02 АЗЭ Лекционный материал / лекция 12

Лекция №12 Тема 3. Основные положения применения методов и алгоритмов тео-

рии вероятностей и математической статистики для анализа процессов в электрических сетях и системах электроснабжения.

3.1.Случайные события и случайные процессы в электроэнергетике

иих математические и их стохастические описания и алгоритмы.

Случайные события в энергетике В энергетике случайные события имеют место, так же как и во всех дру-

гих отраслях деятельности человека. Энергетические системы объединяют очень большое число различных технических устройств, как генерирующих,

так и передающих энергию; особенно велико число устройств, преобразую-

щих энергию в другой ее вид. Естественно, что условия работы большой со-

вокупности даже однородных технических устройств резко отличаются друг от друга и носят с точки зрения энергетической системы как целого случай-

ный характер.

Так, например, то или иное устройство потребителей (электродвигатель,

электровоз, электрическая лампа, электронагревательный прибор) случайно может быть или включенным, или отключенным от электрической сети, ра-

ботать с той или иной степенью использования. В результате наложения друг на друга таких случайных событий получается та или иная величина спроса электрической мощности в энергосистеме, зависящая от совокупности слу-

чайных событий.

Аварийные повреждения отдельных элементов энергетической системы

(котлов, турбин, генераторов, трансформаторов, линий передачи) или сниже-

ния располагаемой мощности (из-за заноса поверхностей нагрева котлов,

проточной части турбин и т. п.), также являются случайными событиями,

возникающими в результате наложения большого числа неблагоприятных условий. Аварийные повреждения оборудования могут вызвать при отсут-

ствии достаточного резерва мощности генерирующих источников необходи-

мость перерывов в электроснабжении части потребительских установок.

Таким образом, основные условия работы энергосистемы, а именно усло-

вия, определяющие величины суммарного спроса мощности в энергосистеме и суммарной располагаемой мощности для его покрытия, в свою очередь определяются большим числом случайных событий. Только зная вероятност-

ные характеристики таких случайных событий, можно правильно определить суммарную величину спроса, величину необходимого резерва мощности и т. д.

Использование вероятностных характеристик случайных явлений в энер-

гетике очень важно при решении задач на оптимизацию, т. е. при выборе оп-

тимальных решений. Так, например, надежность электроснабжения отдель-

ных потребителей зависит от случайных событий. Надежность определяется аварийными повреждениями оборудования, через которое потребитель полу-

чает питание электрической энергией.

Можно выбрать схему питания потребителя или более надежной (много-

кратное питание), или малонадежной (однократное питание). Очевидно, что оптимальная схема будет соответствовать минимуму народнохозяйственных затрат. Для нахождения этого минимума следует оценить не только затраты на создание той или иной схемы электроснабжения, но и вероятный ущерб от перерывов электроснабжения для каждой из рассматриваемых схем. Опреде-

ление вероятного ущерба невозможно без использования методов теории ве-

роятностей.

Возможны два метода определения вероятности случайного события:

классическое и статистическое.

Классическое определение или подсчет вероятности применимы только в том случае, если изучаемые случайные события образуют так называемую полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий. Собы-

тия, образующие такую группу, называют случаями.

Это означает, что одно из совокупности случайных событий должно про-

изойти обязательно, т. е. возникновение хотя бы одного из событий досто-

верно. Кроме того, два события из этой группы одновременно возникнуть не могут и любое из событий данной группы имеет одинаковую вероятность. В

этом случае вероятность считают равной отношению числа случаев, когда данное событие будет иметь место, к общему числу возможных случаев.

Как видно из данного определения, понятие классического деления веро-

ятности может применяться лишь очень редко, так как обычно на практике общее число случаев, а также число «благоприятных» случаев, когда данное событие имеет место, не может быть сосчитано. Кроме того, допущение о равной возможности тех или иных событий данной группы не всегда удается доказать. Поэтому в энергетике, например, приходится пользоваться только статистическим определением вероятности.

Статистическое определение вероятности, как показывает само название,

базируется на статистических материалах. Наблюдая какое-либо случайное событие или осуществляя соответствующие испытания, можно определить относительную частоту возникновения данного события.

При достаточно большом числе наблюдений или испытаний относитель-

ная частота возникновения события колеблется около некоторой постоянной величины. Эта величина называется статистической вероятностью данного случайного события. Ее можно определить достаточно точно, если произве-

сти достаточно большое число наблюдений или испытаний.

Таким образом, вероятность случайного события вскрывается только на основе статистических материалов. При отсутствии таких материалов, а так-

же при малом числе испытаний или наблюдений определить статистическую вероятность случайного события даже приближенно не представляется воз-

можным. Естественно, что математическая статистика, изучающая законы обработки статистических материалов, является разделом теории вероятно-

стей. Отсюда вытекает упомянутое выше положение, что использовать аппа-

рат теории вероятностей для решения каких-либо практических задач нельзя,

не располагая необходимым исходным статистическим материалом доста-

точного объема.

Различные случайные события символически обозначаются большими буквами А,В,С. Достоверное событие обозначается буквой U, а невозможное

событие — буквой V.

Различные связи случайных событий и их символическое изображение

даются ниже:

1) А В . Событие А содержится в В, т. е. если событие А имеет место, то

обязательно имеет место событие В;

2)	А = В. Событие А имеет место, если имеет место В, и наоборот. Это
условие эквивалентно двум условиям: А А В А А;
3)	АВ. События А и В имеют место одновременно;
4)	А +В. Имеет место или событие А, или событие В, или оба одновре-
менно (имеет место хотя бы одно из событий А и В);
5)	А - В. Событие А имеет место, но при этом событие В не имеет места;
6)		А -событие, противоположное А. Если А имеет место, то А не имеет

места, и наоборот. При этом А А U ,т.е. одно из событий А и А обязатель-

но имеет место. Кроме того, А А V , т. е. одновременно A и А не могут иметь места;

7) АВ=V. События А и В несовместимы, т. е. одновременно произойти не могут. Отличие несовместимых событий от противоположных в том, что несовместимые события могут не иметь места;

Рис 12.1

8) A=B1+B2+B3 и B1B2=B2B3=V. Событие А подразделяется частные слу-

чаи: В1 , В2, В3, которые попарно несовместимы. Событие А может не иметь места вообще;

9) B1+B2+B3=U и B1B2=B2B3=V. Полная группа несовместимых событий.

Одно из них обязательно имеет место (в отличие от случая 8).

Наглядное графическое представление указанных связей между случай-

ными событиями дает рис.12.1, на котором для всех рассмотренных случаев дается квадрат с площадью, равной единице. На площадь этого квадрата произвольно падает точка, что соответствует некоторому конкретному слу-

чаю. Если точка попадает в область А, то событие А имеет место. Если она попадает вне области А, то событие А не имеет места (площадь области А ха-

рактеризует вероятность события А). Заштрихованная часть квадрата соот-

ветствует событию.

В дальнейшем будем обозначать вероятность события А через Р(А).

Два случайных события, например А и В, будут считаться независимыми,

если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления дру-

гого, а зависимыми - в обратном случае.

Обычно в энергетике приходится изучать вероятности не простых слу-

чайных событий, а сложных случайных событий, являющихся комбинациями ряда простых (элементарных). Определение вероятности сложного события через известные значения-вероятности простых событий производится исхо-

дя из так называемых законов вероятности сложных событий.

Для независимых случайных событий эти законы могут быть сформули-

рованы следующим образом:

1) вероятность возникновения хотя бы одного из двух случайных незави-

симых и несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих со-

бытий. Как отмечалось выше, возникновение одного из двух случайных со-

бытий А и В символически обозначается их суммой А+В:

P(A+B)=P(A)+P(B)

(12.1)

2) вероятность возникновения хотя бы одного из двух независимых и

совместимых случайных событий А и В может быть записана как
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)	(12.2)

3) вероятность одновременного возникновения двух несовместимых со-

бытий А и В равна нулю. Как отмечалось выше, одновременное возникнове-

ние двух событий А и В символически обозначается их произведением АВ. В

данном случае
P(AB)=0	(12.3)
4)вероятность одновременного возникновения двух независимых и	сов-
местимых событий равна произведению их вероятностей:
P(AB)=P(A)P(B)	(12.4)

5)сумма вероятностей противоположных событий равна 1.Событие А,

противоположное данному событию А, всегда имеет место, если не имеет ме-

ста событие А, и всегда не имеет места, если событие А имеет место,т.е.
		P(A)+P(B)=1	(12.5)
Поэтому вероятность противоположного события
Р( А) 1 Р( А)			(12.6)

Рассмотрим применение указанных законов в энергетике. Как уже отме-

чалось, аварийные повреждения оборудования являются случайными собы-

тиями. При большом числе агрегатов электростанций и элементов сети по-

вреждение отдельных устройств может сочетаться с повреждением других устройств. Возникает задача определения вероятности одновременного по-

вреждения двух, трех и более устройств (агрегатов) или элементов сети.

В ряде случаев интересно также определить вероятность того, что ника-

ких повреждений в энергосистеме нет, так как эта величина характеризует надежность работы всего оборудования в целом. Эти задачи возникают обычно при необходимости выбора оптимального решения, связанного с обеспечением или надежности работы энергосистемы в целом (выбор опти-

мального резерва мощности), или надежности питания отдельных потребите-

лей (выбор оптимальной схемы электроснабжения потребителя), или устой-

чивости энергосистемы (выбор оптимального уровня устойчивости).

Во всех этих случаях отдельные повреждения рассматриваются как неза-

висимые и совместимые случайные события. Вероятность каждого из них может быть определена как статистическая вероятность на основе длитель-

ного наблюдения над аварийностью данного или однотипного оборудования.

Рассмотрим вероятности зависимых случайных событий энергетике.

Пусть два события А и В являются зависимыми; это означает, что вероят-

ность одного из этих событий изменяется, если происходит другое событие.

Для оценки этого вводится понятие условной вероятности.

Условной вероятностью события А по В называется вероятность события

А, если событие В имеет место. Она обозначается через Р (А/В).

Основные законы для взаимозависимых случайных событии формулиру-

ются следующим образом:

1) условная вероятность события А по В при их совместимости и взаимо-

зависимости равна отношению вероятности одновременного наступления со-

бытий А и В к вероятности события В:

P( AB)

Р( А / B) (12.7)

P(B)

причем Р (АВ) в этом случае не равно Р (А)· Р (В);

2) вероятность одновременного наступления двух взаимозависимых и совместимых событий, как это следует из (4-7), равна произведению услов-

ной вероятности первого события по второму на вероятность второго собы-

тия:

Р( АВ) Р(А / B) P(B)

(12.8)

Взаимозависимыми событиями в энергетике являются, например, повре-

ждения отдельных фаз линии передачи. При повреждении одной фазы линии передачи в сети с незаземленной нейтралью ,напряжения других фаз возрас-

тает в 3 раз, что увеличит вероятность повреждения других фаз.

Но даже в сети с заземленной нейтралью, где повышение напряжения других фаз не имеет места, ионизация воздуха, обусловленная коротким за-

мыканием на одной фазе, способствует перекрытию других фаз.

Если исходное повреждение одной фазы является независимым случай-

ным событием, то одновременное повреждение фаз в том же месте является зависимым случайным событием.

При большом числе однотипных агрегатов в электрической системе веро-

ятности повреждения различного числа агрегатов могут быть определены по биноминальной формуле вероятности для схемы независимых испытаний

(схема Бернулли).

Во многих практических случаях при многократных независимых испы-

таниях могут быть только два исхода: случайное событие А произойдет или не произойдет. Пусть вероятность того, что в каждом из этих независимых испытаний событие А произойдет, равна р, где р обычно определяется как статистическая вероятность. Тогда вероятность противоположного события

(событие А не происходит)

q=1-p

Зная р или q можно определить вероятность того, что в п независимых испытаниях событие А, например повреждение агрегата, случится т раз.

Обозначим эту вероятность через Pmn.Она равна произведению числа комби-

наций из п по т на вероятность события в степени т и на противоположную вероятность в степени (п - m):

Pn C n		pm qn m		n!		pm qn m	(12.9)
m	m		m!(n m)1
Выражение (12.9) называют формулой				биноминального распределения.
Очевидно, что
	n
	Pnm 1						(12.10)

m 0

так как эта сумма охватывает все возможные события (т варьируется от 0

до п).

Cnm q

Формулу (12.9) можно получить также из следующих простых соображе-

ний. Рассмотрим выражение (q p)n . Оно, очевидно, равно единице, так как

(q+p)=1. Разлагая n-ую степень бинома (q+p) в ряд по известному закону,

получим

(q p)n qn nqn 1 p	n(n 1)	qn 2 p2 C n qn m pm pn 1
	1 2	m
		(12.11)

Нетрудно понять смысл членов разложения. Первый член qn соответству-

ет вероятности того, что в n испытаниях событие А не произойдет ни разу, т.

е. равен р0n; второй член —вероятности того, что в n испытаниях событие А произойдет только один раз, т. е. равен р1n . Действительно, вероятность того,

что событие произойдет при каком-то одном определенном испытании, будет

рqn-1, а вероятность того, что событие произойдет при каком-то любом одном испытании, в n раз больше и т. п. Член разложения (m+1)-й, соответствую-

щий вероятности того, что событие будет иметь место т раз, равен n m pm ,

т. е. pnm .

Вместо различных испытаний рассмотрим различные однотипные агрега-

ты, предполагая, что вероятность аварийного состояния для всех таких агре-

гатов одинакова и равна q.

Случайные величины в энергетике К случайным величинам в энергетике относятся такие важные параметры

режима, как спрос электрической мощности и энергии, отклонения частоты и напряжения в электрических сетях от номинальных значений, располагаемая мощность электростанций, мощность агрегатов в аварийном ремонте, дли-

тельности безаварийной работы и аварийного ремонта отдельных агрегатов,

напор на гидростанциях и т. д.

Знание закономерностей этих случайных величин необходимо как при проектировании, так и при эксплуатации энергетических систем. Основой для их изучения является статистический материал и методы теории вероят-

ности.

Прежде чем перейти к рассмотрению случайных величин в энергетике,

остановимся на методах описания их закономерностей. Случайные величины можно разделить на два класса: дискретные и непрерывные случайные вели-

чины. Дискретная случайная величина может принимать только дискретные

(разрозненные) значения, например число агрегатов, вышедших аварийно из работы.

Это число в ограниченном интервале является конечным. Значения не-

прерывных случайных величин могут изменяться непрерывно, т. е. даже в ограниченных интервалах такие величины могут иметь бесконечно большое число значений, например ошибка прогнозирования суммарного спроса мощности.

Для дискретных случайных величин распределение вероятностей различ-

ных их значений может быть наиболее просто задано с помощью таблиц рас-

пределения, в которых в верхней строке указываются все значения, принима-

емые данной дискретной случайной величиной, а в нижней — вероятности соответствующих ей значений. Очевидно, что сумма вероятностей должна равняться единице, если данная случайная величина всегда принимает одно из возможных значений.

Закон распределения вероятностей непрерывных случайных величин нельзя представить, в виде таблицы, так как число значений таких случайных величин бесконечно даже в ограниченном интервале. Кроме того, вероят-

ность получить какое-либо определенное значение равно нулю. На первый взгляд это парадоксально.

Если задана непрерывная случайная величина в некотором ограниченном интервале, а вероятность любого значения ее в этом интервале равна нулю,

то вообще такая величина как будто бы не может иметь никакого значения во всем данном интервале. Ведь вероятность, равная нулю, является вероятно-

стью невозможного события. Однако парадокса здесь нет, и если говорить точнее, то вероятность того, что какая-либо непрерывная случайная величина имеет какое-то определенное значение, бесконечно мала. Вспомним класси-