13. Взаимное расположение двух прямых.

Теорема: Пусть в некоторой аффинной системе координат даны две прямые ℓ₁: А₁ х+В₁ у+С₁ =0 и ℓ₂: А₂ х+В₂ у+С₂ =0. Тогда:1) ℓ₁ = ℓ₂ <= > А₁, В₁, С₁ и А₂ , В₂ , С₂ - пропорциональны, то есть: ,

2) ℓ₁ ‖ ℓ₂ <= >

3) ℓ₁ ∩ ℓ₂ ≠ Ø <= > А₁, В₁, С₁ и А₂ , В₂ , С₂ - не пропорциональны.

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть для прямых ℓ₁ и ℓ₂ выполнено условие =λ илиА₁ = λ А₂ ; В₁ = λ В₂ ; С₁= λС₂ . Это означает, что уравнение прямой ℓ₁ можно записать в виде: λ(А₂ х+В₂у+С₂) =0 <=> любая точка прямой ℓ₁ принадлежит прямой ℓ₁ то есть эти прямые совпадают.

Достаточность.

Пусть ℓ₁ = ℓ₂ = > векторы нормали прямых ℓ₁ и ℓ₂ коллинеарны, то есть А₁ = λ А₂ ; В₁ = λ В₂ . Это означает, что уравнение прямой ℓ₁ можно записать в виде: λ(А₂ х+В₂ )+С₁ =0. = > С₁ = - λ(А₂ х+В₂ у) = λС₂ = > А₁ = λ А₂ ; В₁ = λ В₂ ; С₁= λС₂ .

2) Необходимость.

Пусть для прямых ℓ₁и ℓ₂ выполнено условие . В этом случае векторы нормалей прямыхℓ₁и ℓ₂ коллинеарны, а значит прямые ℓ₁ и ℓ₂ параллельны, но не совпадают, так как для совпадения прямых ℓ₁и ℓ₂ необходимо и достаточно, что бы .

Достаточность.

Пусть ℓ₁ ‖ ℓ₂ . = > что векторы нормалей и коллинеарны, а это значит, что А₁ = λ А₂ ; В₁ = λ В₂ ; но С₁≠ λС₂ так ℓ₁ ≠ ℓ₂.

3) Необходимость.

Пусть ℓ₁ ∩ ℓ₂ ≠ Ø. = > что векторы нормали не коллинеарны, а это значит, что А₁, В₁ и А₂ , В₂ - не пропорциональны.

Достаточность.

Пусть А₁, В₁ и А₂ , В₂ - не пропорциональны. = > что векторы нормалей не коллинеарны, а это значит, что прямые ℓ₁ и ℓ₂ не совпадают и не коллинеарны => прямые ℓ₁ и ℓ₂ пересекаются .

14. Уравнение прямой, заданной точкой и вектором нормали.

Определение. Вектор перпендикулярный плоскости α называется вектором нормали плоскости α.

Очевидно, что существует множество векторов нормали для конкретной прямой, все они коллинеарны между собой.

Задача составления уравнения прямой, заданной точкой и вектором нормали, является метрической задачей. Метрические задачи обычно рассматриваются в прямоугольной системе координат.

Введём на плоскости прямоугольную систему координат R(O,). В которой зададим точку М₀, вектор и рассмотрим прямую, проходящую через точку М₀ перпендикулярно вектору .

Очевидно, что произвольная точка М принадлежит прямой ℓ тогда и только тогда когда . Условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения. Учитывая то, чтополучаем:

Уравнение называется уравнением плоскости, заданной точкой М_о(х_о,у_о) и вектором нормали _.

15. Расстояние от точки до прямой.

Определение. Расстоянием от точки М до прямой ℓ является длина перпендикуляра, опущенного из точки М на l прямую ℓ.

Теорема IV. Расстояние от точки М₀( x₀ ; y₀ ) прямой ℓ, заданной уравнением общего вида : ℓ: Ах+Ву+С=0, вычисляется по формуле : .

Доказательство.

Пусть в прямоугольной системе координат задана прямая ℓ: Ах+Ву+С=0 и т. М₀(x₀; y₀), не лежащая на этой прямой . Вычислим расстояние от точки М_о до прямой ℓ. Заметим ,что =>||, где точка Н – основание перпендикуляра, опущенного из точки М₀ на прямую ℓ, координаты которой Н( x_H; y_H ).(Рис.).Тогда

Откуда следует, что ρ(М₀,ℓ) = ǀНМǀ=ǀ(,)ǀ/ǀǀ. Учитывая, что (,)= А(x_H-x₀) +B(y_H-y₀); и так как точка Н лежит на прямой ℓ, то есть Ах_Н + Ву_Н + С=0, получаем:

.

16. Геометрический смысл знака трёхчлена Ах+Ву+С.

Теорема III. Если в аффинной системе координат дана прямаяℓ: Ах+Ву+С=0, и точка М₁(x₁;y₁),координаты которой удовлетворяют неравенству Ах₁+ Ву₁+ С > 0, то точка М₁ лежит по одну сторону от прямой ℓ с концом вектора , если его начало приложить к некоторой точке прямойℓ. Если координаты и точки М₁(x₁;y₁) удовлетворяют неравенству Ах₁+ Ву₁+ С< 0, то точка М₁ с концом вектора лежат по разные стороны от прямойℓ, если начало вектора приложить к некоторой точке прямой ℓ.

Доказательство.

Прежде, чем привести доказательство сформулированной теоремы, заметим, что вектор не параллелен плоскостиα. Для того чтобы убедиться в этом проверим условие параллельности вектора плоскости α : А² + В² + С² ≠ 0.

Пусть в пространстве введена аффинная система координат R=(О) и дан многочленАх+ Ву+ Сz+D. Если в этот многочлен подставит координаты точки М₁, то значением этого многочлена буде некоторое число

δ. Возможны следующие случаи: .

В случае б) точка М₁ принадлежит плоскости α. Выясним, где находится точка М₁ в двух остальных случаях.

Проведём через точку М₁ прямую М₁Н параллельно вектору , Тогда так как

, то =λ·=> х_Н - х₁ = λА; у_Н - у₁ = λВ; . => х₁ = λА + х_Н ; у₁ = λВ + у_Н (10)

Подставив выражения для x₁; y₁ и z₁ в многочлен Ax + By + C , получаем: δ = Ax₁ + By₁ + C = λ(А² + В² ) + Ax_H + By_H + C.

Так как точка Н принадлежит прямой ℓ, то сумма подчёркнутых слагаемых равна 0. Таким образом δ = λ(А² + В² ). Отсюда получаем, что знак δ зависит от знака λ.=> Если λ > 0 , то вектор и вектор сонаправлены и их концы расположены по одну сторону отпрямой ℓ. Если λ < 0 , то вектор и вектор противоположно направлены и их концы расположены по разные стороны отпрямой ℓ.

Теорема доказана.