для первого курса / для первого курса / Ответы по вышке / Ответы по вышке / Ряды / 03-04. Признаки сходимости положительных рядов

Сформулируем достаточные признаки сходимости для положительных

рядов.	1 + 2 + + + ≥ 0 (1)
Первый признак
Принимаем за положительный ряд, ряд (1):
	сравнения.			∞
Рассмотрим два положительных ряда.					(1)
	1	+ 2	+ + + =
				=1
	1	+ 2		∞	(2)
			+ + + =
В этом случае говорят что ряд (1)				=1

мажарируется рядом (2) Сформулируем теорему сравнения (признак сравнения)

Если заданный плоский ряд мажорируется сходящимся рядом то так же сходится.

Следствием из теоремы сравнения если заданный1 ряд(1) мажорирует расходящийся положительный ряд (2), то ряд(1) так же расходящийся.

Второй признак равнения.
Если для положительных рядов (1) и (2) существует конечный и отличный
есть либо оба сходящимсяlim→∞						=	то оба ряда одинаковой сходимости, то
от нуля конечный придел
Если lim→∞		= 0		или оба расходящиеся.
Если			то из сходимости ряда 2 следует сходимость рада 1.
общий	члены сравниваемых рядов эквивалентны, то оба ряда будут

себя вести одинаков. Признак Даламберы.

Теорема. Если для положительного ряда (1) существует придел, при n стремящийся к бесконечности, отношение последнего члена к предыдущему и это значение равняется L. Если L>1 ряд расходящийся, если L<1 то ряд сходящийся. И если L=1 то вопрос остается открытым.

Радикальный метод Каши.

Если для положительного ряда (1) существует корень н-ной степени от н- ого члена при n→∞ равный L. Если L>1 ряд расходящийся, если L<1 то ряд сходящийся. И если L=1 то вопрос остается открытым.

Интегральный признак Каши.

Данный признак основан на замене исследуемого ряда, исследовании сходимости не собственного интеграла.

Теорема 1. Если функция от х при х больше или равно 1 непрерывна, положительна и монотонно убывает то ряд в котором каждому слагаемому Un соответствует f(n) то ряд или сходится или расходится в зависимости от интеграла от этой функции.

Данный признак используют в том же случаи, когда достаточный несобственный интеграл просто вычисляется.

Рассмотрим ряд порожденный функции( ) = 1:

Этот ряд можно записать в виде

∞

1

1

1

+ +

1

+ ( )

= 1 +

+

=1

2

3

1

И соответственно

(х) =

и

для него функция

Ряд (*) – обобщенный

гармонический

∞ 1

х

Для того, что бы определить1

х

несобственный интеграл имеет вид

сходимость

ряда

(*) нужно исследовать

интеграл , если он сходится, то интеграл сходится, если расходится, то ряд

расходится.		lim		= 0 → ДПС
∞
Видим, что необходимый признак сходимости:
		→∞	1
	1 = → > 1 →←
	х			сходиться иначе не сходится.
Следовательно если Л больше 1 то ряд ≤ 1 ←→
Ряд (*) является вторым эталонным рядом с которым мы будем сравнивать

неизвестным рядом. Если α=1 ряд (*) превращается в простой гармонический
		1	= 1 + 1	+ 1	+ + 1	+ ( )
ряд.	∞		2	3
	=1