему значению отклонения слу-

чайной величины от ее м. о., так как эта величина всегда равна нулю. Дей-

ствительно, так как функция М(η) постоянна.

(12.23)

Это объясняется тем, что м. о. является как бы центром всех значений случайной величины, и отклонения одного знака компенсируют отклонения другого знака.

Поэтому в качестве меры отклонений случайной величины от ее м. о.

принимают величину, равную м. о. квадрата отклонения случайной величины от ее м. о., которую называют дисперсией случайной величины т) и обозна-

чают через D(η).

По определению, дисперсия

D() M[ M ()]2 0

(12.24)

Квадратный корень из величины дисперсий называется среднеквадра-

тичным, или стандартным отклонением случайной величины:

( )	D( ) M[ M ( ) M ( )]2		(12.25)
Для дискретных случайных величин
	D( ) [xk M (x)]2 pk		(12.26)

где суммирование распространяется на все значения случайной величины

хk, имеющие соответствующую вероятность pk..

Для непрерывной случайной величины

D( ) [х М (x)2 (x)dx

(12.27)

В теории вероятностей доказывается ряд теорем о дисперсии случайных величин, которые здесь приводятся без доказательств.

1.Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

D(C)=0 (12.28) 2.Дисперсия произведения постоянной величины С на случайную η рав-

на произведению квадрата постоянной величины С на дисперсию случайной величины η:

D(C ) С 2 D( )	(12.29)
3.Дисперсия суммы постоянной С и случайной η величин равна дис-
пепсии случайной величины:
D(C+η)=D(η)	(12.30)

4.Дисперсия суммы независимых случайных величине ε и η равна сумме

дисперсий этих величин:
D(ε+η)=D(ε)+D(η)	(12.31)

5. Дисперсия среднеарифметического от ряда п случайных величин с оди-

наковой дисперсией в п раз меньше дисперсии каждой из этих величин в от-

дельности:

	1 2		)	1	[D( 1 ) D( 2 ) D( )]	D( i )
	D(						(12.32)
		n		n2		n

DC ( ) D( ) M ( C)]2

D( )

В энергетике иногда представляет интерес определение не дисперсии

, т. е. квадрата среднеквадратичного отклонения от м.о., а момента вто-

рого порядка относительно некоторой величины С, т. е. м.о. квадрата откло-

нения случайной величины от данной неизменной величины С. Обозначим

такой момент через DC ( ) , тогда
D ( ) M[( C)2 ]		(12.33)
C
где М — символ м.о., а η — случайная величина.
Выразим момент DC ( ) через дисперсию D( ) :
D ( ) M[( C)2 ] M[( a) (C a)]2	где	a M ( )
C
тогда
D ( ) M ( a)2 M (C a)2 2M ( a)(C a)		(12.34)
C
Первый член равен дисперсии D(η), а третий — нулю, так как
M[( a) (C a) (C a)[M ( ) a] 0 .
Поэтому
D ( ) D( ) M (C a)2 ] D( ) (C a)]2		(12.35)

C

Определим, чему равно м.о. отклонения случайной величины η от вели-

чины С, т. е. среднее отклонение η от С. Очевидно,

M(η-C)=a-C

поэтому

M (а C)2 (a С)2 [M ( C)]2

Итак,

(12.36)

Из полученного соотношения следует, что, зная дисперсию D(η) и сред-

нее отклонение случайной величины от некоторой постоянной С, можно найти момент 2-го порядка относительно С,DC(η),т.е. м.о.квадрата средне-

квадратичного отклонения случайной величины от постоянной С.