02 АЗЭ Лекционный материал / лекция 10

Лекция №10 2.8. Методы Гаусса-Зейделя, Ньютона-Рафсона, наискорейшего спуска

(градиентный) и их алгоритмы.

Метод Гаусса-Зейделя

Рассмотрим применение метода Гаусса-Зейделя для решения системы нелинейных алгебраических уравнений в форме баланса токов :

k

n

2

U p

Ypq

Yш, pˆq

KqpYqp Yш,qpˆ

q 1

q k 1

k

n

K pq U q Ypq

K qp U q

Yqp

q 1

q k 1

p 1, , n 1.

		(10.1)
	S p	;
	U p

Обозначим суммы, входящие в выражение (10.1) промежуточными

комплексными величинами:

k

n

2

;

(10.2)

Ap A1p A2 p

Ypq Yш, pqˆ

Kqp Yqp Yш,qpˆ

q 1

q k 1

k

n

(10.3)

Bp B1p B2 p

K pq Uq

Ypq

K qp Uq

Yqp ,

q 1

q k 1

тогда система (10.2) запишется в виде:

S p

p 1, , n 1

U p Ap

Bp

;

(10.4)

U p

Сущность метода Гаусса-Зейделя заключается в разрешении каждого уравнения системы относительно одного переменного с номером,

соответствующим номеру уравнения. Так (i+1) -е приближение напряжения p-го узла определяется следующим выражением:

			i
i 1		S p	U p
				Bp
U p					.	(10.5)
			Ap

Итерационный процесс по методу Гаусса-Зейделя заключается в последовательном уточнении значений узловых напряжений для всех независимых узлов схемы. Причем найденное приближение узлового напряжения сразу же используется для определения напряжений других узлов:

i 1	i 1	i 1	i 1	i	i	,	(10.6)
U p	f p U1	, U2	, , U p 1	, U p	, , Un 1

где f p – нелинейная функция, описывающая итерационный процесс метода Гаусса-Зейделя.

Каждому типу исходных данных соответствует определенный алгоритм решения. Для нагрузочных (генераторных узлов), в которых заданы активная

и реактивная мощности, расчет производится по формуле (10.6).

Для узлов, балансирующих по реактивной мощности, в которых заданы активная мощность и модуль напряжения U p,з , на каждой (i+1)-й итерации

определяется вырабатываемая реактивная мощность

Qp U p2,з A2 pp U1pi B2 p U 2 pi B1p ,			(10.7)
а за тем новое приближение узлового напряжения	i 1	i 1	i 1	по
	U p	U1p	jU 2 p

формуле (10.5). Поскольку задан модуль напряжения U p,з , то величины

U1pi 1 и U 2 pi 1 должны быть такими, чтобы удовлетворялось условие

U1 i 1 2	U 2 i 1 2	U	p,з	.	(10.8)
p	p

Поэтому, в случае выполнения условия

Qp,min

Qp Qp,max ,

(10.9)

после вычисления U1pi 1 и U 2pi 1 их необходимо скорректировать:

i 1

U p,з

i 1

U1p,ск

U1p

;

(10.10)

U1 i 1

2 U 2 i 1

2

p

p

U 2 i 1

U p,з

U 2 i 1 .

(10.11)

p,ск

U1 i 1

2 U 2 i 1 2

p

p

p

Если вычисленное	Qp Qp,min или	Qp Qp,max , то принимают
соответственно Qp Qp,min или Qp Qp,max		и напряжение в данной итерации
не корректируется.
При вычислениях Qp	всегда используются скорректированные значения

напряжений. Поэтому, если в предыдущей итерации не было выполнено условие и напряжение в не корректировалось, то в данной итерации для вычисления Qp корректируются напряжение, найденное в предыдущей

итерации.

Расчет установившегося режима по методу Гаусса-Зейделя считается законченным, если выполняются следующие условия:

1) значение разности рассчитываемых напряжений в смежных итерациях меньше некоторой заданной величины (как по действительной части, так и по мнимой):

U1 i 1 U1 i

;

U 2 i 1 U 2 i

;

p 1, , n 1;

10.12)

p

p

p

p

2) небалансы мощности в каждом узле, определяемые по выражению

2

(10.13)

S p Pp j Qp U p

A p U p

B p S p ,

меньше некоторой заданной величины (как по активной мощности, так и по реактивной):

Pp

;

Qp

;

p 1, , n 1.

(10.14)

При выполнении первого условия (10.12) заканчивается итерационный расчет напряжений и производится расчет узловых небалансов мощности.

Если проверка по небалансам (10.12) дает отрицательный результат, это означает, что погрешность по напряжению ε завышена. Ее необходимо уменьшить и продолжить итерационный расчет напряжений, после окончания которого снова проверяется выполнение условий (10.14).

Так повторяется до тех пор, пока не будут выполнены оба условия (10.12)

и (10.14).

Очень часто проверки (10.12) заменяют следующим условием:

n 1			U1pi 1 U1pi		U 2 pi 1 U 2 pi
								(10.15)
p 1
Такая проверка делается один раз				за итерацию и,			несмотря	на свою

искусственность, является наиболее выгодным практическим критерием.

Вычислительный процесс метода Гаусса-Зейделя при использовании табличного способа описания схемы электрической сети может быть организован в виде последовательного просмотра всех строк таблицы ТУХ.

При этом в пределах каждого пакета узловых характеристик с номером p

производится набор сумм Ap и Bp по выражениям (10.2) и (10.3).

По окончании просмотра строк узлового пакета находится новое приближение напряжения U p по формуле (10.5), а для узлов,

балансирующих по реактивной мощности, кроме того находится реактивная мощность по формуле (3.30) и производится коррекция напряжения по формулам (10.7) и (10.12). По окончании просмотра таблицы ТУХ

оказываются определены напряжения во всех независимых узлах схемы,

этим заканчивается одна итерация.

Расчет узловых небалансов мощности также может быть выполнен в цикле по таблице ТУХ. При этом в пределах каждого пакета узловых характеристик с номером p производится набор сумм Ap и Bp по выражениям (10.2) и (10.3). По окончании просмотра узлового пакета вычисляется узловой небаланс мощности S p по формуле (10.13).

Алгоритм решения системы нелинейных алгебраических уравнений

методом Гаусса-Зейделя

Перед началом расчета (на нулевой итерации) в балансирующих узлах задаются фиксированные по модулю и фазе значения напряжений, а во всех остальных узлах – начальные приближения для неизвестных напряжений.

1. Последовательно просматриваются все строки таблицы ТУХ. При этом в пределах каждого пакета узловых характеристик p, кроме пакетов,

соответствующих балансирующим узлам, выполняются следующие

действия.

1.1.При последовательном просмотре всех строк узлового пакета набираются суммы Ap и Bp по выражениям (10.2) и (10.3).

1.2.Если узел р – нагрузочный, вычисляется новое приближение узлового напряжения U p по формуле (10.5).

1.3.Если узел р – балансирующий по реактивной мощности, то вычисляется вырабатываемая реактивная мощность Qp по выражению (10.7)

и проверяется условие (10.9).

Если это условие выполняется, то вычисляется новое приближение узлового напряжения U p по формуле (10.5), а полученное значение корректируется по формулам (10.10) и (10.11).

Если это условие не выполняется, то значение вырабатываемой реактивной мощности Qp принимают равным ее предельному значению, и

вычисляется новое приближение узлового напряжения U p по формуле (10.5).

2. В цикле по узлам схемы проверяется условие (10.14). Если это условие выполняется, то итерационный расчет напряжений заканчивают и переходят к 3-у пункту алгоритма. Если это условие не выполняется, то возвращаются к

1-у пункту алгоритма.

3. Последовательно просматриваются все строки таблицы ТУХ. При этом в пределах каждого пакета узловых характеристик p выполняются следующие действия.

3.1.При последовательном просмотре всех строк узлового пакета набираются суммы Ap и Bp по выражениям (10.2) и (10.3).

3.2.Вычисляется узловой небаланс мощности S p по формуле (10.13).

X i .

W X 0

3.3.Проверяется условие (10.15). Если это условие не выполняется, то уменьшают погрешность вычисления напряжений ε (в описываемой программе ε уменьшается в 10 раз) и возвращаются к 1-у пункту алгоритма.

4. Получено решение системы уравнений (10.1) с точностью ξ.

Производится выход из алгоритма.

Ускорение сходимости метода Гаусса-Зейделя

Сходимость итерационного процесса метода Гаусса-Зейделя медленная и ухудшается с увеличением числа узловых точек. Также ухудшает сходимость наличие слабых связей между узловыми точками и ветвей,

компенсированных продольной емкостью. наибольшее распространение получил способ ускорения сходимости, заключающийся в применении линейного ускоряющего коэффициента α к полученным при итерационном расчете значениям напряжений:

i 1	i 1	i	i	,	(10.16)
U у	U	U у	U у

где Uуi 1 – улучшенное значение напряжения.

Разработаны способы аналитического определения величины оптимального линейного ускоряющего коэффициента на каждой итерации,

также ускоряющий коэффициент может быть выбран на основании расчета близкого режима. Как правило, линейный ускоряющий коэффициент может бать ориентировочно, но с достаточной точностью, принят равным

α=1,4-1,5

Метод Ньютона-Рафсона

Идея метода Ньютона-Рафсона состоит в последовательной замене на каждой итерации системы нелинейных уравнений линейной системой вида, решение которой дает значения неизвестных X i 1 , более близкие к решению нелинейной системы, чем исходное приближение

W X i	W X i X i 1 X i 0	,	(10.17)
	X

Рассмотрим применение метода Ньютона-Рафсона для решения узловых уравнений баланса мощности.

В качестве вектора-столбца переменных Х выбираем модули и фазы напряжений узлов, а вектор-функция W соответствует узловым небалансам мощности:

	δ	;		ΔP	(10.18)
X			W	.
U			ΔQ

При значениях узловых напряжений, не отвечающих состоянию электрического равновесия сети, сумма потоков мощности во всех ветвях,

отходящих от узла p, будет отличаться от суммарной узловой мощности S p

на величину узлового небаланса мощности

k

n

2

2

S p S p U p

Ypq Yш, pˆq

Kqp

Yqp Yш,qpˆ

q 1

q k 1

(10.19)

k

n

K pq U q Y pq

U p

Kqp U q Y qp

.

q 1

q k 1

Запишем в показательной форме комплекс напряжения узла р:

	j p	,	(10.20)
U p U p e
где U p – модуль напряжения узла р; p	– аргумент или фаза напряжения

узла р.

Тогда сопряженный комплекс напряжения узла р:

	j p	.	(10.21)
U p U p e

Комплексный коэффициент трансформации ветви p-q в показательной

форме запишем следующим образом:

	j pq	,	(10.22)
K pq K pq e

где K pq – модуль коэффициента трансформации ветви p-q; pq – аргумент

коэффициента трансформации ветви p-q.

Тогда сопряженный комплекс коэффициента трансформации ветви p-q:

		e j pq .
K pq K	pq		(10.23)

Для того, чтобы оперировать с вещественными величинами, выделим в

уравнении (10.18) действительные и мнимые части с учетом выражений

(10.19) – (10.23):

P P U 2

g

g

ˆ

K 2

g

g

ˆ

k

n

p

p

p

pq

ш, pq

qp

qp

ш,qp

q 1

q k 1

U p

k

cos p q pq

K pq bpq sin p q pq

U q K pq g pq

q 1

n

p

q qp Kqp bqp sin

p

U q Kqp gqp cos

q qp ;

q k 1

b b ˆ

(10.24)

Q Q U 2

K 2

b b

ˆ

k

n

p

p

p

pq

ш, pq

qp

qp

ш,qp

q 1

q k 1

U p

k

q pq K pq bpq cos p q pq

U q K pq g pq sin p

q 1

n

qp Kqp bqp cos p q qp .

U q Kqp gqp sin p q

q k 1

(10.25)

Введем следующие обозначения:

k	g pq gш, pqˆ
Gpp
q 1

	k		bpq bш, pqˆ
Bpp
	q 1
Gpq		K pq g pq ,
					gqp ,
		Kqp
Bpq		K pq bpq ,
			K		b ,
				qp
					qp

	n
	Kqp2		gqp gш,qpˆ
	q k 1
	n	Kqp2
			bqp bш,qpˆ

q k 1

если р начало ветви; если q начало ветви;

если р начало ветви; если q начало ветви;

;

;

(10.26)

(10.27)

(10.28)

(10.29)

							,	если р начало ветви;
	cos
Cpq	cos p			q		pq	,	если q начало ветви;
		p			q	pq
							,	если р начало ветви;
	sin
S pq	sin p			q		pq	,	если q начало ветви.
		p		q		pq

(10.30)

(10.31)

Тогда уравнения (10.23) и (10.24) могут быть записаны следующим

образом:

	2	n	Gpq					;
Pp Pp U p Gpp U p Uq					Cpq		Bpq S pq
		q 1						(10.32)
Qp Qp U p2		n		Gpq				.
		Bpp U p Uq				S pq	Bpq Cpq
		q 1

При реализации метода Ньютона-Рафсона основной задача является

формирование матрицы Якоби W . Элементы матрицы Якоби – это частные

X

производные небалансов активной и реактивной мощностей по модулям и фазам напряжений узлов. Матрицу Якоби можно разбить на четыре матрицы-

клетки:

	ΔP		ΔP
W		δ		H	N	(10.33)
			U		.
X		ΔQ	ΔQ	L K
		δ	U

Если активные и реактивные мощности заданы во всех узлах, то все матрицы-клетки в (10.33) квадратные и порядок их равен у – числу

независимых узлов схемы без балансирующих.

Если в узле р заданы активная мощность Pp и модуль напряжения U p , то

уравнение баланса реактивной мощности р-го узла не входит в систему

уравнений узловых напряжений, а Qp

– в число зависимых переменных.

Для узла р, балансирующего по реактивной мощности, в матрицу Якоби

(10.33) не входят производные

Qp

,

Qp

,

Pq

,

ΔQq

. В этом случае

δ

U

q

U

p

U

p

q

матрица-клетка ΔQ – квадратная,

порядок ее меньше у на число узлов,

U

балансирующих по реактивной мощности.

Матрица-клетка ΔQ – прямоугольная, в ней у столбцов, а количество

δ

строк меньше у на число узлов, балансирующих по реактивной мощности.

Матрица-клетка ΔP – прямоугольная, в ней у строк, а количество столбцов

U

меньше у на число узлов, балансирующих по реактивной мощности.

Элементы матриц-клеток H, N, L, K определяем, дифференцируя выражения (10.29) по собственным по модулям и фазам напряжений узлов.

Не останавливаясь подробно на самом процессе дифференцирования,

приведем его результаты.

Диагональные элементы матриц-клеток определяются по следующим выражениям:

H

Pp

Q

Q

U 2

B

;

(10.34)

pp

p

p

pp

δp

p

P

P P G

U

2

N

p

p

p

pp

p

;

(10.35)

pp

U p

U p

L

Qp

P P U 2

G

;

(10.36)

pp

pp

δp

p

p

p

Q

Q

Q

B

U 2

K

p

p

p

pp

p

.

pp

U p

U p

Для вычисления недиагональных элементов введем обозначения:

d1pq Gpq Spq Bpq Cpq ; d 2pq Gpq Spq Bpq Cpq ; d3pq Gpq Cpq Bpq Spq ; d 4pq Gpq Cpq Bpq Spq .

(10.37)

(10.38)

(10.39)

(10.40)

(10.41)

Матрицы-клетки несимметричны, их элементы с индексами p-q и q-p

различны:
H pq U p Uq d1pq ;	(10.42)
Hqp U p Uq d 2pq ;	(10.43)
N pq U p d 4pq ;	(10.44)
Nqp Uq d3pq	(10.45)