Лекції з вищої математики

50

Зауважимо, що формула (7) кладеться у основу аналiтичного означення детермiнанта. При цьому воно є таким.

ОЗНАЧЕННЯ.

Детермiнантом матрицi n-го порядку A = [aij] (або коротше детермiнантом n-го порядку) називається алгебраїчна сума усiх можливих n! членiв, кожний з яких є добутком n елементiв, узятих по одному i тiльки одному з кожного рядка i кожного стовпця матрицi A; знак члена визначається множником ( 1)s, де s – число iнверсiй у перестановцi перших iндексiв елементiв даного члена, якщо другi розмiщенi у порядку зростання.

Пропонуємо вам оцiнити самостiйно, яку кiлькiсть обчислень потрiбно зробити для обчислення детермiнанта четвертого порядку на пiдставi iндуктивного та аналiтичного означень. Який спосiб Вам бiльше до вподоби?

2. Властивостi детермiнантiв та їх обчислення ([1], стор. 332 – 357)

Якщо Вам бiльше сподобалося аналiтичне означення детермiнанта, то при вивченнi властивостей слiдуйте за пiдручником [1].

Секрет детермiнантiв лежить у тому, як вони змiнюються, коли виконуються елементарнi перетворення над його рядками – це замiщення, перестановка i масштабування. Дослiдимо це питання на прикладi детермiнантiв другого порядку.

Нехай над матрицею A =	a	b	, детермiнант якої jAj = ad bc, виконанi перетворення:
	c	d

ab

A1 = (замiщення). Тодi jA1j = a(d + b) b(c + a) = ad bc = jAj та c + a d + b

jE1j = 1 (тут E1 – вiдповiдна елементарна матриця).

A2 =	c	d	(перестановка). Тодi jA2j = cb ad = jAj та jE2j = 1.
	a	b

A3 =	a	b	(масштабування з 6= 0). Тодi jA3j = ad bc = (ad bc) = jAj та
	c	d

jE3j = .

Наступна теорема узагальнює отриманi тут результати.

ТЕОРЕМА 3. Рядковi перетворення

Нехай A квадратна матриця.

a)Якщо один рядок матрицi A помножити на довiльне число i додати його до

	iншого рядка, то утвориться матриця B така, що jAj = jBj.
б)	Якщо два рядки матрицi A помiняти мiсцями, то утвориться матриця B така,
	що jBj = jAj.
в)	Якщо один рядок матрицi A помножено на число , то утвориться матриця B
	така, що jBj = jAj.

Доведення цiєї теореми краще проводити, якщо її сформулювати по iншому.

ТЕОРЕМА 3’

Якщо A є матриця n-го порядку та E – елементарна матриця n-го порядку, то

				jEAj = jEjjAj;
де		8	1	якщо		є рядковим замiщенням;
					E
E	=		1	якщо	E	є рядкова перестановка;
j j		<		якщо	E	є масштабуванням на :
		:

51

ДОВЕДЕННЯ. Доведення проведемо по iндукцiї за розмiром A. Випадок n = 2 був перевiрений нами перед формулюванням теореми, тобто ми створили базу iндукцiї.

Припустимо, що теорема має мiсце для детермiнантiв k-го порядку для довiльного, але фiксованого k > 2.

Доведемо, що тодi теорема має мiсце i для n = k + 1.

Нехай A має розмiр n n. Дiя E на A залучає тiльки два рядки або один рядок. Так ми можемо розкласти jEAj за рядком, який є незмiнним при дiї E, скажемо, i-им рядком. Нехай Aij (вiдповiдно, Bij) буде матриця отримана видаленням i-ого рядка i j-ого стовпця з A (вiдповiдно, з B = EA). Тодi рядки Bij отриманi з рядкiв Aij елементарним перетворенням такого ж типу (а саме E), яке виконується над A. Оскiльки цi пiдматрицi мають розмiр k k, то за iндуктивним припущенням маємо, що

jBijj = jAijj;

де = 1; 1 або , залежно вiд природи E. Розклад за i-им рядком є jEAj = jBj = ai1( 1)i+1jBi1j + + ain( 1)i+njBinj

=ai1( 1)i+1jAi1j + + ain( 1)i+njAinj

=jAj.

Зокрема, беручи A = In ми бачимо, що jEj = 1; 1 або , залежно вiд природи E. Тому теорема має мiсце для n = 2 i з iстиностi теореми для одного значення n слiдує його iстинiсть для наступного значення n. За принципом математичної iндукцiї, теорема повинна бути iстиною для n > 2. Теорема тривiально iстина для n = 1.

Легко перевiрити виконання наступних тверджень.

НАСЛIДОК.

а)	Якщо при зведеннi матрицi A до схiдчастого виду U застосовувалося тiльки
	елементарне перетворення замiщення, то jAj = jUj.
б)	Якщо при перетвореннi матрицi A до виду B застосовувалося тiльки елемен-
	тарне перетворення перестановки її рядкiв k раз, то jBj = ( 1)kjAj.
в)	Сталий множник у елементiв рядка матрицi можна винести за знак детермiнанта.

Доведена теорема та її наслiдки дозволяють набагато спростити обчислення детермiнантiв. Проiлюструємо застосування цiєї теореми та її наслiдкiв. Базисною стратегiєю при цьому буде постаратися звести обчислення детермiнанта до трикутного виду U i тодi

застосувати теорему 2.
	6	1	2	3	4	7
ПРИКЛАД 3 Обчислити детермiнант матрицi A =		2	7	6	10
	2	0	5	0	0	3.
	6	2	9	7	11	7
	4					5

Розв’язання. Студенти Петя i Коля уважно подивилися на цей детермiнант i обидва побачили, що у його другому рядку є три нулi (вони уже знають, що чим бiльше нулiв у детермiнанта тим легше його обчислювати!). Тому обидва зробили висновок, що слiд розкласти детермiнант за елементами другого рядка i обидва записали

1 3 4

jAj = 5 ( 1)2+2 2 6 10 .

2 7 11

Продовжуючи спостереження за новим детермiнантом вони вiдмiтили про себе, що бiльше нулiв немає та детермiнант третього порядку. Обидва зрадiли, що вони можуть обчислити цей детермiнант вiдомими з попеднього матерiалу трьома способами (Якими?). Але

52

там скрiзь потрiбно виконувати багато множень чисел. Тому вирiшили пошукати легший шлях. Кожний вибирав свiй спосiб.

Петя вирiшив утворити нулi у першому стовпцi:																		Коля помiтив, що всi елементи другого рядка
																		мають спiльний множник 2 i винiс
A = 5							0 0 2				= 5		0 1 3				=	його за знак детермiнанта:													0 0 1				=
																		A = 5 2							1 3 5			= 10
j j							1	3	4				1	3	4			j j							1	3	4				1	3	4
							0 1 3						0 0 2												2 7 11						0 1 3
																							1		3 4
=		5		2 =				10:										=		10			0		1 3		= 10:
																							0		0 1

Пропонуємо проаналiзувати дiї Петi i Колi.

ПРИКЛАД 3. Студенткам Валi i Танi довелося обчислювати детермiнант матрицi

A = 2 8 9			0 4 3.
6	2	3		3	1	7
	6	5		1	0
6	8	10		2	6	7
4						5

Розв’язання. Спостерiгаючи детермiнант, вони вiдзначили про себе, що нулiв у ньому мало i хотiлося б мати бiльше.

Щоправда, Валя помiтила, що четвертий рядок																					Таня вирiшила утворити нулi у третьому стовпцi.
має спiльний множник i вирiшила винести																					i розкласти його за елементами третього стовпця.
його за знак детермiнанта.												4 .									A =					8		9 0						4 =					8		9		4 .
	A = 2				8		9		0
					2		3			3		1													20			18			0			1									1
					6	5				1	0													6				5 1					0
																																							20	18
j j					4		5			1		3									j j				20 20 0									6					20 20				6
Далi
				Валя вiдзначила, що всi елементи першого																	Таня бачить, що у першому стовпцi є спiльний
стовпця дiляться на 2 i тому тут легко утворити																					множник 4, але наслiдок стосується тiльки ряд-
нулi. Вона продовжила так: jAj =																					кiв. Тому вирiшила винести множник 2 з тре-
= 2				8	9		0			4		= 2		0	3		12		0 .		тього рядка i утворити нулi у третьому стовпцi.																										=
																					A = 2						8			9			4		= 2				72			63 0
				2	3			3		1				2	3		3		1							20 18							1						20			18 1
				6	5			1		0				0	4		10		3		j j												3						50			44 0
				4	5			1		3				0	1		5		1							10 10
					3					0				3		12 0
							12
																										72			63
j	A	j	= 4		4		10			3		= 4		7		25	0		=		= 2					50			44			= 2(			72			44 + 63			50) =					36:
					1		5		1					1		5 1

3 12

= 4	7	25	= 4(75 84) = 36:

Пропонуємо проаналiзувати дiї Валi i Танi.

Повернемося ще до обмiрковування наслiдку з теореми 3. Ми знаємо, що матрицю A можна звести до схiдчастого виду U застосуванням тiльки перетворень замiщення i перестановки. Тодi, коли таких перестановок було, скажемо k, то отримаємо

jAj = ( 1)kjUj:

Але ж схiдчаста матриця U може мати тiльки один з видiв:

U =	2	0				3	(Тут U = 0)	U =	2	0				3	(Тут U = 0):
	6					7			6					7
		0	0				j j 6			0	0	0			j j
	6	0	0	0		7			6	0	0	0	0	7
	4					5			4					5

							53
Це означає, що ми отримали формулу
det A =	( 1)r		(добуток дiагональних елементiв в U);	коли	A	є оборотна
	0;			коли	A	не є оборотна	(8)

Фактично ми довели вже наступну важливу теорему.

ТЕОРЕМА 4.

Квадратна матриця A є оборотною тодi i тiльки тодi, коли jAj 6= 0.

ДОВЕДЕННЯ. Дiйсно, якщо матриця A є оборотною, то шляхом перетворень замiщення i перестановки її можна звести до одиничної. ЇЇ детермiнант дорiвнює 1, тобто jAj =6 0.

Навпаки, якщо jAj 6= 0, то на головнiй дiагоналi ступiнчатої форми не може стояти 0. Це означає, що матрицю A можна звести елементарними перетвореннями до одиничної, тобто, вона є оборотною.

Наслiдок.

Якщо рядки матрицi A є лiнiйно залежними, то jAj = 0 i навпаки.

ПРИКЛАД 5. Обчислити детермiнанти:

a)	5 15 10			;	b)	3	2 5		:
	1	3	2			0	3	1
	2	6	1			3	1	4

Розв’язання. a) Детермiнант дорiвнює нулю, оскiльки першi два рядки пропорцiйнi.

б) Детермiнант дорiвнює нулю, оскiльки третiй рядок рiвний сумi перших двох.

У процесi розв’язування прикладу 4 Таня помiтила, що у першому стовпцi є спiльний множник 4, але вона не мала пiдстав винести його. Виявляється, що має мiсце теорема.

ТЕОРЕМА 5.

Якщо A є матриця n-го порядку, то jAj= jAT j.

Пропонуємо довести її самостiйно.

Наслiдок. Про рiвноправнiсть рядкiв i стовпцiв.

Всi твердження, якi стосуються рядкiв матрицi мають мiсце також для стовпцiв цiєї матрицi.

Сформулюйте їх самостiйно!

Отже, Таня могла винести спiльний множник з першого стовпця за знак детермiнанта.

Нарештi доведемо, ще одну корисну теорему.

ТЕОРЕМА 6.

Якщо A i B є n n-матрицi, то det (AB)=(det A)(det B).

ДОВЕДЕННЯ. Якщо A не є оборотною, то такою ж є AB. Дiйсно, якби AB була оборотною, то iснувала б матриця W така, що (AB)W = I. Тодi A(BW ) = I i, за теоремою 8 про оборотнiсть матрицi з попередньої лекцiї, матриця A також була б оборотною. У цьому випадку det (AB)=(det A)(det B) тому, що обидвi сторони рiвнi нулю, за Теоремою 4.

Якщо A є оборотною, то A i одинична матриця In є рядково еквiвалентними за теоремою 8 про оборотнiсть матрицi. Тому, iснують елементарнi матрицi E1; : : : ; Ep такi, що

A = EpEp 1 E1 In = EpEp 1 E1:

54

Тодi, застосовуючи теорему 3, отримуємо:

jABj = jEpEp 1 E1Bj = jEpjjEp 1 E1Bj =

= jEpjjEp 1j jE1jjBj = = jEpEp 1 E1jjBj
= jAjjBj:
Зауваження.
Якщо A i B є матрицi n-го порядку, то взагалi кажучи jA + Bj 6= jAj + jBj.
Це легко перевiрити на прикладi:				0	1	, то jBj = 0.
Якщо A =	0	0	, то jAj = 0; якщо B =
	1	0		0	0

У той же час A + B =	1	0	та jA + Bj = 1, тобто, jA + Bj 6= jAj + jBj.
	0	1

3. Правило Крамера та формула для оберненої матрицi ([1], стор. 358 – 370)

Покажемо, як детермiнанти застосовуються до розв’язування систем лiнiйних рiвнянь. Про це говорилося на самому початку цiєї лекцiї.

~

Для будь-якої матрицi n-го порядку A = [~a1

~ai

~an] i будь-якого вектора

n

~

~

b з R

нехай Ai(b) буде матриця отримана з A замiщенням i-ого стовпця на вектор b,

тобто,

~

~

~an]

Ai(b) = [~a1

b

"

i-ий стовпець

ТЕОРЕМА 7. Правило Крамера

~

n

Нехай A є оборотна матриця n-го порядку. Для будь-якого вектора b з R

єдиний

~

розв’язок ~x рiвняння A~x = b має координати, заданi рiвностями

~

xi =

jAi(b)j

;

i = 1; 2; : : : ; n:

(9)

jAj

ДОВЕДЕННЯ. Позначимо стовпцi одиничної матрицi n-го порядку I через ~e1 : : :~en.

Якщо ~ ~ , то означення матричного множення показує, що

Ax = b

A Ii(~x) = A[~e1		~x
= [~a1		~
		b

	~en] = [A~e1 A~x A~en]
	~
	~an] = Ai(b):

За властивiстю множення детермiнантiв (теорема 6) маємо:

j jj ~ j j ~ j

A Ii(x) = Ai(b) :

Другий детермiнант у лiвiй частинi є просто xi. (Зробiть розклад за i-им рядком.) Тому

~
jAj xi = jAi(b)j. Це доводить (9) тому, що A є оборотною i jAj =6 0.
ПРИКЛАД 6. За правилом Крамера розв’язати систему рiвнянь
5x1	+	4x2	=	8:
3x1		2x2	=	6;

	55
Розв’язання. Розглянемо систему як рiвняння	~
	A~x = b. Використаємо введенi вище по-
значення:

A =	5	4	; jA1(~b)j =	8	4		;
	3	2		6	2

jA2(~b)j =		5	8		:
		3	6

Оскiльки jAj = 2, то система має єдиний розв’язок. За правилом Крамера

		~			24 + 16
	x1	=	jA1(b)j	=			= 20;
			jAj			2
		~			24 + 30
	x2	=	jA2(b)j	=			= 27:
			jAj			2

Зауваження.

Правило Крамера необхiдно у рiзних теоретичних обчисленнях. Наприклад, його мо-

жна використати при вивченнi того, як рiвняння ~ ~ змiнюється залежно вiд змiн

Ax = b

координат вектора ~ . Разом з тим, формула є неефективною для ручних обчислень b

детермiнантiв вище третього порядку.

Формула для обчислення оберненої матрицi

Правило Крамера легко приводить до загальної формули для обчислення оберненої до матрицi n-го порядку A, якщо вона оборотна. Вектор ~x, який задовольняє рiвняння

A~x = ~ej;

де ~ej є j-ий стовпець одиничної матрицi, є j-им стовпцем для оберненої матрицi A 1 та i-та координата ~x є (i; j)-елемент A 1. За правилом Крамера,

(i; j) елементA 1		(~e )
	= xi =	jAi j	j	:	(10)
		jAj

Нагадаємо, що Mji позначає пiдматрицю A, утворену видаленням j-ого рядка i i-ого стовпця з A. Розклад за i-тим стовпцем jAi(~ej)j показує, що

jAi(~ej)j = ( 1)i+jjMjij = Aji;

(11)

де Aji є алгебраїчне доповнення до елемента aji матрицi A. На пiдставi (10), (i; j)-елемент A 1 є алгебраїчне доповнення Aji подiлене на jAj. [Замiтимо, що iндекси у Aji є навпаки до (i; j).] Тому має мiсце

ТЕОРЕМА 8.

Якщо матриця A оборотна, то

1	1		2 A12			A22			An2		3
				A11		A21			An1
A	=		6 ...				...	...		...	7	:	(12)
		jAj
			6	A	1n	A	2n		A	nn	7
			6								7
			4								5

Матриця алгебраїчних доповнень у правiй частинi (12) називається приєднаною (або класично спряженою) до A i позначається adjA. Наступна теорема спрощує заявлене у (12).

Наслiдок.

Нехай A буде оборотна n n матриця. Тодi A 1 = jA1 jadj A:

56

2 3

2 1 3

ПРИКЛАД 7. Знайти обернену до матрицi A = 4 1 1 1 5.

1 4 2

Розв’язання. Спочатку обчислимо jAj=14 одним з вiдомих вам способiв. Тодi для обчислення оберненої можна застосувати формулу (12). Дев’ять алгебраїчних доповнень є такими:

A11 = +			4 2						= 2,	A12 =			1		2		= 3,			A13 = +			1	4			= 5,
				1			1						1		1								1		1
A21 =			1			3			14,	A22 = +			2		3		=		7,	A23 =			2	1				7,
			4			2		=					1		2								1	4		=
C31 = +				1	3			= 4,		A32 =			2	3			1,			A33 = +			2		1		=		3.
				1	1								1	1		=							1
																									1

Приєднана матриця є транспонованою до матрицi алгебраїчних доповнень. [Наприклад, A12 йде на (2; 1)-позицiю.] Тому

23

	4	2	14	4	5
adj A =		3	7	1		:
		5	7	3

Наступнi обчислення дозволяють перевiрити правильнiсть обчислення jAj:

(adj A)	A =	2	3	7	1	32	1	1	1	3	=	2	0	14	0	3	= 14I.
		4	2	14	4		2	1	3			4	14	0	0
			5	7	3 54 1			4	2 5				0	0	14 5

Оскiльки (adj A) A = 14I, то наслiдок показує, що jAj=14 i									1=14 3
A 1 = 14 2			3	7	1 3	= 2	3=14	1=2		:
1			2	14	4		1=7	1	2=7
		4	5	7	3 5	4	5=14	1=2	3=14 5