02 АЗЭ Лекционный материал / лекция 10

Lpq U p Uq d 4pq ;	(10.46)
Lqp U p Uq d3pq ;	(10.47)
K pq U p d1pq ;	(10.48)
Kqp Uq d 2pq .	(10.49)

При использовании табличного способа описания сети диагональные элементы подматриц могут быть образованы при просмотре таблицы узловых характеристик по формулам (10.33) – (10.47), а недиагональные –

при просмотре таблицы узловых соединений по формулам (10.48) – (10.49).

После того, как сформирована матрица Якоби, выполняется решение

линейной системы
W X i X i 1 W X i		(10.50)
X
и определяются следующие приближения неизвестных:
X i 1 X i X i 1 .		(10.51)

Линейная система (2.91) обычно решается методом Гаусса или Гаусса-

Зейделя.

Контроль сходимости метода Ньютона-Рафсона осуществляется по вектору невязок.

Алгоритм решения системы нелинейных алгебраических уравнений

методом Ньютона-Рафсона

Перед началом расчета (на нулевой итерации) в балансирующих узлах задаются фиксированные по модулю и фазе значения напряжений, а во всех остальных узлах – начальные приближения для неизвестных напряжений.

1.Последовательно просматриваются все строки таблицы ТУХ.

2.При этом в пределах каждого пакета узловых характеристик p, кроме пакетов, соответствующих балансирующим узлам, вычисляются узловые небалансы мощности Pp и Qp по выражениям (10.32) и диагональные

элементы матриц-клеток (10.33) по выражениям (10.34) – (10.35).

3. В цикле по узлам схемы выполняется проверка условия (10.32).

Если это условие выполняется, то получено решение с точностью ξ.

Производится выход из алгоритма. Если это условие не выполняется,

переходят к следующему пункту алгоритма.

4. Последовательно просматриваются все строки таблицы Ту. При этом для каждой ветви p-q вычисляются недиагональные элементы матриц-клеток

(10.33) по выражениям (10.48) – (10.49).

5.Решается линейная система уравнений (10.50) и находятся новые значения неизвестных (10.51).

6.Осуществляется переход к 1-му пункту алгоритма.

Градиентный метод

Градиентный метод представляет собой один из приближенных итерационных методов решения систем нелинейных уравнений, в котором решение – совокупность значений неизвестных – отыскивается, как координаты точки экстремума некоторого функционала, построенного на названной совокупности определенным образом. Совокупностью значений неизвестных функций является комплексный вектор узловых напряжений

, где U1 и U2 – соответственно вектора действительных и

U U1 jU2

мнимых частей значений узловых напряжений. Размерность векторов равна у

–числу независимых узлов схемы без балансирующих.

Витерационном процессе решения уравнений нормального режима составляющие вектора U принимают значения, вообще говоря, не отвечающие состоянию электрического равновесия сети. Это выражается в том, что уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа для

независимых узлов, не выполняются:

		(10.52)
Y U J .

где Y Y1 Y 2 - матрица узловых проводимостей сети, Y1, Y2 -

соответственно, матрицы активных и реактивных проводимостей. Знак минус перед Y2 учитывает преобладающий индуктивный характер ветвей сети.

Выражение (10.52) можно трактовать следующим образом. Сумма токов в

продольных ветвях не равна сумме токов в поперечных ветвях сети, если узловые напряжения не соответствуют электрическому режиму сети.

Расхождение составляющих выражения		(10.52)	для	каждого	узла можно
характеризовать током небаланса. Вводя вектор				jI2 токов небаланса
			I I1
для всех независимых узлов рассматриваемой сети можно					записать в
матричной форме:
					(10.53)
Y U J I .

С учетом вещественных и мнимых составляющих получим:

Y1 jY2 U1 jU2 J1 jJ2 I1 jI2

или, разделяя вещественные и мнимые части

	Y1 U1	Y2 U2 J1 I1;	(10.54)
	Y2 U1	Y1 U2 J2 I2.

В отношении вектора токов небаланса можно совершенно естественно утверждать, составляющие его тем больше, чем далее составляющие вектора

U находятся от их значений, соответствующих электрическому режиму сети,

и наоборот по мере приближения к режиму составляющие вектора токов небаланса становятся меньше и обращаются в нуль при достижении точного решения.

По вектору I можно судить о степени близости вектора узловых напряжений к решению на любых этапах итерационного процесса.

Целесообразнее всего эту оценку производить по значению некоторого функционала , связывающего все составляющие комплексного вектора

						W	I1
I I1 jI2	или	эквивалентного	ему	вещественного	вектора		I2	,
размерность которого равна 2у.
Формирование		функционала	токов	небаланса	W	наиболее

целесообразно в виде суммы четных степеней значений составляющих, что проще всего реализуется в виде суммы квадратов, которая представляет собой квадрат длины вектора W в пространстве размерностью 2у:

2 y	y	y
wi2	I1i2	I 2i2	W2 .	(10.55)
i1	i1	i1

Зависимость y y(W) , получившая название функционала токов небаланса,

может быть построена различными способами:

а) алгебраическим суммированием составляющих;

б) суммированием составляющих по модулю;

в) суммированием квадратов составляющих и т.д.

Суммирование выбирается в качестве основного действия в построении функционала потому, что значение функционала должно в виде аддитивного критерия оценивать влияние всех составляющих. Все три приведенных способа построения функционала удовлетворяют одному главному требованию - при достижении решения y=0.

Однако по первому способу нулевое значение y можно получить и не только при достижении решения за счет компенсации составляющих при разных знаках составляющих токов небаланса.

Второй способ построения функционала не выгоден поскольку функция модуль вблизи нулевой точки претерпевает разрыв, поэтому применение дифференциальных способов отыскания экстремума становится невозможным.

Обозначим Х вектор, составленный из векторов U1 и U2 в виде X	U1	.
	U2
Производя дифференцирование функционала по всем составляющим
вектора Х, получим вектор-градиент токов небаланса

G grad X		.	(10.56)
	X

Вектор-градиент дает направление наискорейшего возрастания функционала .

Естественно, в противоположном направлении, которое определяется вектором антиградиентом, функционал будет стремиться к нулю. Зная

некоторые значения составляющих вектора узловых напряжений Х, можно найти новые значения составляющих этого вектора, отвечающие меньшему,

чем исходные, значению функционала .

Для этого надо сделать шаг t в направлении вектора антиградиента в соответствии с выражением

X i 1 X i t grad	X	,		(10.57)
где (i+1)– номер итерации.
Знак минус учитывает то, что движение от			X i к	X i 1 производится в

направлении, обратном градиенту.

При реализации алгоритма градиентного метода расчета установившегося режима по выражению (10.57) возникают две задачи:

1)определение вектора градиента (10.56);

2)определение оптимальной величины шага t в направлении антиградиента,

который соответствует направлению обобщенной касательной к поверхности функционала φ в некоторой точке Xi многомерного (2у-мерного)

пространства.

Рассмотрим подробно определение вектора градиента, производя дифференцирование в соответствии с выражением (10.55) по всем составляющим вектора Х:

W

I1

I2

W2

W

I1

.

2

W 2

U1

W 2

U1

U1

(10.58)

X

X

X

W

I1

I2

I2

U2

U2

U2

Выражения для производных токов небаланса можно получить,

дифференцируя выражения (10.54) для составляющих I1 и I2:

I1

Y1

J1

;

(10.59)

U1

U1

I1

Y2

J1

;

(10.60)

U2

U2

I2

Y2

J2

;

(10.61)

U1

U1

I2

Y1

J2

.

(10.62)

U2

U2

После подстановки этих выражений получаем:

Y1

J1

Y2

J2

J1

J2

Y2

2

U1

U1

I1

2

U1

U1

I1

2

Y1

I1

.

X

Y2

J1

Y1

J2

I2

J1

J2

I2

Y2

Y1

I2

U2

U2

U2

U2

Первую составляющую

обозначим

X

J1

J2

U1

U1

I1

П1

(10.63)

J1

J2

I2

П2

U2

U2

Составляющие вектора задающих токов для произвольного узла p могут быть найдены по следующим выражениям:

J1			Pp U1p Qp U 2 p	;	J 2			Pp U 2 p Qp U1p	.	(10.64)
	p		U p2			p		U p2

Выражения для производных задающих токов можно получить,

дифференцируя составляющие задающих токов. Производные задающих токов представляют собой диагональные матрицы, так как задающий ток зависит только от напряжения своего узла.

				J1				2J1 U1 P	;
								U 2
				U1
			J1					2J1 U 2 Q	;
	U 2							U 2
			J 2					2J 2 U1 Q	;
		U1						U 2
			J 2					2J 2 U 2 P
		U 2						U 2
Теперь умножение				диагональных подматриц						J
										U

(10.65)

(10.66)

(10.67)

(10.68)

на составляющие

вектора	тока небаланса		можно выполнить	в простом цикле по узлам.
Результаты умножения			будем размещать в	составляющих комплексного
вектора	произведения
		П П1 jП2 . Для каждого узла p надо выполнить

следующие операции:

1)

П1 2 J1P U1P PP I1P 2 J 2P U1P QP I 2P ;

(10.69)

P

U P2

2)

П2P

2 J1P U 2P QP

I1P 2 J 2P U 2P PP I 2P

(10.70)

U P2

Вторую составляющую

обозначим

X

Y1

Y2

I1

D1

.

(10.71)

Y2

Y1

I2

D2

Сравнивая с выражениями (2.112), устанавливаем:

Y1 jY2 I1 jI2 D1 jD2 ,

или

		(10.72)
Y I D .
Это произведение может быть вычислено		без формирования самой

матрицы Y , пользуясь только таблицей ветвей Ту. Если результаты размещаются в векторе D , то его первоначальное состояние должно быть нулевым. С точки зрения удобства алгоритма, можно результаты умножения добавлять в вектор П , который получен при вычислении первой

составляющей		.	Для		каждой		ветви			p-q вычисляются	следующие
	X
выражения:
1)		a	ja		I	I	K pq			Y pq ;	(10.73)
	1			2	p	q
		a3 ja4			a1	ja2					(10.74)
									K pq ;
2)	П1p П1p a1 ;							П2 p П2 p a2 ;			(10.75)
3)	П1q П1q a3 ;							П2q П2q a4 .			(10.76)

При реализации алгоритма градиентного метода по изложенным выше принципам и формулам вычислительная схема нахождения вектора-

градиента состоит из двух независимых циклов: 1) по узлам схемы, 2) по таблице ветвей Ту. При этом, за счет применения табличного метода,

выражения с квадратными матрицами не используются, хотя они и применялись при математическом описании задачи.

Далее рассмотрим подробно определение величины шага t в направлении антиградиента. Выбор шага определяет эффективность метода нахождения минимума функционала φ. Часто шаг выбирают эмпирически, исходя из опыта расчетов, и умножают на коэффициенты, учитывающие характер итерационного процесса. Разработаны аналитические способы определения оптимального или близкого к оптимальному шага. Один из таких способов

состоит в следующем.

Обозначим пробный или произвольный шаг tп . При t tп можно получить новое значение неизвестных X(1) .

Будем считать наилучшим значением t t , соответствующее минимуму φ по направлению антиградиента, т. е.

		0 .	(10.77)
t
		t t

Значение уточняющего шага tу , удовлетворяющее условию (10.21),

можно вычислить приближенно, приняв допущение о линейной зависимости

f t . Исходя из этого допущения, запишем:t

t

t

t

t 0

t tп

t tп

,

tп

tу

откуда уточняющий шаг

tу

t

t tп

tп ,

(10.78)

t

t

t 0

t tп

где

и

– производные

функционала φ

по направлению

t

t

t 0

t tп

антиградиента соответственно в начальной точке t 0

и при значении t tп .

Производную можно представить в виде

t

Х .t Х t

Запишем основное выражение для итерационного шага

Х 1 Х 0 tп G t 0 ,

откуда

Х	G			G0 .
t			t 0

(10.79)

(10.80)

(10.81)

Тогда выражения для производных можно представить следующим образом:

Х Gт

G

G2

;

(10.82)

t

Х

t

0

0

0

t 0

t 0

Х Gт G

Gт G

.

(10.83)

t

Х

t

1

0

1

0

t tп

t tп

Выражение для нахождения уточняющего шага (10.82) запишется следующим образом:

t y	G1т G0			tп .			(10.84)
	G02 G1т G0
После вычисления шага ty	можно		определить новые			значения
неизвестных X(2) , принимая в качестве направляющего вектора								:
						t
Х 2 Х 1 tп G								t tп
							(10.85)
		.
		t tп

Итерационный процесс градиентного метода сходится, если изменение функционала φ в i 1 -м шаге меньше заданной величины:

i 1				i 1 i		.	(10.86)

Условие аналогично контролю сходимости по небалансам. Если считать,

что итерационный процесс сойдется к нулевому значению функционала φ, то для контроля окончания расчета можно применять условие

i1		.	(10.87)

Если предполагать, что итерационный процесс может сойтись к ненулевому значению функционала φ, то следует применять условие (10.88).

Алгоритм решения системы нелинейных алгебраических уравнений

градиентным методом

1. При заданном исходном приближении вектора X 0 вычисляем

составляющие вектора токов небаланса I1 и I2 и находим функционал φ по

формуле (10.55).

1.Проверяем, выполняется ли условие (10.73). Если это условие выполняется, то X 0 и есть решение с точностью ε. Если условие не выполняется, переходим к 3-у пункту алгоритма.

2.Вычисляем в точке исходного приближения X 0 градиент G 0 . Для этого

выполняем следующие действия.

1.1.В цикле по узлам схемы для каждого узла p вычисляются выражения

(10.56) и (10.57).

1.2.В цикле по таблице Ту для каждой ветви p-q вычисляются выражения

(10.50) – (10.63).

3. Выбираем шаг по направлению антиградиента.

1.3.Выбираем пробный шаг tп .

1.4.Вычисляем по (10.68) новое значение неизвестных X 1 при t tп .

1.5.Вычисляем составляющие вектора токов небаланса I1 и I2 и находим градиент G1 в точке X 1 при t tп .

1.6.Находим уточняющий шаг по формуле (10.71).

4.Определяем новое значение неизвестных X 2 по формуле (10.72).

5.Возвращаемся к 1-у пункту алгоритма.