17. Уравнение плоскости заданной точкой и двумя параллельными ей векторами.

Пусть дана точка М₀(x₀,y₀,z₀) и два параллельных ей вектора исоставим уравнение этой плоскости δ. Для определения координат вектора нормали этой плоскости поступим следующим образом.

а) Запишем уравнение плоскости δ, проходящей через точку М₁ перпендикулярно некоторому вектору : δ:б) Так как векторы ипараллельны плоскости δ, то воспользуемся условиям (7) параллельности этих векторов плоскости δ.в) В результате получаем, что координаты вектора нормали плоскости δ должны являться решением системы уравнений:

(10)

Система уравнений (10)является системой линейных одноородных уравнений относительно неизвестных координат вектора нормали плоскости δ. Она имеет ненулевое решение, если определитель системы равен нулю. Таким образом, для плоскости, проходящей через точку М₀ параллелно векторам и должно выполняться условие

. (11)

Соотношение (11) является уравнением относительно неизвестных x, y и z, которые являются координатами любой точки М(x;у;z) плоскости σ, его называют уравнением плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторам.

18. Уравнение плоскости заданной тремя точками.

Согласно аксиомам геометрии через любые три точки пространства проходит единственная плоскость. Получим уравнение плоскости проходящей через три точки М₁(x₁;y₁;z₁), М₂(x₂;y₂;z₂), М₃(x₃;y₃;z₃).

Для решения этой задачи воспользуемся уравнением , считая , что, и. В этом случае уравнение плоскости σ, проходящей через точки М₁(x₁;y₁;z₁), М₂(x₂;y₂;z₂), М₃(x₃;y₃;z₃), запишется в виде : (12)

Соотношение (12) это уравнение относительно неизвестных x, y и z, которые являются координатами любой точки М(x;у;z) плоскости σ, его называют уравнением плоскости, проходящей через три точки .

19. Уравнение плоскости, заданной точкой Мо и вектором нормали. Определение. Вектор, перпендикулярный плоскости, называется вектором нормали плоскости.

Поставим перед собой задачу получить уравнение плоскости в пространстве, заданной точкой и вектором нормали.

Введём пространстве прямоугольную систему координат и рассмотрим плоскость, заданную точкой М_о(х_о,у_о) и вектором перпендикулярным плоскости α. Приведённые данные определяют положение плоскости α в пространстве единственным образом.

Пусть точка М(x;y;z) − произвольная точка плоскости α. Очевидно, что точка М(x,y,z)тогда и только тогда, когда векторыивзаимно перпендикулярны. =>. Координаты вектораи вектора() известны, =>

Уравнениеназывается уравнением плоскости, заданной точкой М_о(х_о,у_о) и вектором нормали .

20. Взаимное расположение двух плоскостей.

Теорема IV. Пусть в некоторой аффинной системе координат даны плоскости α: А₁ х+В₁ у+С₁ z+D₁ =0 и β: А₂ х+В₂ у+С₂ z+D₂ =0. Тогда:

1) α = β <= > А₁, В₁, С₁, D₁ и А₂ , В₂ , С₂ , D₂ - пропорциональны, то есть: ,

2) α ‖ β <= >

3) α ∩ β ≠ Ø <= > А₁, В₁, С₁, D₁ и А₂ , В₂ , С₂ , D₂ - не пропорциональны.

Доказательство.

1. Необходимость.

Пусть для плоскостей α и β выполнено условие =λ илиА₁ = λ А₂ ; В₁ = λ В₂ ; С₁= λС₂ ; D₁= λD₂ . Это означает, что уравнение плоскости α можно записать в виде: λ(А₂ х+В₂+ у+С₂ z+D₂) =0 <=> любая точка плоскости β принадлежит плоскости α то есть эти плоскости совпадают.

Достаточность.

Пусть α = β = > векторы нормали плоскостей α и β коллинеарны, то есть А₁ = λ А₂ ; В₁ = λ В₂ ; С₁= λС₂ . Это означает, что уравнение плоскости α можно записать в виде: λ(А₂ х+В₂ у+С₂ z)+D₁ =0. = > D₁ = - λ(А₂ х+В₂ у+С₂ z) = λD₂ = > А₁ = λ А₂ ; В₁ = λ В₂ ; С₁= λС₂ ; D₁= λD₂ .

2) Необходимость.

Пусть для плоскостей α и β выполнено условие . В этом случае векторы нормали плоскостейα и β коллинеарны, а значит плоскости α и β параллельны, но не совпадают, так как для совпадения плоскостей α и β необходимо и достаточно, что бы .

Достаточность.

Пусть α ‖ β . = > что векторы нормали и коллинеарны, а это значит, что А₁ = λ А₂ ; В₁ = λ В₂ ; С₁= λС₂, но D₁≠ λD₂ так α ≠ β.

3) Необходимость.

Пусть α ∩ β ≠ Ø. = > что векторы нормали не коллинеарны, а это значит, что А₁, В₁, С₁ и А₂ , В₂ , С₂ - не пропорциональны.

Достаточность.

Пусть А₁, В₁, С и А₂ , В₂ , С₂ - не пропорциональны. = > что векторы нормали не коллинеарны, а это значит, что > А₁, В₁, С₁, ₁ и А₂ , В₂ , С₂ , - не пропорциональны.

21. Геометрический смысл знака многочлена Ах+Ву+Сz+D.

Теорема III. Если в аффинной системе координат дана плоскость α: Ах+Ву+Сz+D=0, и точка М₁(x₁;y₁;z₁),координаты которой удовлетворяют неравенству Ах₁+ Ву₁+ Сz₁+D > 0, то точка М₁ лежит по одну сторону от плоскости α с концом вектора , если его начало приложить к некоторой точке плоскости. Если координаты и точки М₁(x₁;y₁;z₁) удовлетворяют неравенству Ах₁+ Ву₁+ Сz₁+D< 0, то точка М₁ с концом вектора лежит по разные стороны от плоскости α, если начало вектора приложить к некоторой точке плоскости.

Доказательство.

Прежде, чем привести доказательство сформулированной теоремы, заметим, что вектор не параллелен плоскостиα. Для того чтобы убедиться в этом проверим условие параллельности вектора плоскости α : А² + В² + С² ≠ 0.

Пусть в пространстве введена аффинная система координат R=(О) и дан многочленАх+ Ву+ Сz+D. Если в этот многочлен подставит координаты точки М₁, то значением этого многочлена буде некоторое число δ. Возможны следующие случаи: .

В случае б) точка М₁ принадлежит плоскости α. Выясним, где находится точка М₁ в двух остальных случаях.

Проведём через точку М₁ прямую М₁Н параллельно вектору , Тогда так как ‖, то=λ·=> х_Н - х₁ = λА; у_Н - у₁ = λВ; z_Н - z₁ = = λС. => х₁ = λА + х_Н ; у₁ = λВ + у_Н ; z₁ = λС + z_Н (13)

Подставив выражения для x₁; y₁ и z₁ в многочлен Ax + By + Cz + D , получаем: δ = Ax₁ + By₁ + Cz ₁+ D = λ(А² + В² +C²) + Ax_H + By_H + Cz_H + D .

Так как точка Н принадлежит плоскости α, то сумма подчёркнутых слагаемых равна 0. Таким образом δ = λ(А² + В² +C²). Отсюда получаем, что знак δ зависит от знака λ.=> Если λ > 0 , то вектор и вектор сонаправлены и их концы расположены по одну сторону от плоскости α. Если λ < 0 , то вектор и вектор противоположно направлены и их концы расположены по разные стороны от плоскости α. (Рис.11).

Теорема доказана.

16. Геометрический смысл знака трёхчлена Ах+Ву+С.

Теорема III. Если в аффинной системе координат дана прямаяℓ: Ах+Ву+С=0, и точка М₁(x₁;y₁),координаты которой удовлетворяют неравенству Ах₁+ Ву₁+ С > 0, то точка М₁ лежит по одну сторону от прямой ℓ с концом вектора , если его начало приложить к некоторой точке прямойℓ. Если координаты и точки М₁(x₁;y₁) удовлетворяют неравенству Ах₁+ Ву₁+ С< 0, то точка М₁ с концом вектора лежат по разные стороны от прямойℓ, если начало вектора приложить к некоторой точке прямой ℓ.

Доказательство.

Прежде, чем привести доказательство сформулированной теоремы, заметим, что вектор не параллелен плоскостиα. Для того чтобы убедиться в этом проверим условие параллельности вектора плоскости α : А² + В² + С² ≠ 0.

Пусть в пространстве введена аффинная система координат R=(О) и дан многочленАх+ Ву+ Сz+D. Если в этот многочлен подставит координаты точки М₁, то значением этого многочлена буде некоторое число

δ. Возможны следующие случаи: .

В случае б) точка М₁ принадлежит плоскости α. Выясним, где находится точка М₁ в двух остальных случаях.

Проведём через точку М₁ прямую М₁Н параллельно вектору , Тогда так как

, то =λ·=> х_Н - х₁ = λА; у_Н - у₁ = λВ; . => х₁ = λА + х_Н ; у₁ = λВ + у_Н (10)

Подставив выражения для x₁; y₁ и z₁ в многочлен Ax + By + C , получаем: δ = Ax₁ + By₁ + C = λ(А² + В² ) + Ax_H + By_H + C.

Так как точка Н принадлежит прямой ℓ, то сумма подчёркнутых слагаемых равна 0. Таким образом δ = λ(А² + В² ). Отсюда получаем, что знак δ зависит от знака λ.=> Если λ > 0 , то вектор и вектор сонаправлены и их концы расположены по одну сторону отпрямой ℓ. Если λ < 0 , то вектор и вектор противоположно направлены и их концы расположены по разные стороны отпрямой ℓ.

Теорема доказана.

22. Уравнения прямой, заданной точкой и направляющим вектором. Определение. Направляющим вектором прямой называется любой вектор параллельный этой прямой.

А) Прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов, которые коллинеарны между собой. Пусть в пространстве дана точка М₀ и вектор . Через точку М₀ в пространстве так же как и на плоскости можно провести единственную прямую. Составим уравнение этой прямой.

Дано:

R=(О,).

ǀǀ ℓ М₀(x₀;y₀;z₀)ℓCоставить уравнение ℓ.

Решение.

Возьмём произвольную точку М(x;y;z), принадлежащую прямой ℓ.

Очевидно, что М₀(x₀;y₀;z₀)ℓ <=>. Если векторы коллинеарны, то координаты этих векторов пропорциональны . Таким образом:

─ уравнения прямой, заданной точкой и направляющим вектором. В записи этих уравнений содержится два знака равенства, поэтому это не одно уравнение, а краткая запись системы двух уравнений :

В этих уравнениях x₀, y₀,z₀ ─ координаты данной точки М₀, принадлежащей прямой, р₁, р₂, р₃ ─ координаты направляющего вектора прямой, а x, y и z ─ координаты текущей (любой точки) прямой. Уравнения называютканоническими уравнениями прямой ℓ.

б) Параметрические уравнения прямой. Пусть в аффинной системе координат прямая ℓ задана точкой М₀(x₀;y₀;z₀) и направляющим вектором . В этом случае векторыиколлинеарны. Отсюда следует что существует такое число t, что. Таким образом=>(17)

Эти равенства (17) называются параметрическими уравнениями прямой. Здесь t ─ параметр. Его смысл заключается в том, что для любого действительно числа t точка с координатами (х,у,z), удовлетворяющая условиям (17) лежит на прямой ℓ. Обратно, если (х,у,z) – точка прямой ℓ, то всегда найдется такое число t, что х, у и z выражаются через х₀, у₀ и z₀, р₁, р₂ и р₃ при помощи равенств (17).