для первого курса / для первого курса / Ответы по вышке / Ответы по вышке / Ряды / 01. Числовые ряды. сумма ряда, сходимость

Понятие о числовом ряде.

Определение. Числовым рядом называется ∞выражение вида:

1 + 2 + 3 + + = (1)

=1

Где ai i=1∞ члены ряда, которые являются некоторыми числами. Общий член ряда задается формулой :

= ( )

Многоточие в конце ряда указывает на то, что выражение (1) не имеет

последнего слагаемого, т.к за последним слагаемым следует следующий. Шутят, что именно в многоточии скрыта суть ряда.

Таким образом ряд представляет собой « бесконечную» сумму, которая, вообще говоря, невозможно вычислить.

Поэтому формула (1) – это некий математический символ, которому надлежит определенный смысл.

Определение: Сумма «n» первых членов называется nой частичной суммой
Таким образом ряд	= 1 + 2 + 3 +
ряда.
слагаемых.	обобщает понятие суммы на бесконечное множество
Определение. Если последовательность частичных сумм числового ряда

имеет предел, то ряд называется сходящимся и предел последовательности
частичных сумм:		= lim		(3)
		→∞
принимают за сумму ряда.		∞		(4)
	=
Символ стоящий, слева в	формуле(4) обозначает и сам ряд и его сумму в
		=1

случае сходимости.

Ряд называется расходящимся если предел его частичной суммы не существует или равняется бесконечности. Для практики наибольший интерес представляют сходящиеся ряды, поэтому мы выявим сходящиеся ряды, которые будут эталонами и мы будем использовать в дальнейшем для сравнение с неизвестным рядом, сходимость которого необходимо определить.

Одним из важнейших рядов является ряд, порожденный геометрической

прогрессии.	{ −1} →	1 + 1	+ 1			2		+ 1	−1 +
Из школьного курса мы знаем,			что сумма геометрической прогрессии.
					1		≠ 0
		= 1, ∞;
		(1 − )
Рассмотрим случаи =		1 −		= 1 − −				1 −	(7)
1. IqI<1 тогда вторая чать слагаемого равняется 0 и ряд сходящийся.
		→∞
		lim = 1 −

2. IqI>1 вторая часть слагаемого равняется бесконечности и тогда предел равняется бесконечности, значит ряд расходящийся.

3.	q=1 тогда		+ + +			+ = lim
Следовательно предел1				равняется1 1		→∞
					бесконечности1

4. q=-1 следовательно при четном количестве компонентов сумма будет равняться 0 а при нечетном количестве а. Следовательно ряд расходящийся.

только при одном условии, когда IqI<1 и тогда сумма ряда:

Таким образом ряд, порожденный геометрической прогрессии, сходится lim = 1 −

→∞