Лекції з вищої математики

30

a)Множина мiстить чотири вектори, кожний з яких має тiльки три координати. Така множина є лiнiйно залежною за теоремою 8.

б)	Теорема 8 не працює тут тому, що число векторiв не вище числа координат у кожного вектора.
	Оскiльки нуль вектор є у множинi, то множина є лiнiйно залежною за теоремою 9.
в)	Порiвняємо вiдповiднi координати двох векторiв. Другий вектор виглядить як 23 першого
	вектора. Це вiдношення справджується для перших трьох пар координат, але не справджується
	для четвертої пари. Тому нi один з векторiв не є кратним iншого i, отже, вони лiнiйно незалежнi.

Взагалi, вам потрiбно прочитати параграф 20 з пiдручника [1] грунтовно декiлька раз щоб засвоїти таке важливе поняття, як лiнiйна незалежнiсть.

31

Лекцiя 3: Матрична алгебра

План:

1.Операцiї над матрицями та їх властивостi.

Додавання матриць i множення матрицi на число.

Множення матриць.

Транспонована матриця.

2.Обернена матриця та її характеристики.

3.Пiдпростори арифметичного векторного простору.

4.Розмiрнiсть i ранг.

1. Операцiї над матрицями та їх властивостi ([1], стор. 370 – 389)

Додавання матриць i множення матрицi на число

Ми вмiємо додавати вектори та множити матрицю на вектор. Та нашi можливостi аналiзувати i розв’язувати системи рiвнянь будуть набагато бiльшими, коли ми зможемо здiйснювати алгебраїчнi операцiї з матрицями.

Нагадаємо з першої лекцiї, що m n матрицею називається прямокутна таблиця чисел з m рядками i n стовпцями. Надалi ми будемо позначати їх великими буквами латинського алфавiту(при потребi – з iндексами): A,B,. . . .

Якщо A є m n матриця, то число (iнодi говоримо скаляр) у i-му рядку i j-му стовпцi A позначається aij i називається (i; j)-елементом (координатою) матрицi A. Наприклад, (3; 2)-елемент є число a32 у третьому рядку, другому стовпцi. У загальному видi m n матрицю A записують так:

	2 a11...		: : : a...1j
A =	6 ai1		: : : aij
	6 .		.
	6 ..		..
	6
	6 a	m1	: : : a
	6		mj
	4

3

: : : a1n

... 7 7

7

: : : ain 7 = [aij]:

.. 7 7

. 5

: : : amn

Останнiй скорочений запис вживається тодi, коли з контексту вiдома кiлькiсть рядкiв i стовпцiв матрицi. Стовпцi A є вектори простору Rm i їх будемо позначати через ~a1;~a2; : : : ;~an. Якщо нам потрiбно зосередити увагу на цих стовпцях, то ми пишемо

A = [~a1 ~a2 : : : ~an]:

Замiтимо, що число aij є i-ою координатою (вiд верху) j-ого стовпця ~aj. Якщо у матрицi m = n, то її називають квадратною або матрицею n-ого порядку.

Дiагональнi елементи у m n матрицi A = [aij] є a11; a22; a33; : : : i вони утворюють

головну дiагональ A. Дiагональною матрицею називається квадратна матриця, недiагональнi елементи якої рiвнi нулю. Прикладом є n n одинична матриця In (дивись приклад 7 в) з лекцiї 2). m n матриця, всi елементи якої рiвнi нулю, називається нульовою матрицею i позначається як O. Розмiр нульової матрицi зазвичай зрозумiлий з контексту.

Ранiше ми визначили як додавати вектори i множити їх на скаляр. Ця арифметика має природнє розширення на матрицi. Ми говоримо, що двi матрицi рiвнi, якщо вони мають однаковий розмiр (тобто однакове число рядкiв i однакове число стовпцiв) i коли їх вiдповiднi стовпцi рiвнi. Якщо A i B є m n матрицi, то сумою A + B називається

32

m n матриця, стовпцi якої є сумами вiдповiдних стовпцiв у A i B. Оскiльки векторне додавання стовпцiв виконується покоординатно, то кожний елемент у A + B є сумою вiдповiдних елементiв у A i B. Сума A + B визначена тiльки тодi, коли A i B мають

однаковий розмiр.	1	0	2	,	B =	1	5	3	,	C =	0	3	Зна-
ПРИКЛАД 1. Нехай A =
	2	1	5			1	1	1			1	2

йти суми A + B i A + C.

Розв’язання. Тодi A + B =	1	0	4	, але A + C не визначена тому, що A i			C мають
	0	5	5
рiзний розмiр. Зауважимо, що отримана матриця A + B є						.

Якщо r є скаляр (тобто деяке число) i A є матриця, то добутком rA матрицi A на скаляр r еазивається матриця, кожний елемент якої є помножений на цей скаляр r вiдповiдний елемент A. Як i з векторами, ми визначаємо, що A означає ( 1)A i пишемо

A B замiсть A + ( 1)B.
ПРИКЛАД 2. Якщо A i B є матрицi з Прикладу 1, то
2B = 2 1	5 3		=		6
1	1	1	2	2	2	=	:
A 2B = 1 0
	2	1	5
Властивостi визначених операцiй описує наступна теорема.
ТЕОРЕМА 1.
Нехай A, B i C – матрицi однакового розмiру i нехай r i s – скаляри. Тодi мають мiсце
рiвностi:
a) A + B = B + A;					г)	r(A + B) = rA + rB;
б) (A + B) + C = A + (B + C); д)						(r + s)A = rA + sA;
в) A + O = A;					е)	r(sA) = (rs)A.

Кожна рiвнiсть у теоремi 1 перевiряється безносередньою перевiркою того, що матриця у лiвiй частинi має такий же розмiр як матриця у правiй частинi i, що вiдповiднi стовпцi є рiвними. Розмiр не є проблемою, оскiльки A, B i C матрицi однакового розмiру. Рiвнiсть стовпцiв випливає з аналогiчних властивостей векторiв.

Наприклад, доведемо властивiсть б) асоцiативностi додавання. Якщо j-тi стовпцi A, B i

~
C є ~aj, bj та ~cj вiдповiдно, то j-тi стовпцi (A + B) + C i A + (B + C) є
~	i	~
(~aj + bj) + ~cj		~aj + (bj + ~cj)

вiдповiдно. Оскiльки цi двi векторнi суми рiвнi для кожного j, то властивiсть б) є доведеною.

За властивiстю асоцiативностi додавання, ми можемо писати A + B + C для сум, якi можуть бути обчисленi як (A + B) + C або як A + (B + C). Подiбне твердження про суми виконується для чотирьох i бiльше матриць.

Доведення iнших властивостей дивись у посiбнику [1] на сторiнках 377 - 378.

Множення матриць

У попереднiй лекцiї перед визначенням матричної форми запису системи лiнiйних рiвнянь нами було розглянуто множення матрицi на вектор, тобто, фактично множення ма-

трицi на матрицю з одного стовпця. Результат множення матрицi на вектор ~ ми

A b

позначили через ~ i це був вектор, який рiвний лiнiйнiй комбiнацiї стовпцiв матрицi

Ab A

з коефiцiєнтами, що дорiвнюють координатам вектора ~ . При цьому з’явилося природне b

обмеження: число стовпцiв матрицi A повинно дорiвнювати числу координат вектора

~ . b

33

Якщо ми хочемо узагальнити це означення на випадок iнших матриць, то це обмеження повинно також залишитися. Тому розглянемо m n матрицю A та n p матрицю B, яку

~ ~	~				~	(1 6 i 6 p) має по n координат.
запишемо у видi [b1 b2 : : : bp], де кожний з векторiв					bi
Тепер цiлком природно можна визначити добуток матрицi A на матрицю B так:
ОЗНАЧЕННЯ.
							~		~
Якщо A є m n матриця i якщо B є n p матриця з стовпцями b1; : : : ; bp, то добутком
AB називається m p матриця, стовпцi якої є				~		~	; : : : ;		~
				Ab1;	Ab2				Abp. Отже,
~	~	~	df	~	~				~
AB = A[b1 b2		: : : bp	] = [Ab1		Ab2		: : : Abp]:
		2	3	B =		4	3	6	:
ПРИКЛАД 3. Обчислити	AB, де A = 1		5			1	2	3
				~		~	~		i виконаємо обчислен-
Розв’язання. Запишемо матрицю B у виглядi B = [b1						b2	b3]

ня:

A~b1 =	1 5		1	= A~b2	=	1 5		2	= A~b3 =		1 5		3	=
	2	3	4			2	3	3			2	3	6
=	1 ;				=	13	;			=	9 .
	11					0					21
Тодi						~b3] = 1				9
			AB = A[~b1 ~b2						13
								11	0	21
								"	"	"
								~	~	~
								Ab1	Ab2	Ab3

ПРИКЛАД 4. Якщо A є 3 5 матриця i B є 5 2 матриця, то якого розмiру є матрицi AB i BA, коли вони визначенi?

Розв’язання. Оскiльки A має 5 стовпцiв i B має 5 рядкiв, то добуток AB визначений,

		A	2		B				AB
					3
	2		3 6			7		2		3
причому це 3 2 матриця:							=
	4		6			7		4 5
			5 6			7
			6			7
		3 5	4			5		3 2
				5 2
Добуток BA не визначений тому, що 2 стовпцi B не вiдповiдають 3 рядкам A.

Означення AB є важливим для теоретичної роботи i застосувань, але наступне правило дає бiльш практичний метод для обчислення кожного елемента у AB, коли обчислюються малi задачi вручну. (Дивись рядково-векторне правило перед прикладом 7 з попередньої лекцiї.)

Правило "рядок-стовпець"для обчислення AB

Якщо добуток AB визначений, то елемент в i-му рядку i j-му стовпцi для AB є сумою добуткiв вiдповiдних координат з i-го рядка матрицi A та j-го стовпця матрицi B. Якщо через (AB)ij позначається (i; j)-координата у AB i якщо A є m n матриця, то

df

(AB)ij = ai1b1j + ai2b2j + + ainbnj:

34

		~	~	~
Перевiримо це правило на прикладi. Нехай B = [b1			b2	bp]. Тодi j-й стовпець до-
~	~	за правилом з попередньої лекцiї. Тодi
бутку AB є Abj	i ми можемо обчислити Abj
	~
i-та координата у Abj є сумою добуткiв вiдповiдних координат з i-го рядка матрицi A i

~
вектора bj, яка є точно такою ж як у правилi обчислення (i; j)-координати AB.
ПРИКЛАД 5. Знайти елементи у другому рядку добутку AB, коли
A = 2 1		3 4 3; B = 7							1 :
6	2		5	0			2 3		2 3
	6 8 7 7
6					7		4	4	6	5
	3		0	9
4					5
Розв’язання. За правилом "рядок-стовпець координати другого рядка AB отримуються з
другого рядка A i стопцiв B:	2 1		3 4 3				4# #6
!
	6	2	5		0	2			3
					7
	6	6	8		7		7	1
	4	3	0		9 5 4		3	2	5
= 2 ( 1) 4 + 3 7 + ( 4) 3 6 + 3 8 3									= 2 5 1 3:
6								7	6			7
6								7	6			7
4								5	4			5

Наступна теорема перераховує стандартнi властивостi матричного множення. Нагадаємо, що через Im позначається m m одинична матриця та Im~x = ~x для всiх ~x з Rm.

ТЕОРЕМА 2.

Нехай A є m n матриця та B i C мають розмiри, для яких вказанi суми i добутки визначенi. Тодi виконуються рiвностi:

a) A(BC) = (AB)C		(асоцiативний закон множення);
б)	A(B + C) = AB + AC	(лiво дистрибутивний закон);
в) (B + C)A = BA + CA		(право дистрибутивний закон);
г)	r(AB) = (rA)B = A(rB)	для всiх r;
д)	ImA = A = AIn	(тотожнiсть для множення матриць).

Доведення цiєї теореми є у рекомендованiй Вам лiтературi ([1], стор. 378 - 381).

Закони асоцiативностi i дистрибутивностi у теоремах 1 i 2 говорять по сутi, що пари дужок у матричних виразах можуть бути вставленi i опущенi аналогiчно як це робиться в алгебрi з дiйсними числами. Зокрема, ми можемо писати ABC для добутку, який може бути обчислений як A(BC) або як (AB)C. Аналогiчно, добуток ABCD чотирьох матриць може бути обчислений як A(BCD) або (ABC)D або A(BC)D i так далi. Результат не залежить вiд того як ми групуємо матрицi, коли обчислюємо добуток, головне щоб було збережено порядок матриць злiва-направо.

Порядок злiва-направо є критичним тому, що AB i BA, як правило, не рiвнi. Це не дивно, оскiльки стовпцi AB є лiнiйнтит комбiнацiями стовпцiв A, тодi як стовпцi BA побудованi з стовпцiв B. Позицiя множникiв у добутку AB пiдкреслюється тим, що ми говоримо матриця A помножена справа на B або B помножена злiва на A. Якщо AB = BA, то ми говоримо, що A i B комутують одна з iншою.

		5	1
ПРИКЛАД 6. Нехай A =		3	2		i B =	4	3	. Показати, що цi матрицi не кому-
тують, тобто, перевiрити, що AB 6= BA.
5	1		2	0	=	14	3	,
Розв’язання. AB = 3	2		4	3		2	6

														35
BA =	4	3	3	2	=	29	2	i	2	6	6=	29	2 .
	2	0	5	1		10	2		14	3		10	2

Застереження:

1.Взагалi кажучи, AB 6= BA.

2.Закони скорочення не мають мiсця для матричного множення. Iншими словами, якщо AB = AC, то це не означає взагалi, що B = C.

3.Якщо добуток AB є нульова матриця, то ви не можете зробити висновок, що виконується A = O або B = O.

Степiнь матрицi

Якщо A є n n матриця i k є додатне цiле число, то Ak означає добуток k раз матрицi

A:

df					:
Ak = A A
|		{z		}	n	k
k множникiв

Якщо A є ненульова матриця i якщо ~x належить R , то A ~x є результат лiвостороннього множення ~x на A повторно k раз. Якщо k = 0, то A0~x буде сам ~x. Тому A0 буде iнтерпретовано як одинична матриця. Степiнь матрицi є корисним як в теорiї так i в застосуваннях.

Транспонована матриця

Нехай задана m n матрицi A. Транспонованою до A називається n m матриця AT , стовцi якої утворенi з вiдповiдних рядкiв A.

ПРИКЛАД 7. Нехай

A =	a b		2	5	2	3				1	1		1	1
	c d		B = 4	0	4	5	,	C =		3 5 2 7					.
		,		1	3
Тодi	a c ,		BT =	5 1 0 ,					CT =		2 1		5 3.
AT =
	b d				2 3 4						6	1	3	7
												1	2
											6	1	7	7
											4			5

ТЕОРЕМА 3.

Нехай A i B позначають матрицi, розмiри яких придатнi для наступних сум i добуткiв. Тодi виконуються рiвностi:

a)(AT )T = A;

б) (A + B)T = AT + BT ;

в) (rA)T = rAT для будь-якого скаляра r; г) (AB)T = BT AT :

Доведення цiєї теореми пропонуємо виконати як вправу.

2. Обернена матриця та її характеристики ([1], стор. 381 – 389)

Матрична алгебра дає засоби для створення рiзних корисних формул подiбних до вiдомих з алгебри дiйсних чисел. Зупинимося на матричнiй аналогiї до обернених, вiдмiнних вiд нуля чисел.

Нагадаємо, наприклад, що оберненим при множеннi для числа 5 є число 15 або 5 1. Це обернене число задовольняє рiвностям

5 5 1 = 1 i 5 1 5 = 1:

36

Внаслiдок комутативностi операцiї множення чисел тут можна обмежитися перевiркою виконання однiєї рiвностi.

Матричне узагальнення цього поняття вимагає виконання обох рiвностей i уникає вживання риски для позначення дiлення тому, що матричне множення не є комутативним. Бiльше того, повне узагальнення можливе лише тодi, коли залученi матрицi є квадратними.

ОЗНАЧЕННЯ.

Матриця n-го порядку A називається оборотною, якщо iснує n n матриця C така, що

CA = I i AC = I;

де I = In – n n одинична матриця. У цьому випадку матриця C називається оберненою до A.

Фактично C є єдиною оберненою, визначеною для A тому, що коли B була б також оберненою до A, то B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C. Ця єдина обернена позначає-

ться через A 1. Тому

A 1A = I i AA 1 = I:

Матриця, яка не оборотна, у застосуваннях часто називається особливою (сингулярною) матрицею i оборотна матриця називається неособливою (несингулярною) матрицею.

ПРИКЛАД 8. Якщо A =				3	7	i C =	3	2	, то
AC = 3		3		2	5		7	5	2			=	0	1 .
	7		2 =		0	1 i CA =		3		3	7
2	5	7		5	1	0		7	5	2	5		1	0
Тому C = A 1.

Легко встановити просту формулу для обчислення оберненої до 2 2 матрицi, разом з перевiркою того, чи обернена iснує.

ТЕОРЕМА 4.

Нехай A =	a	b	. Якщо ad bc 6= 0, то A		є оборотна i
	c	d
			A 1 = ad bc		c	a	:
			1		d	b
Якщо ad bc = 0, то A не оборотна.

Величина ad bc називається детермiнантом матрицi A i записується jAj = ad bc або detA = ad bc:

Теорема 4 говорить, що 2 2 матриця A є оборотною тодi i тiльки тодi, коли jAj 6= 0. Пропонуємо довести як вправу.

ПРИКЛАД 9. Знайти обернену матрицю до матрицi A =	3	4	:
	5	6

Розв’язання. Оскiльки jAj = 3 6 4 5 = 2 6= 0, то A є оборотною i

		2	5	3		2	2
		1	6	4		3	2
A 1	=				= 5		3	:

Оборотнi матрицi є дуже потрiбними у лiнiйнiй алгебрi – в основному для алгебраїчних обчислень. Зокрема, це показує наступна теорема.

37

ТЕОРЕМА 5.

	~	n	~
	Якщо A є оборотною n n матрицею, то для кожного b з R		рiвняння A~x = b має
	єдиний розв’язок ~x = A 1~b .

ДОВЕДЕННЯ. Вiзьмемо довiльний ~ з n. Розв’язок iснує тому, що коли 1~ пiдста- b R A b

вити замiсть ~ , то ~ 1~ 1 ~ ~ ~ Отже, 1~ є розв’язок. x Ax = A(A b) = (AA )b = Ib = b: A b

Для доведення єдиностi розв’язку, покажемо, що коли ~u є будь-яким розв’язком, то

фактично повинно бути ~ 1~ . Дiйсно, якщо ~ ~ , то ми можемо помножити u = A b Au = b

обидвi сторони на A 1 i отримаємо

1 ~ 1~ ~ 1~ i ~ 1~ A Au = A b; Iu = A b u = A b:

Наступна теорема дає три важливих факти про оборотнi матрицi.

ТЕОРЕМА 6.

a)Якщо A є оборотна матриця, то A 1 є оборотна також i (A 1) 1 = A:

б)	Якщо A i B це n n оборотнi матрицi, то такою є AB i обернена до AB є добуток
	обернених до A i B у зворотному порядку, тобто має мiсце (AB) 1 = B 1A 1:
в)	Якщо A є оборотна матриця, то такою є AT , причому оберненою до AT є транспо-
	нована матриця до A 1; тобто маємо (AT ) 1 = (A 1)T :

ДОВЕДЕННЯ. Для перевiрки a) ми повиннi знайти матрицю C таку, що

A 1C = I i CA 1 = I:

Проте ми уже знаємо, що цi рiвностi виконуються для матрицi A при C = A. Тому A 1 є оборотною i A її оберненою. Далi, для доведення б), ми обчислюємо:

(AB)(B 1A 1) = A(BB 1)A 1 = AIA 1

Аналогiчнi обчислення показують, що (B 1A 1)(AB) = I. прочитавши її справа налiво: (A 1)T AT = (AA 1)T = IT IT = I. Тому AT є оборотною i оберненою до неї є (A 1)T

= AA 1 = I:

Для в) застосуємо теорему 3г), = I. Аналогiчно, AT (A 1)T =

.

Елементарнi матрицi

Iснує важливий зв’язок мiж оборотними матрицями i рядковими переьвореннями матриць, який приводить до методу обчислення оберненої. Як ми будемо бачити, обернена матриця до A є рядково еквiвалентна до одиничної матрицi i ми можемо знайти A 1

застосуванням рядкової редукцiї A до I.

ОЗНАЧЕННЯ.

Елементарною матрицею називається така матриця, яка отримана застосуванням одного елементарного рядкового перетворення до одиничної матрицi.

Наступний приклад iлюструє три типи елементарних матриць.

ПРИКЛАД 10. Нехай маємо матрицi										=	2 0	1	0 3	та A =	2 d e f 3
E1	=	2	0	1	0 3, E2	=	2 1	0	0 3, E3									:
			1	0	0		0	1	0		1	0	0		a	b	c
		4 4		0	1 5		4 0	0	1 5		4 0	0	5 5		4 g	h	i 5

Обчислити E1A, E2A i E3A i описати, як цi добутки можуть бути отриманi елементарними рядковими перетвореннями з A.

Розв’язання. Матриця E1 отримана з матрицi I3 додаванням першого рядка, помноженого на -4, до третього рядка матрицi I3.

Матриця E2 отримана з матрицi I3

38

Матриця E3 отримана з матрицi I3
Отже, E1, E2 i E3 – елементарнi матрицi. Далi								E3A = 2	d e f 3.
E1A = 2	d	e	f 3,	E2A =		2 a b c 3,
4	a	b	c			d	e f	4	a b c
			5			4	5		5
	g 4a h 4b i 4c					g h i			5g 5h 5i
Тепер виконаємо над матрицню A рядковi перетворення.

Додамо помножений на 4 перший рядок матрицi A до третього рядка. Отримаємо E1A. (Це операцiя рядкового замiщення.) Замiна мiсцями першого i другого рядка матрицi A створює E2A i множення третього рядка матрицi A на 5 створює E3A.

Множення матрицi A злiва на E1 у прикладi 10 має такий же ефект для будь-якої 3 3 матрицi. Воно додає перший рядок, помножений на 4, до третього рядка. Зокрема, оскiльки E1I = E1, то ми бачимо, що E1 сама створена таким же рядковим перетворенням над одиничною. Тому приклад 10 iлюструє наступний загальний факт про елементарнi матрицi.

Якщо рядкове елементарне перетворення виконано над m n матрицею A, то отримана матриця може бути записана як EA, де m n матриця E утворена виконанням такого ж рядкового перетворення над Im.

Оскiльки рядковi операцiї є оборотними (це ми показали у лекцiї 1), то елементарнi матрицi є оборотними. Якщо E створена рядковим перетворенням над I, то iснує iнше рядкове елементарне перетворення такого ж типу, яке змiнює E назад у I. Тому iснує елементарна матриця F така, що F E = I. Оскiльки E i F вiдповiдають оберненим перетворенням, то EF = I також.

Кожна елементарна матриця E є оборотною. Обернена до E є елементарна матриця такого ж типу, яка перетворює E назад у I.

		2	1	0	0	3.
ПРИКЛАД 11. Знайти обернену до E1	=		0	1	0
		4	4	0	1	5

Розв’язання. Перетворимо E1 в I, додавши помножений на 4 перший рядок до третього рядка. Елементарна матриця, яка це робить є

E1 1 =	2 0		1	0 3		:
	4	1	0	0	5
		4	0	1

Наступна теорема вказує красивий шлях до простого методу знаходження оберненої матрицi.

ТЕОРЕМА 7.

Матриця n-го порядку A є оборотною тодi i тiльки тодi, коли A рядково еквiвалентна In, i в цьому випадку будь-яка послiдовнiсть елементарних рядкових перетворень, яка зводить A до In, також перетворює In у A 1.

ДОВЕДЕННЯ. Припустимо, що оборотна. Тодi, оскiльки рiвняння ~ ~ має розв’я-

A Ax = b

зок для кожного ~ (теорема 5), то має головнi позицiї у кожному рядку (дивись лекцiя b A

1). З того, що A квадратна, випливає, що n головних позицiй повиннi бути на дiагоналi i, таким чином, зведена ступiнчата форма для A є In. Тобто A In.

Тепер припустимо, навпаки, що A In. Тодi, оскiльки кожному кроку рядкової редукцiї A вiдповiдає множення злiва на елементарну матрицю, то iснують елементарнi матрицi

E1; E2; : : : ; Ep такi, що

A E1A E2(E1A) : : : Ep(Ep 1 : : : E1A) = In:

	39
Отже,
Ep : : : E1A = In:	(1)

Оскiльки добуток Ep : : : E1 оборотних матриць є оборотна матриця, то рiвнiсть (1) приводить до таких рiвностей:

(Ep : : : E1) 1(Ep : : : E1)A = (Ep : : : E1) 1In

A = (Ep : : : E1) 1.

Тому A є оборотна, як така, що є оберненою до оборотної матрицi Ep : : : E1( теорема 6).

Також,

A 1 = [(Ep : : : E1) 1] 1 = Ep : : : E1:

Тодi A 1 = Ep : : : E1 In, яка говорить, що A 1 є результатом застосування E1; E2; : : : ; Ep послiдовно до In. Це послiдовнiсть є такою ж як в (1), що зводить A до In.

Алгоритм для знаходження A 1

Якщо ми запишемо A i I поруч, створивши розширену матрицю [A j I], то рядковi перетворення над цiєю матрицею виконують iдентичнi перетворення над A i над I. За теоремою 7, виконається одне з двох: iснують рядковi перетворення, якi зведуть A до In i In до A 1 або A не є оборотною.

Алгоритм для знаходження A 1
Рядково редукуємо розширену матрицю [A																I ]. Якщо A рядково еквiвалентна I, то
[A j I] рядково еквiвалентна [I													j A 1]. В протилежному випадку A не має оберне-
ної.
																	2	0		1	2	3, якщо iснує.
ПРИКЛАД 12. Знайти обернену до матрицi A =																		1		0	3
Розв’язання.																	4	4		3	8	5
[A j I] = 2 1			0		3		0 1 0						3 2 0			1 2		1 0 0 3
		0	1		2			1		0		0	50		1	0	3	0		1	0
	4 1		0		3 0							1		4		1 0 3 0					1 50
		4	3		8 0 0 1										4 3 8 0 0 1
	2	0	1	3	2				1		1	0 0		3	2	0 1 2			1		0 0 3
	4	1	0		0				0			0		5	4	0 0 2						5
		0	3		4							4 1							3 4 1
	2	0	1	2		3					0	1	3
	4 1		0	0		1						0	53
						2 9					2	7 2
	2	0	0	1		3							1	3
		0	1	0
	4							2				4	2	5
								2					1
		0	0	1				2			2		2

Оскiльки A I, то ми робимо висновок, що матриця A є оборотною за теоремою 7 i

				A	1	= 2	29	7	23	3:
							3	4	1
						4	2		1	5
Перевiримо остаточну вiдповiдь:							2	2	2
AA	1	= 2	0	1	2	32	29	7	23	3 = 2	1	0	0	3	:
			1	0	3		3	4	1		0	1	0
		4				54	2		1	5 4				5
			4	3	8		2 2		2		0	0	1
Немає необхiдностi перевiряти, що A 1A = I, оскiльки A є оборотною.