алгебра 2 семестр

11.5. Приведение квадратичной формы к каноническому виду

101

каноническом виде.

Доказательство. Пусть r(F ) = r. Переведем форму F с помощью невырожденного линейного преобразования L в канонический вид, получим

F L = 1y12 + : : : + nyn2. По теореме 11.4.1 r(F L) = r(F ), поэтому

r(F ) = r(AF L) = r. Последнее равенство равносильно тому, что среди элементов 1; 2; : : : ; n ровно r штук отличных от нуля.

Следствие 11.5.1.2. Любую квадратичную форму F ранга r над полем комплексных чисел C с помощью невырожденных линейных преобразований можно привести к сумме r квадратов.

Доказательство. Квадратичную форму F ранга r по следствию 11.5.1.1

с помощью невырожденного линейного преобразования можно привести к виду F L1 = 1y12 + : : : + ryr2, ãäå âñå i 6= 0. Так как в поле комплексных чисел C можно извлечь корень из любого числа, то рассмотрим преобразование

1

1

L2 : y1 =

p

1

z1; : : : ; yr =

p

r

zr

; yi = zi; 8 i = r + 1; n:

Это преобразование является невырожденным, потому что

1

jAL2 j =

p

:

1 2 : : : r

Это преобразование L2 приведет форму F L1 ê âèäó

(F L1)L2 = z2

+ z2

+ : : : + z2:

1

2

r

Форма F с помощью линейного преобразования L = L1L2 переводится к сумме r квадратов.

102	Глава 11. Квадратичные формы

11.6Действительные квадратичные формы

Основное поле k в этом параграфе это поле действительных чисел R. Рассмотрим квадратичные формы

nn

Xi	X
F =	ijxixj

=1 j=1

с коэффициентами ij 2 R. Линейное преобразование неизвестных также будем рассматривать с действительными коэффициентами.

Квадратичная форма F ранга r с помощью невырожденного линейного преобразования приводится к каноническому виду

F L = 1y12 + 2y22 + : : : + ryr2;

ãäå i 6= 0. Пусть p число положительных коэффициентов, а q число отрицательных коэффициентов. Ясно, что p + q = r. Квадратичная форма F различными линейными невырожденными действительными преобразованиями приводится к различным каноническим видам. Возникает вопрос ¾Что общего у этих канонических видов?¿.

ТЕОРЕМА 11.6.1 (Закон инерции действительных квадратичных форм). Число положительных и число отрицательных коэффициентов при квадратах неизвестных в каноническом виде, к которому приводится действительная квадратичная форма F с помощью невырожденного действительного преобразования неизвестных, не зависит от выбора линейного преобразования.

Доказательство. Допустим противное, то есть квадратичная форма F

с помощью двух линейных действительных преобразований L и M приводится к каноническим видам с различным числом положительных коэффициентов. Допустим, что квадратичная форма F ранга r с помощью преобразования L : x ! y и с помощью M : x ! z приводится к виду

F L = 1y12 + 2y22 + : : : + pyp2 p+1yp2+1 : : : ryr2;

(11.5)

, обозначим

является невырожденным.

11.6. Действительные квадратичные формы	103
F M = 1z12 + 2z22 + : : : + p0zp20 p0+1zp20+1 : : : rzr2;	(11.6)

ãäå 1; : : : ; r; 1; : : : ; r > 0.

Предположим для определенности, что p < p0. Так как преобразова- ние L : x ! y является невырожденным, то невырожденным будет и преобразование L 1 : y ! x. Заметим, что

y1 = 11x1 + : : : + 1nxn
L 1 : : : :	:
yn = n1x1 + : : : + nnxn

Точно так же и M. Так как M : x ! z является невырожденным преобразованием, то M 1

z1 = 11x1 + : : : + 1nxn
M 1 : : : :	:

zn = n1x1 + : : : + nnxn

Теперь рассмотрим однородную систему линейных уравнений с n- неизвестными x1; : : : ; xn следующего вида:

8	: :11: x1 + : : : + 1nxn = 0
>
>
>
>	p1x1		+ : : : + pnxn = 0		(11.7)
>				:
>
>
>	p	+1;1x1 + : : : + p		+1;nxn = 0
>
>	0		0
<
>	: : :
>
>
> n1x1 + : : : + nnxn = 0

>

>

>

>

>

>

:

Число уравнений в системе (11.7) равно p+(n p0) = n (p0 p) < n. Òàê

как в однородной системе (11.7) число уравнений меньше числа неизвестных, то она имеет ненулевое действительное решение x(0)1 ; : : : ; x(0)n .

Подставим в формулы (11.5), (11.6) вместо y и z их выражения через x1; : : : ; xn и затем, полагая x1 = x(0)1 ; : : : ; xn = x(0)n

n			n
y(0) =	ijx(0);	z(0) =	ijx(0):
X	j	i	Xj
i			j
j=1			=1

104				Глава 11. Квадратичные формы
Заметим что в силу системы (11.7)
y1(0) = : : : = yp(0) = 0 è	zp(0)0+1 = : : : = zn(0) = 0:
В результате равенства (11.5) и (11.6)	примут вид:
F (x1(0); : : : ; xn(0)) = p+1yp(0)+1			2	: : : ryr(0)2;			(11.8)
F (x1(0); : : : ; xn(0)) = 1z1(0)2		+ : : : + p0zp(0)0			2	:	(11.9)

Так как все коэффициенты системы (11.7) действительны, то квадраты

чисел, входящих в (11.8) и (11.9) неотрицательны. Из (11.8) видно, что F (x(0)1 ; : : : ; x(0)n ) 6 0, à èç (11.9), ÷òî F (x(0)1 ; : : : ; x(0)n ) > 0. Это означает, что F (x(0)1 ; : : : ; x(0)n ) = 0. Подставим полученный результат в равенство (11.9), получаем, что z1(0) = : : : = zp(0) = 0.

Объединяя последние равенства получим z1(0) = : : : = zn(0) = 0. Эти равенства указывают на то, что система линейных уравнений

8

> 11x1 + : : : + 1nxn = 0

>

<

: : :

>

>

: n1x1 + : : : + nnxn = 0

имеет не нулевое решение x1 = x(0)1 ; : : : ; xn = x(0)n . Но эта система со- держит n линейных уравнений с n неизвестными. Тогда из критерия наличия не нулевого решения однородно системы линейных уравнений определитель этой системы должен быть равен нулю, то есть определитель этой системы jAM 1 j = 0. А это протеворечит тому, что M является невырожденным линейным преоброзованием.

Аналогично, если предположить, что p > p0 мы получаем противоре- чие с невырожденным преобразованием L 1.

Определение 11.6.1. Положительным (отрицательным) индексом инерции действительной квадратичной формы называется число положительных (отрицательным) коэффициентов при квадратах неизвестных в любом каноническом виде этой квадратичной формы.

11.6. Действительные квадратичные формы

105

Мы уже отмечали, что p + q = r, где p положительный индекс, q отрицательный индекс. Обозначим S = p q. Ясно, что при заданном ранге r, задание одного из чисел p, q или S вполне определяет два других числа.

Определение 11.6.2. Линейное преобразование неизвестных L называется ортогональным, если его матрица ортогональна, то есть

AL 1 = ALT :

Предложение 11.6.1. Линейное преобразование неизвестных L ортогонально тогда и только тогда, когда оно нормальную квадратичную форму переводит в нормальную квадратичную форму.

Доказательство. 1) Пусть форма F имеет нормальный вид и L ор-

тогональное линейное преобразование AF = E. Рассмотрим F L. Имеем, что матрица этой формы AF L = ATLAF AL = AL 1EAL = AL 1AL = E, следовательно форма F L имеет нормальный вид.

2) Пусть F и F L имеют нормальный вид. Это означает что AF =

= AF L = E. С другой стороны AF L = ATLAF AL ) ATLEAL = E ) ) ATLAL = E ) AL 1 = ATL, òî åñòü L является ортогональным преобразованием.

ТЕОРЕМА 11.6.2 (о приведении к главным осям). Любую действительную квадратичную форму с помощью ортогонального преобразования неизвестных можно привести к каноническому виду, при этом коэффициентами при квадратах неизвестных необходимо будут являться характеристические корни матрицы этой квадратичной формы.

Доказательство. Пусть F квадратичная форма от x1; : : : ; xn ñ ìàò-

рицей A. Известно, что матрица A является симметрической. По теоре-

106			Глава 11. Квадратичные формы
ме 10.7.2 существует ортогональная матрица Q такая, что
Q 1AQ =	0	: :1: :	0: : :: :: :: :0: :	1	;
	B			C
	B			C
	@	0	0 : : : n	A

ãäå 1; : : : ; n характеристические корни матрицы A.

Пользуясь этим фактом, к форме F применим преобразование

L : x ! y с матрицей Q, то есть X = QY . Тогда матрица формы примет вид

AF L = QT AQ = Q 1AQ =	0	: :1: :0: : :: :: ::	:0: :	1	:
	B	0 0 : : :	n	C
	B			C
	@			A

Таким образом форма F L примет вид F L = 1y12 + : : : + nyn2. Видно, что форма F с помощью ортогонального преобразования L приведена к каноническому виду, где коэффициенты при квадратах неизвестных являются характеристическими корнями матрицы A.

Определение 11.6.3. Приведение действительной квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования неизвестных называется приведение этой формы к главным осям.

Следствие 11.6.2.1. Положительный (отрицательный) индекс инерции действительной квадратичной формы равен числу положительных (отрицательных) характеристических корней матрицы этой формы. Ранг равен сумме положительных и отрицательных характеристических корней матрицы.

Доказательство. По теореме 11.6.1 число положительных и отрицательных коэффициентов не зависит от выбора невырожденного линейного преобразования неизвестных. С другой стороны по теореме 11.6.2 число положительных и отрицательных коэффициентов совпадают с числом

11.6. Действительные квадратичные формы

107

положительных и отрицательных характеристических корней матрицы этой формы.

Предложение 11.6.2. Любую действительную квадратичную форму F ранга r с положительным индексом p, можно с помощью невырожденного линейного преобразования привести к виду

F L = y12 + : : : + yp2 yp2+1 : : : yr2:

Доказательство. Применим к форме F ортогональное линейное преобразование L1 : x ! z. Получим

F L1 = 1z12 + : : : + pzp2 p+1zp2+1 : : : rzr2:

Применим теперь преобразование L2 : z ! y:

z1 = p1 1 y1

: : :

zr = p1 r yr

zi = yi 8i = r + 1; n:

Преобразование L2 является невырожденным. После этого преобразования форма F L примет вид: (F L1)L2 = y12 + : : : + yp2 yp2+1 : : : yr2. Преобразование L = L1L2 является невырожденным.

Определение 11.6.4. Две квадратичные формы от n неизвестных называются эквивалентными над полем k, если они переходят друг в друга с помощью невырожденного линейного преобразования с коэффициентами из поля k.

Предложение 11.6.3. Две действительные квадратичные формы от n неизвестных являются эквивалентными над полем R тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые индексы инерции (ранги и сигнатуры).

108	Глава 11. Квадратичные формы
Доказательство. 1) Пусть квадратичные формы F и G эквивалентны
над полем R, тогда F = GL, где L невырожденное линейное преобра-
зование с коэффициентами из R. Приведем эти формы к каноническому

âèäó F L1 è GL2. Эти канонические виды должны совпадать. Допустим противное, то есть F L1 è GL2 имеют различный канонический вид, тогда форма G будет иметь два канонических вида: с одной стороны GL2, à ñ другой (GL)L1, которые различны. А это противоречит теореме 11.6.1, следовательно F L1 è GL2 имеют одинаковый канонический вид и индексы инерции форм F и G совпадают.

2) Пусть F и G имеют одинаковые индексы инерции. Это означает, что по предложению 11.6.2 существуют такие линейные преобразования L1 è L2, что формы принимают вид:

F L1 = y12 + : : : + yp2 yp2+1 : : : yr2 = GL2:
Таким образом, из того, что F L1 = GL2 следует, что (F L1)L2		1 =
= F (L1L2 1) = G, òî åñòü F L = G, ãäå L = L1L2	1 невырожденное ли-

нейное преобразование. Следовательно формы F и G эквивалентны.

11.7Классификация типов квадратичных форм

Пусть	n	n
	Xi	X
	F =	ijxixj

=1 j=1

действительная квадратичная форма с матрицей A. В этом пункте будем рассматривать форму F как действительную функцию от n действительных переменных. Как известно форма

F = XT AX = XT AT X = (AX)T X = hAX; Xi :

Заметим, что hAX; Xi всегда является действительным числом, даже если AF эрмитова матрица и x 2 Cn. Квадратичную форму F можно

11.7. Классификация типов квадратичных форм

109

рассматривать, как функцию от X, которая принимает вид:

F (X) = hAX; Xi :

Определение 11.7.1 (классификация типов). Действительная квадратичная форма F называется:

1.	положительно определенной, если: 8 X 6= 0;	F (X) > 0;
2.	отрицательно определенной, если: 8 X 6= 0;	F (X) < 0;
3.	положительно полуопределенной, если:
	8 X; F (X) > 0; è 9 X 6= 0; F (X) = 0;
4.	отрицательно полуопределенной, если:
	8 X; F (X) 6 0; è 9 X 6= 0; F (X) = 0;
5.	неопределенной, если: 9 X 6= 0; Y 6= 0; F (X) > 0; F (Y ) < 0.

Предложение 11.7.1. Невырожденное линейное преобразование неизвестных не меняют классификационного типа квадратичной формы.

Доказательство. Пусть L : x ! y невырожденное линейное преобразо-

вание с матрицей Q, то есть X = QY . Тогда F L(Y ) = F (QY ), видно,

что функции F и F L имеют одно и тоже множество значений, причем

одновременно столбцы Y и X = QY либо нулевые, либо ненулевые.

Следствие. Действительные квадратичные формы можно классифицировать по их каноническому виду.

ТЕОРЕМА 11.7.1 (о характеристиках классификационных типов) .

Следующие группы утверждений равносильны:

1.(a) Квадратичная форма F является положительно определенной;

110	Глава 11. Квадратичные формы

(b)Квадратичная форма F является невырожденной и q = 0;

(c)p = n;

(d)Все характеристические корни матрицы AF являются поло- жительными.

2.(a) Квадратичная форма F является отрицательно определенной;

(b)Квадратичная форма F является невырожденной и p = 0;

(c)q = n;

(d)Все характеристические корни матрицы AF являются отри- цательными.

3.(a) Квадратичная форма F является положительно полуопределенной;

(b)Квадратичная форма F является вырожденной и q = 0;

(c)p < n, q = 0;

(d)Характеристические корни матрицы AF > 0 и есть характеристические корни равные нулю.

4.(a) Квадратичная форма F является отрицательно полуопределенной;

(b)Квадратичная форма F является вырожденной и p = 0;

(c)q < n, p = 0;

(d)Характеристические корни матрицы AF 6 0 и есть характеристические корни равные нулю.

5.(a) Квадратичная форма F является неопределенной;

(b)p 6= 0, q 6= 0;

(c)Существуют как положительные так и отрицательные характеристические корни матрицы AF .