a=Ae−nt.

Определим отношение двух следующих одна за другой амплитуд зату-

хающих колебаний. Пусть в момент времени t амплитуда at = Ae−nt , через

промежуток времени, равный половине периода TС/2, амплитуда становится равной

at+T = Ae

−n(t+

ТС

)

2 .

Тогда

TС

Ae

−n(t+

)

TС

D =

= e−n

2

2 .

(16)

Ae

−nt

Таким образом, отношение каждой последующей амплитуды затухающих колебаний к предыдущей постоянно, т.е. последовательные значения амплитуд составляют геометрическую прогрессию со знаменателем D, называемым декрементом колебаний и определяемым по формуле (16).

Движение, описываемое уравнением (15), не является периодическим, так как последовательные максимальные отклонения точки от положения равновесия уменьшаются.

Таким образом, влияние сопротивления на свободные колебания ма-

териальной точки выражается в уменьшении амплитуды по закону геометрической прогрессии.

2.2.Апериодическое движение

1.Рассмотрим подробно движение материальной точки под действием восстанавливающей силы и силы сопротивления, параметры которых характеризуются равенством n = k. Дифференциальное уравнение этого движения представлено уравнением (10). Корни соответствующего характеристическо-

го уравнения (11) будут действительными и равными: r1 = r2 = n. Следовательно, решение дифференциального уравнения (10) запишем в

виде

Скорость точки	x = e−nt (C1 +C2t) .		(17)
	−nt	−nt
&
	= −ne (C1 +C2t) +C2e		(18)
x

Подставим в (17) и (.18) начальные условия t = 0, x = x0, x& = x&0 и получим уравнения для определения С1 и С2 :

х0 =С1, x&0 = -С1n + C2,

откуда

С1=х0, С2 = x&0 + nх0.

Таким образом, для заданных начальных условий уравнение движения точки запишется в виде

x = e

−nt

(x0 + (x0 + nx0 ) t)

(19)

&

Из уравнения (19)

следует, что движение точки не носит колебательно-

го характера, но остается затухающим, так как

при t→ ∞ х→0.

х

Такое движение называется апериодиче-

х0

ским.

На рис. 10 показаны три графика аперио-

t

дического движения, соответствующие различ-

O

ным начальным условиям.

х

a

На всех трех графиках начальное отклоне-

х0

ние точки от положения равновесия

х0 > 0.

График а) представляет собой движение точки

O

t

с начальной скоростью

&

x0 > 0. Благодаря этой

скорости точка сначала удаляется от положе-

х

b

ния равновесия, а затем под действием восста-

навливающей силы

приближается

к нему.

х0

График b)

соответствует движению точки с

достаточно

большой

по величие начальной

O

t

скоростью

&

x0 , направленной противоположно

начальному отклонению х0. В этом случае точ-

c

ка может совершить один переход через поло-

жение равновесия, а затем приблизиться к это-

Рис.10

му положению. График с) соответствует дви-

жению, при котором скорость x&0 противоположна по направлению х0, но невелика по величине.

2. Случай большого сопротивления (n> k). В этом случае оба корня ха-

рактеристического уравнения (11) будут отрицательными:

r	= −n ± n2 −k 2 .
1,2

Решение дифференциального уравнения (3.10) записывается в виде

x = C1er1t +C2er2t

или