23. Уравнение прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей.

В пространстве нельзя задать прямую точкой и вектором нормали, так как эти данные не определяют положение прямой в пространстве единственным образом. (см. Рис. 16) В тоже время, если в пространстве даны две не параллельные плоскости, то их линия пересечения ─ прямая, определённая единственным образом.

Задача

Дано: α∩β = ℓ

α: А₁ х+В₁ у+С₁ z+D₁ =0

β: А₂ х+В₂ у+С₂ z+D₂ =0.

Составить уравнение прямой ℓ

Решение

Так как точка М, принадлежащая прямой ℓ = α ∩ β, то её координаты одновременно удовлетворяют как уравнению плоскости α так и уравнению плоскости β, то есть удовлетворяет системе уравнений

- система уравнений называется уравнением прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей

24. Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть d – прямая. Точка d и направляющий вектор . Плоскость α задана уравнением:. Возможны следующие случаи взаимного расположения прямой и плоскости:

1) Прямая пересекает плоскость, то есть: d ∩α = N. В этом случае прямая и плоскость имеют одну общую точку.

2) Прямая параллельна плоскости, то есть: d || α. В этом случае прямая и плоскость не имеют общих точек.

3) Прямая лежит в плоскости, то есть: dα. В этом случае прямая и плоскость имеют бесчисленное множество общих точек.

Таким образом, задача о взаимном расположении прямой и плоскости сводится к вопросу о существовании общих точек, принадлежащих как прямой, так и плоскости. Это значит, что координаты этих точек должны удовлетворять как уравнению плоскости, так и уравнениям прямой, то есть являться решением системы уравнений:

Для решения этой системы уравнений относительно трёх неизвестных х,у и z, запишем её в виде:

Для решения полученной системы четырёх уравнений относительно четырёх уравнений, сведём её к одному уравнению относительно одной переменной t. Для этого выражения для x, y и z последних уравнений подставим в первое уравнение. Таким образом получаем уравнение для определения параметра t, соответствующего точки пересечения прямой d и плоскости :

Уравнение имеет единственное решение, если

Условие является условием пересечения прямой и плоскости.

Если в уравнении

и

,

то оно не имеет решения. Таким образом, условие иявляется условием параллельности прямой и плоскости.

Если в уравнении

и

то оно имеет бесчисленное множество решений. Таким образом,

условие иявляется условием принадлежности прямой плоскости.

25. Исследование формы эллипса по его уравнению

Пусть дан эллипс своим каноническим уравнением (4) .

Для определения вида кривой заданной уравнением (4), заметим:

а) Координаты начала системы координат точки О(0;0) не удовлетворяют

уравнению (4). => Эллипс не проходит через начало координат.

б) Найдём точки пересечения эллипса с осью Ох : =>=> Эллипс две точки пересечения с осью Ох :и

в) Найдём точки пересечения эллипса с осью Оу : =>=> Эллипс две точки пересечения с осью Ох :и.

г) Если точка М(х;у) принадлежит эллипсу, то из уравнения (4) следует, что и точка М₁(-х;у) принадлежит эллипсу. => Эллипс симметричен относительно оси Ох.

д) Если точка М(х;у) принадлежит эллипсу, то из уравнения (4) следует, что и точка М₂(х;-у) принадлежит эллипсу. => Эллипс симметричен относительно оси Оу.

На основании г) и д) можно сделать вывод, что эллипс симметричен относительно начала системы координат.

е) Из уравнения (4) ,=>и=> Все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, ограниченного прямымии.

ж) Так как , то можно сделать вывод, что с ростом у от 0

до величина х убывает отдо 0.

з) =>=>=>

<0 => Если , то, то есть функциявыпукла вверх. Учитывая симметричность эллипса относительно осей координат, получаем изображение эллипса

Точки А₁, А₂, В₁, В₂ ─ называют вершинами эллипса. [A₁A₂] ─ большой осью эллипса, [B₁B₂] ─ называют малой осью эллипса. Числа иназывают полуосями эллипса.