Лекції з вищої математики

10

КРОК 4.

Не звертаємо бiльше уваги на перший рядок, який мiстить опорну позицiю i займемося всiма рядками пiд ним (якщо вони є). Застосуємо кроки 1– 3 до пiдматрицi, що залишається. Повторимо процес до тих пiр поки iснують ненульовi рядки пiсля останнього модифiкованого.

Якщо ми хочемо отримати зведену ступiнчасту форму, то слiд виконати ще один крок.

КРОК 5.

Розпочинаємо з найбiльш правого ведучого елемента i будемо працювати вгору та влiво, створюючи нулi над кожним ведучим елементом.

У попередньому прикладi для отримання зведеної ступiнчастої форми слiд подiлити третiй рядок на 5 i утворити нулi над отриманою ведучою одиницею. Будемо мати

2	0	24	4	0	6	3
6	1		5	0	7	7
	0	0	0	1	0		:
6	0	0	0	0	0	7
6						7
4						5

Далi, подiлимо другий рядок на 2 i утворимо нулi над отриманою одиницею. Отримаємо зведену ступiнчасту форму

2	0	10	2	0	3	3
6	1		3	0	5	7
	0	0	0	1	0		:
6	0	0	0	0	0	7
6						7
4						5

5.Метод Гаусса (виключення невiдомих) розв’язування лiнiйних систем. ([1], стор. 267 – 280)

Описаний вище рядковий редукцiйний алгоритм дозволяє швидко явно описати множину розв’язкiв системи лiнiйних рiвнянь, якщо вiн застосований до розширеної матрицi системи.

Невiдомi, яким вiдповiдають опорнi стовпцi зведеної ступiнчастої форми будемо називати основними, а всi iншi – вiльними.

ПРИКЛАД 4. Якщо зведена ступiнчаста форма розширеної матрицi системи є такою

2	1	6	0	3	0	0	3		x1 + 6x2		+	3x4	x5	= 0;
	0	0	0	0	1	7		; то вiдповiдна їй система є	<	x3		8x4		= 7:
	0	0	1	8	0	5			8					= 5;
4							5		:

опорнi стовпцi: 1-й,3-й,5-й Тут: основнi змiннi: x1, x3, x5

вiльнi змiннi: x2, x4.

Отже, отримана (та вихiдна) система є сумiсною i має безлiч розв’язкiв.

Пiсля того, як розширена матриця системи записана у зведенiй ступiнчастiй формi i система рiвнянь записана у загальнiй формi виконується

Фiнальний крок у розв’язуваннi сумiсної лiнiйної системи:

Розв’язуємо кожне рiвняння системи для основних змiнних у термiнах вiльних змiнних (якщо вони є).

8

> x1 = 6x2 3x4,

>

> x2 - вiльне,

>

<

Отримуємо x3 = 5 + 8x4,

>

> x4 - вiльне,

>

>

: x5 = 7.

11

Такий розв’язок називається загальним розв’язком системи тому, що вiн дає явний опис всiх розв’язкiв. Загальний розв’язок системи дає параметричний опис множини розв’язкiв. (Вiльнi змiннi дiють як параметри.)

Проведенi вище мiркування дозволяють сформулювати таку теорему.

ТЕОРЕМА 3. (Теорема про iснування i єдинiсть розв’язкiв)

1. Система лiнiйних рiвнянь є сумiсною тодi i тiльки тодi, коли крайний справа стовпець розширеної матрицi не є опорним стовпцем, тобто, тодi i тiльки тодi, коли ступiнчата форма розширеної матрицi не мiстить рядка виду

0 ::: 0 b (де b вiдмiнне вiд нуля).

2. Якщо система є сумiсною, то вона має одне з двох: а) єдиний розв’язок (коли немає вiльних змiнних) або

б) нескiнченну множину розв’язкiв (коли iснує хоча б одна вiльна змiнна).

Пiдсумовуючи все сказане сформулюємо загальну схему розв’язування лiнiйних систем.

Алгоритм застосування рядкової редукцiї для розв’язування лiнiйних систем

1.Записати розширену матрицю системи.

2.Застосовуючи алгоритм рядкової редукцiї, отримати еквiвалентну розширену матрицю у ступiнчатiй формi. Встановити, чи є система сумiсною. Якщо нi, то зупинитися; в iншому випадку переходимо до наступного кроку.

3.Продовжуємо рядкову редукцiю для створення зведеної ступiнчатої форми.

4.Записати стстему рiвнянь, яка вiдповiдає матрицi, отриманiй у третьому кроцi.

5.Виписати розв’язок, виражаючи кожну основну змiнну через вiльнi змiннi та назвати

їх.

12

Лекцiя 2: Вектори, лiнiйнi комбiнацiї та їх зв’язок з системами лiнiйних рiвнянь. Лiнiйна незалежнiсть

План:

Поняття вектора у R2, R3 та у Rn. Алгебраїчнi властивостi векторiв (операцiї додавання, множення на скаляр i скалярного множення).

Лiнiйнi комбiнацiї векторiв та лiнiйна оболонка множини векторiв. Векторна форма запису системи лiнiйних рiвнянь.

Множення матрицi на вектор та матрично-векторна форма запису системи лiнiйних рiвнянь.

Властивостi множин розв’язкiв систем лiнiйних рiвнянь.

Лiнiйна незалежнiсть.

1.Поняття вектора у R2, R3 та у Rn. Алгебраїчнi властивостi векторiв (операцiї додавання, множення на скаляр i скалярного множення) ([1], стор. 290 – 291)

Важливi властивостi лiнiйних систем можуть бути описанi з поняттям вектора i вiдповiдними позначеннями. Загальне поняття вектора є глибоким i плiдним поняттям сучасної математики. До середини XIX столiття поняття вектора вживалося тiльки у геометрiї та фiзицi та пов’язувалося з точками на площинi i напрямом дiї сили, швидкiстю та прискоренням. Лiнiйна алгебра почала iнтенсивно розвиватися пiсля узагальнення поняття вектора. На першому етапi вивчення лiнiйної алгебри ми будемо вважати, що читачевi вiдомi з шкiльної математики поняття двовимiрного та тривимiрного векторiв, операцiї додавання i множення на скаляр для таких векторiв та їх властивостi. Пiд вектором будемо розумiти упорядкований набiр чисел. Ця проста iдея дозволяє нам отримати цiкавi i важливi застосування. Єдиною вiдмiннiстю вiд шкiльної математики буде те, що нам часто зручно записувати вектор у видi стовпця, тобто, матрицi з одним стовпцем. Тому матриця, яка мiстить тiльки один стовпець називається вектор-стовпцем або просто вектором i позначається звичним способом ~u. Елементи цiєї матрицi будемо називати координатами вектора. Операцiї додавання i множення на скаляр легко узагальнюються на випадок будь-якого цiлого додатного числа n.

Якщо n є цiлим додатним числом, то Rn (читається "ер в степенi n") позначає множину всiх упорядкованих n-ок дiйсних чисел (векторiв):

n	82 u2	3						9
	u1							R>
R =	> ..		j	u1	; u2	; : : : ; un	2		:
	> .							>
	>	7						>
	<6							=
	6 u	7
	6 n	7						>
	>4	5
	>							>
	>							>
	:							;

Вектор ~u називають тодi n-вимiрним.

Вектор, всi координати якого є нулi, називається нульовим вектором i позначається ~.

0

Рiвнiсть векторiв у Rn i операцiї множення на скаляр i векторного додавання визначенi поелементно точно так як у R2:

Множина Rn з визначеними в нiй операцiями додавання i множення на скаляр з поля

R називається n-вимiрним арифметичним векторним простором.

Операцiї над векторами мають наступнi властивостi, якi можна перевiрити безпосередньо з вiдповiдних властивостей для дiйсних чисел.

13

Алгебраїчнi властивостi Rn

Для всiх ~u, ~v, w~ з Rn i всiх скалярiв c i d:

1)	~u + ~v = ~v + ~u;	5)	c(~u + ~v) = c~u + c~v;
2)	(~u + ~v) + w~ = ~u + (~v + w~ ); 6)		(c + d)~u = c~u + c~u ;
3)	~ ~	7)	c(d~u)) = (cd)~u;
	~u + 0 = 0 + ~u = ~u
4)	~	8)	1~u = ~u;
	~u + ( ~u) = ~u + ~u = 0

де через ~u позначено ( 1)~u.

Для спрощення викладок ми також використовуємо "векторне вiднiмання" i пишемо ~u ~v замiсть ~u + ( 1)~v: Рисунок 1 показує ~u ~v як суму ~u i ~v.

Рисунок 1. Векторне вiднiмання.

2.Лiнiйнi комбiнацiї векторiв та лiнiйна оболонка системи векторiв. Векторна форма запису системи лiнiйних рiвнянь.

Для заданих векторiв ~v1; ~v2; : : : ; ~vp у Rn i даних скалярiв c1; c2; : : : ; cp вектор ~y, визначений рiвнiстю

~y = c1~v1 + c2~v2 + : : : + cp~vp;

називається лiнiйною комбiнацiєю векторiв ~v1; ~v2; : : : ; ~vp з вагами c1; c2; : : : ; cp.

Властивiсть 2) дозволяє нам опускати дужки, коли утворюється така лiнiйна комбiнацiя. Ваги у лiнiйнiй комбiнацiї можуть бути довiльними дiйсними числами, включаючи нуль. Наприклад, деякi лiнiйнi комбiнацiї є

p			1	~v1(	1	~v1	+ 0~v2	i	~	+ 0~v2:
3~v1 + ~v2;			2		2				0 = 0~v1

1

ПРИКЛАД 1. Рисунок 2 зображує вибранi лiнiйнi комбiнацiї векторiв ~v1 = i

1

2

~v2 = (Зауважимо, що множини паралельних сiток прямих нарисованi через цiле

1

число кратних до ~v1 i ~v2.) Оцiнiть лiнiйнi комбiнацiї векторiв ~v1 i ~v2, якi породжують вектори ~u i w~ .

Рисунок 2. Лiнiйнi комбiнацiї векторiв ~v1 i ~v2.

Рисунок 3.

14

Розв’язання. Правило паралелограма показує, що ~u є сумою 3~v1 i 2~v2; тому

~u = 3~v1 2~v2:

Цей вираз для ~u може бути iнтерпретований як iнструкцiя для подорожi з початку до ~u вздовж двох прямих шляхiв. Спочатку подорожуємо на 3 одиницi у напрямi ~v1 до 3~v1 i

тодi подорожуємо одиницi у напрямi ~ (паралельно прямiй через ~ i ~). Далi, хоча

2 v2 v2 0

вектор w~ не на прямiй сiтки, але w~ появляється бiля пiвдороги мiж двома парами лiнiй сiтки у вершинi паралелограма з сторонами 52 ~v1 i 12 ~v2. (Дивись рис.3) Тому

w~	=	5	~v1		1		~v2:
		2				2

Наступний приклад пов’язує задачу про лiнiйнi комбiнацiї векторiв з фундаментальним питанням iснування розв’язкiв, вивченим у лекцiї 1.

	= 2	1	3, ~a2	= 2	2	3 i ~b =	2	7	3. Встановити чи може ве-
ПРИКЛАД 2. Нехай ~a1		2			5			4
~	4	5	5	4	6	5	4	3	5
ктор b бути записаним як лiнiйна комбiнацiя векторiв ~a1 i ~a2. Iншими словами, визначити
чи iснують ваги x1 i x2 такi, що
						~			(1)
			x1~a1 + x2~a2 = b:

Якщо векторне рiвняння (1) має розв’язок, то знайти його.

Роз’вязання. Використавши означення множення на скаляр i додавання векторiв, перепишемо векторне рiвняння так

	2	1	3		2	2	3		2	7	3
x1		2		+ x2		5		=		4
	4	5	5		4	6	5 4			3	5
		"			"				"
		~a1			~a2				~
									b
яке є таким же, як
2		x1	3	+ 2	2x2		3		2	7	3
	2x1				5x2			=		4
4	5x1		5	4	6x2		5 4			3	5

i	2x1	+ 5x2	3	=	2	4	3	:	(2)
2
	x1	+ 2x2	5			7
4 5x1 + 6x2					4 3 5

Вектори у лiвiй i правiй частинах (2) рiвнi, коли їх вiдповiднi координати рiвнi. Тобто, x1 i x2 перетворують векторне рiвняння в iстине твердження тодi i тiльки тодi, коли x1 i x2

задовольняють систему				2x1	+	5x2	=			4;				(3)
		8
				x1	+	2x2	=			7;
		< 5x1 + 6x2					=			3:
		рядковою редукцiєю розширеної матрицi системи (Символ
Ми розв’язуємо цю систему :
мiж матрицями означає рядкову еквiвалентнiсть).
2 2	5	4 3 2	0	9	18 3 2		0	1			2	3 2 0	1	2 3
1	2	7	1	2	7		1		2		7	1	2	7
4 5	6	3 5 4 0		16	32 5 4 0			16			32 5 4 0		0	0 5

15

		~
Розв’язком (3) є x1 = 3 i x2 = 2. Тому b є лiнiйною комбiнацiєю ~a1 i ~a2 з вагами x1 = 3 i
x2 = 2. Отже,	2 2 3	+ 2	2 5 3	=	2	4 3	:
3
	1		2			7
	4 5 5		4 6 5		4 3 5

Розглянутi у прикладi 2 вектори ~ , ~ i ~ є стовпцями розширеної матрицi, яку ми a1 a2 b

рядково редукували

23

	1	2	7
4	2	5	4	5
	5	6	3
	"	"	"
	~a1	~a2	~
			b

Запишемо цю матрицю шляхом, який придiляє бiльшу увагу до її стовпцiв – а саме,

hi

~	:	(4)
~a1 ~a2 b

Ясно як записувати розширену матрицю зразу з векторного рiвняння (1), без проходу через промiжнi кроки в прикладi 2. Просто взяти вектори в порядку у якому вони появляються в (1) i записати їх у стовпцi матрицi, як в (4).

Проведене вище обговорення, легко модифiкується в доведення наступного фундаментального факту.

	Векторне рiвняння	~
		x1~a1 + x2~a2 + + xn~an = b
	має однакову множину розв’язкiв з лiнiйною системою, розширена матриця якої має
	вигляд	h ~a1 ~a2 : : : ~an		~b i:
	~				(5)
	Зокрема, b може бути представлений як лiнiйна комбiнацiя ~a1;~a2; : : : ;~an тодi i тiльки
	тодi, коли iснує розв’язок лiнiйної системи вiдповiдної до (5).
	Векторне рiвняння	~
		x1~a1 + x2~a2 + + xn~an = b

називають векторною формою запису системи лiнiйних рiвнянь.

Однiєю з ключових iдей в лiнiйнiй алгебрi є вивчення множини всiх векторiв, якi можуть бути представленi або записанi, як лiнiйна комбiнацiя фiксованої множини векторiв

~v1; ~v2; : : : ; ~vp.

ОЗНАЧЕННЯ.

Якщо ~v1; ~v2; : : : ; ~vp належать Rn, то множина всiх лiнiйних комбiнацiй цих векторiв позначається через L(~v1; ~v2; : : : ; ~vp) i називається лiнiйною оболонкою векторiв

~v1; : : : ; ~vp (або множиною, натягнутою на цi вектори чи породженою ними) }. Отже, L(~v1; ~v2; : : : ; ~vp) – це множина всiх векторiв, якi можуть бути записанi у формi

c1~v1 + c2~v2 + : : : + cp~vp

з скалярами c1; c2; : : : ; cp.

Запитання чи належить вектор ~ лiнiйнiй оболонцi ~ ~ ~ зводиться до запи- b L(v1; v2; : : : ; vp)

тання, чи має розв’язок векторне рiвняння

~ ~ ~ ~ x1v1 + x2v2 + + xnvn = b;

16

або,	еквiвалентно,	до	запитання, чи має лiнiйна система з розширеною матрицею
h ~v1		~b i	розв’язок.
	~v2 : : : ~vn

Зауважимо, що L(~v1; ~v2; : : : ; ~vp) мiстить кожний скалярно кратний до ~v1 (для прикладу) тому, що ~v1 = c~v1 + 0~v2 + : : : + 0~vp: Зокрема, нуль вектор повинен бути у

L(~v1; ~v2; : : : ; ~vp).

Геометричний опис L(~v) i L(~u; ~v)

Нехай ~v – ненульовий вектор у R3: Тодi L(~v) є множина всiх скалярно кратних до ~v i ми вiзуально уявляємо (представляємо) собi її як множину точок на прямiй у R3, яка

проходить через ~ i ~. Дивись рис.4. v 0

Якщо ~u i ~v - ненульовi вектори у R3, причому ~v скалярно не кратний до ~u, то L(~u; ~v)

		3	~	3
	є площина у R		, що мiстить ~u, ~v i 0. Зокрема, L(~u; ~v) мiстить пряму у R		, яка проходить
	~		~
	через ~u i 0 i пряму, яка проходить через ~v i 0. Дивись рис.5.

Рисунок 4. L(~v) – пряма,	Рисунок 5. L(~u; ~v) – площина,
яка проходить через початок.	яка проходить через початок.

3.Множення матрицi на вектор та матрично-векторна форма запису системи лiнiйних рiвнянь.

Фундаментальною iдеєю в лiнiйнiй алгебрi є iдея розглядати лiнiйну комбiнацiю векторiв як добуток матрицi i вектора. Наступне означення дозволяє нам перефразувати деякi введенi ранiше поняття новими шляхами.

ОЗНАЧЕННЯ.

Якщо A – m n матриця з стовпцями ~a1;~a2; : : : ;~an i якщо ~x належить Rn, то добутком матрицi A на вектор ~x (позначається A~x) називається лiнiйна комбiнацiя стовпцiв A з використанням вiдповiдних координат у ~x як ваг, тобто

2 3

x1

6 x2 7

A~x = ~a1 ~a2 : : : ~an	6 x	...	7 = x1~a1 + x2~a2 + + xn~an:
	6	n	7
	4		5

Замiтимо, що добуток A~x визначений тiльки тодi, коли число стовпцiв матрицi A рiвне числу координат у вектора ~x.

ПРИКЛАД 3. Обчислити:

	1	2	1	2	4	3			1		2		1
a.					3
	0	5	3			5	= 4	0 + 3 5 + 7 3 =
					7
				4			=	4	+	6	+	7	=	3	:
								0		11		21		6

17

b.	2	8	0 3	7	= 4		2	8 3 + 7 2			0 3 =
		2	3					2			3
		5	2					5			2
	4		5	4			4 8		5 4			5
						2					21			13	3.
					=			32	3	+ 2	0	3	= 2	32
						4	20		5	4	14	5	4	6	5

ПРИКЛАД 4. Для ~v1; ~v2; ~v3 з Rm, записати лiнiйну комбiнацiю 3~v1 5~v2 + 7~v3 як результат множення матрицi на вектор.

Роз’вязання. Помiстимо ~v1; ~v2; ~v3 у стовпцi матрицi A i помiстимо ваги 3; 5; 7 як координати у вектор ~x. Тодi

3~v1	5~v2 + 7~v3 = ~v1 ~v2	~v3	2	5 3		= A~x:
			4	3	5
				7

У попередньому пунктi лекцiї ми вивчили, як записувати систему лiнiйних рiвнянь у видi векторного рiвняння, залучаючи лiнiйну комбiнацiю векторiв. Наприклад, ми знаємо, що система

						x2	+	3x3		=		1
			x1	+		2x2			x3	=		4;			(5)
еквiвалентна		0	+ x2			5	+ x3		3			=	1	:	(6)
x1
		1				2				1			4

Аналогiчно з прикладом 2, ми можемо записати лiнiйну комбiнацiю в лiвiй частинi як множення матрицi на вектор так, що (6) стає

0		5	3		2 x2	3	=	1	:	(7)
		2	1		x1	5		4
					4 x3
1

Рiвняння (3) має форму ~ ~ i ми будемо називати таке рiвняння матричним рiв-

Ax = b

нянням, вiдрiзняючи його вiд векторного рiвняння такого, як показано у (6).

Помiтимо, що матриця у (7) є матрицею коефiцiєнтiв системи (1). Подiбнi обчислення показують, що будь-яку систему лiнiйних рiвнянь або будь-яке векторне рiвняння

таке як (2), може бути записане як еквiвалентне матричне рiвняння ~ ~ . Це просте

Ax = b

спостереження буде використано неодноразово.

Тепер формальний результат.

ТЕОРЕМА 3.

Якщо A є m n матриця з стовпцями ~a1;~a2; : : : ;~an i якщо ~x належить Rn, то матричне рiвняння

~	(8)
A~x = b

має таку ж множину розв’язкiв як векторне рiвняння

~	(9)
x1~a1 + x2~a2 + + xn~an = b;

яке в свою чергу, має таку ж множину розв’язкiв як система лiнiйних рiвнянь, розширеною матрицею якої є

h i

~ ~ ~ ~ : (10) a1 a2 : : : an b

18

Теорема 3 дає потужний засiб для досягнення глибшого розумiння в задачах з лiнiйної алгебри. Ми можемо тепер роглядати одну i ту ж задачу трьома рiзними, але еквiвалентними шляхами: як матричне рiвняння, як векторне рiвняння або як систему лiнiйних рiвнянь у загальному видi. Коли ми будуємо математичну модель задачi в реальному життi ми вiльно вибираємо, яка точка зору є найбiльш природною. Тодi ми можемо замiнити одне формулювання задачi на iнше, якщо воно є бiльш зручним. В будь-якому випадку, матричне рiвняння, векторне рiвняння i система рiвнянь всi розв’язуються однаковим шляхом – рядковою редукцiєю розширеної матрицi (10). Iншi методи розв’язування будуть розглянутi пiзнiше.

Iснування розв’язкiв

Означення A~x добутку матрицi на вектор веде прямо до наступного корисного факту.

					~														~	є лiнiйною комбiнацiєю
Рiвняння A~x = b має розв’язок тодi i тiльки тодi, коли b
стовпцiв A.
																						~
У попередньому пунктi ми розглянули питання iснування: "Чи належить вектор b до
L(~v1; ~v2; : : : ; ~vn)?" або																				~	Важчою задачою
								еквiвалентно, "Чи сумiсне рiвняння A~x = b?"
																			~			~
iснування є така: встановити, чи сумiсне рiвняння A~x = b для всiх можливих b.
ПРИКЛАД 5. Нехай 2								4	2	6	3 i ~b =						2 b2	3:
								1	3	4							b1	5
							4 3 2 7 5										4 b3
								~	для всiх можливих b1; b2; b3?
Чи сумiсне рiвняння A~x = b
																				~
Роз’вязання. Рядкове зведення розширеної матрицi для A~x = b:
2 4							3	2	0 14 10							b2	+ 4b1	3
			2 6			b2
4	1		3		4	b1	5	4	1	3		4					b1	5
	3		2		7	b3			1 3 4								b3		b1
								2	3	2	7									3.
									0 14 10				b3 + 3b1					1	b2 + 4b1
								4	0 0 0									2 (b2 + 4b1)		5	~
Третiй елемент у розширеному стовпцi є b1																	1					не є сумiсним
																	2 b2 + b3. Рiвняння A~x = b
				~							~									1	+ b3	вiдмiнним вiд
для кожного b					тому, що деякi вибори b							можуть зробити число b1 2 b2
нуля.
																	~					~
Зведена матриця у прикладi 5 дає опис всiх b, для яких рiвняння A~x = b є сумiсним:
							~
координати вектора b повиннi задовольняти умову
										b1		1		b2 + b3 = 0:
													2

Вона є рiвнянням площини, яка проходить через початок у R3: Площина є множиною всiх лiнiйних комбiнацiй трьох стовпцiв A.

Рiвняння ~ ~ у прикладi 5 не може бути сумiсним для всiх ~ тому, що ступiнчаста

Ax = b b

форма для A має рядок нулiв. Якби A мала опорнi елементи у всiх трьох рядках, то ми могли б не турбуватися про обчислення у розширеному стовпцi тому, що у цьому випадку

	ступiнчаста форма для розширеної матрицi не могла мати рядок виду					0 0 0	1
	У наступнiй теоремi, коли ми говоримо, що стовпцi			породжують m-вимiрний ари:				-
		m		~	m
	фметичний векторний простiр R		, ми розумiємо, що	кожний b з R		є лiнiйною комбi-

нацiєю стовпцiв A. У загальному, множина векторiв f~v1; ~v2; : : : ; ~vpg з Rm породжує (або охоплює) Rm, якщо кожний вектор з Rm є лiнiйною комбiнацiєю ~v1; ~v2; : : : ; ~vp, тобто, якщо L(~v1; ~v2; : : : ; ~vp) = Rm:

19

ТЕОРЕМА 4.

Нехай A є m n матриця. Тодi наступнi твердження логiчно еквiвалентнi, тобто, для окремої матрицi A, справедливо, що вони одночасно або всi iстинi, або всi хибнi.

			~			m		~
	a)	Для кожного b з R					рiвняння A~x = b має розв’язок.
		~		m
	б)	Кожний b з R			є лiнiйною комбiнацiєю стовпцiв A.
	в)	Стовпцi A породжують Rm .
	г)	A має опорну позицiю у кожному рядку.

Теорема 4 є однiєю з найбiльш корисних у цiй лекцiї. Твердження а), (б) i в) еквiвалентнi внаслiдок означень A~x i множини породжуючих векторiв для Rm. Обговорення пiсля прикладу 3 натякають, чому (а) i г) еквiвалентнi. Для завершення доведення буде достатньо показати (для довiльної матрицi A), що а) i г) одночасно iстинi або хибнi. Це буде пов’язувати всi чотири твердження разом.

		~	m
	Нехай U ступiнчата форма матрицi A. Для заданого вектора b з R			ми можемо рядково
	~			~	~
	редукувати розширену матрицю [A j b] до розширеної матрицi [U			j d] для деякого d з
	Rm:
	~	~
	[A j b] : : : [U	j d]:

Якщо твердження г) iстине, то кожний рядок U мiстить опорну позицiю i тодi не може

	~	~
бути опорної у розширеному стовпцi. Тому A~x = b має розв’язок для будь-якого b i (а)
		~
iстине. Якщо (г) хибне, то останнiй рядок U мiстить тiльки нулi. Нехай d буде будь-яким
	~	представляє несумiсну
вектором з рiвною 1 його останньою координатою. Тодi [U j d]
	~
систему. З оборотностi рядкових перетворень [U j d] може бути трансформована у форму
~	~
[A j b]. Нова система A~x = b також несумiсна i а) є хибним.

Застереження: Теорема 4 стосується матрицi коефiцiєнтiв, а не розширеної матрицi.

Якщо розширена матриця	~	має головнi позицiї у кожному рядку, то рiвняння
	[A j b]

~ ~ може бути або не бути сумiсним.

Ax = b

Обчислення A~x

Обчислення у прикладi 1 грунтувалися на означеннi добутку матрицi A i вектора ~x. Наступний простий приклад приведе до бiльш ефективного методу для обчислення елементiв у A~x, коли задача розв’язується вручну.

ПРИКЛАД 6. Обчислити A~x, де A = 2										2	3				4	3 i ~x =		x1	3
										1	5				3			2 x2		:
Роз’вязання. За означенням								4 6			2			8		5		4 x3	5
2 1	5	3	32 x2	3	= x1 2 1 3 + x2 2									5 3		+ x3 2 3 3
2	3	4	x1	5			4 1	2	5		4			3	5		4 3	4
4	2	8	54					6					2					5
6			x3		=	2	x1		+	2		2			+	2	3x3	8	(11)
								3			5x2			3				3
						4	2x	5		24	3x			5 4			4x	5
							2x1					3					8x3
							6x1				2x2			3:
					= 2 x1			+ 5x2 3x3
						4		+ 3x		+ 4x				5
							6x1 2x2 + 8x3

Перший елемент у добутку A~x дорiвнює сумi добуткiв (iнодi називають скалярним добутком) елементiв першого рядка матрицi A i координат вектора ~x. Тобто,

2	32 x2	3	= 2	2x	1	2	+ 4x	3	3:
2 3 4	x1	5	4			+ 3x			5
4	54 x3

Ця матриця показує як обчислити перший елемент у A~x прямо, без запису внизу всiх обчислень показаних у (11). Аналогiчно, другий елемент у A~x може бути обчислений