алгебра 2 семестр

8.2. Матрица линейного оператора в конечномерном линейном пространстве

31

ТЕОРЕМА 8.2.2. При фиксированном базисе e линейного пространства V , dim V = n, отображение : L(V ) ! M(n; k), сопоставляющее линейному оператору f его матрицу относительно базиса e (f ! Afje), является изоморфизмом алгебры линейных операторов L(V ) на алгебру квадратных матриц n-го порядка M(n; k).

Доказательство. Путь e некоторый базис пространства V . Рассмотрим отображение : L(V ) ! M(n; k), (f) = Af , ãäå Af матрица линей- ного оператора f относительно базиса e. Покажем, что это отображение является изоморфизмом.

1) Инъективность .

Пусть (f) = (g), где f; g 2 L(V ). Это означает, что Af = Ag ) ) ATf = ATg ) ATf e = ATg e ) f(e) = g(e). Мы получили, что образы базисных элементов пространства V совпадают. Тогда по следствию из теоремы 8.2.1 следует, что f = g.

2) Сюръективность .

Пусть A 2 M(n; k). Построим n векторов пространства V так, чтобы координатные столбцы этих векторов относительно базиса e совпадали со столбцами матрицы A. Тогда по теореме 8.2.1 существует линейный оператор f 2 L(V ), переводящий базис e в построенные нами векторы. По построению будем иметь f(e) = AT e. Отсюда видно, если сравнивать с определением 8.2.3, что AT = ATf . Таким образом, (f) = Af = A.

3)Сохранение операций.

Пусть f; g 2 L(V ) и Af ; Ag матрицы этих линейных операторов

относительно базиса e. Тогда f(e) = ATf e; g(e) = ATg e.

Рассмотрим действие суммы линейных операторов f + g на базисные

векторы. С одной стороны, (f + g)(e) = ATf+ge.

Ñдругой стороны, (f +g)(e) = f(e)+g(e) = ATf e+ATg e = (ATf +ATg )e =

=(Af + Ag)T e.

Отсюда, ATf+g = (Af + Ag)T ) Af+g = Af + Ag. Таким образом, мат-

32	Глава 8. Линейные операторы в линейном пространстве

рица суммы линейных операторов равна сумме матриц этих операторов. Следовательно

(f + g) = Af+g = Af + Ag = (f) + (g);

то есть отображение сохраняет внутреннее сложение.
Рассмотрим действие произведения линейных операторов		fg íà áà-
зисные векторы. С одной стороны, (fg)(e) = AT	e.
fg
С другой стороны, (fg)(e) = f(g(e)) =	f(AgT e) =	AgT f(e) =

= ATg (ATf e) = (ATg ATf )e = (Af Ag)T e.

Отсюда, ATfg = (Af Ag)T ) Afg = Af Ag, то есть матрица произведения линейных операторов равна произведению матриц этих операторов. Следовательно

(fg) = Afg = Af Ag = (f) (g);

то есть отображение сохраняет внутреннее умножение.

Наконец, совсем просто доказывается, что A f = Af ) ( f) = = (f), ãäå 2 k.

Предложение 8.2.1. Координатный столбец образа вектора при действии линейным оператором равен координатному столбцу этого вектора, умноженному слева на матрицу этого линейного оператора, то есть

f(a) = Af a:

Доказательство. Действительно, вектор a

= aT e. С одной стороны,

T

T

e) = a

T

f(e) = a

T

T

f(a) = f(a) e. С другой стороны, f(a) = f(a

(Af e) =

= (a

T

T

T

T

T

Af )e = (Af a)

e. Имеем, f(a)

= (Af a)

) f(a) = Af a.

Определение 8.2.4. Матрица B называется подобной матрице A (B A) над полем k, если существует не особенная матрица Q с элементами из поля k такая, что

B = Q 1AQ:

получается из

8.2. Матрица линейного оператора в конечномерном линейном пространстве

33

Иногда говорят, что матрица B получена трансформированием матрицы A с помощью матрицы Q, или матрица B преобразована из матрицы A с помощью матрицы Q.

Замечание 8.2.1. Если матрицы B и A подобны, то они должны быть квадратными одинаковой размерности.

Предложение 8.2.2. Отношение подобия является отношением эквивалентности на множестве M(n; k).

Доказательство. 1) Рефлексивность.

Имеем A = E 1AE, тогда A A, роль матрицы Q играет единичная матрица.

2)Симметричность.

Пусть B A. Это означает, что (9 Q; jQj 6= 0) B = Q 1AQ )

) QBQ 1 = Q(Q 1AQ)Q 1 ) QBQ 1 = A ) A = (Q 1) 1BQ 1 )

)

A

B, роль матрицы Q играет Q 1.

3) Транзитивность.

A, тогда (

R;

R

= 0) C = R 1BR, è

Пусть C

B; B

j

9

j 6

(

Q;

j

Q

= 0)

B = Q 1AQ. Следовательно C = R 1(Q 1AQ)R =

9

j 6

= (QR) 1A(QR)

)

C

A, роль матрицы Q играет QR.

ТЕОРЕМА 8.2.3. Матрицы одного и того же линейного оператора f в различных базисах подобны. При этом матрица Afjue

матрицы Afje трансформированием при помощи матрицы перехода от базиса e к базису ue, то есть

Afjue = Q 1AfjeQ;

где Q матрица перехода от e к ue.

Доказательство. Пусть dim V = n; e и u два базиса пространства
V , f	2	L(V ), A	fje è	A	fju матрицы	e	f относительно e и u
					e		e

34

Глава 8. Линейные операторы в линейном пространстве

соответственно. Тогда

f(e) = AfTjee; f(u) = AfTjuu:

u = Q e

e

e

e

T . Ñ

Пусть, наконец, Q матрица перехода от e к u, то есть

одной стороны, f(u) = f(QT e) = QT f(e) = Q e(Afjee) = (eQT Afje)e =

= (AfjeQ)

e

T T

T

e. Ñ

f(u) = Afjuu = Afju(Q e) =

T

другой стороны,

T

T

T

= ( fju

)

e

(Afje e)

= (

fju)

)

= (

fju)

AT

QT

e

QA

e

T e. Таким образом,

eQ T

QAe

e

T

)

QA

e

= A

fje

Q

)

A

= Q 1A

fje

Q.

fju

fju

e

e

Следствие 8.2.3.1. Если Af матрица линейного оператора f относительно базиса e и B Af , то матрицу B можно рассматривать как матрицу линейного оператора f относительно некоторого другого базиса.

Доказательство. Действительно, так как B Af , òî (9 Q; jQj 6=

6= 0) B = Q 1Af Q. Рассмотрим новый базис ue = QT e. Так как Q не особенная матрица, то ue будет новым базисом. По теореме 8.2.3 имеем Afjue = Q 1Af Q = B.

8.3Ранг и дефект линейного оператора

	Пусть V и V 0 два линейных пространства над полем k, пусть f		2
	2	L(V; V 0).

Определение 8.3.1. Образом линейного оператора f (Im f) называется множество образов всех элементов пространства V . Ядром линейного оператора f (Ker f) называется множество тех векторов пространства V , которые при отображении f переводятся в ноль пространства V 0.

Из этого определения видно, что

Im f = ff(a)j a 2 V g ; Ker f = fa 2 V j f(a) = 0g :

8.3. Ранг и дефект линейного оператора		35
Предложение 8.3.1. Ядро и образ линейного оператора f	2	L(V; V 0)
являются линейными подпространствами пространств V и V 0 ñîîò-

ветственно.

Доказательство. Действительно, (8 ; 2 k; a; b 2 Ker f) имеем

f( a + b) = f(a) + f(b) = 0 + 0 = 0 ) a + b 2 Ker f:

Это означает, что Ker f является устойчивым подмножеством пространства V , следовательно, является его линейным подпространством.

Пусть a0; b0 2 Imf. Это означает, что (9 a; b 2 V ) f(a) = a0; f(b) = b0. Тогда (8 ; 2 k; a0; b0 2 Im f) имеем

a0 + b0 = f(a) + f(b) = f( a + b) 2 Im f:

Отсюда Im f является устойчивым подмножеством пространства V 0, следовательно, является его линейным подпространством.

Предложение 8.3.2. Если V конечномерное линейное пространство и f 2 L(V; V 0), то ядро и образ линейного оператора f являются конечномерными линейными пространствами.

Доказательство. В самом деле, так как V конечномерное линейное пространство, то и любое его подпространство, в частности Ker f, так же является конечномерным.

Перейдем к образу Im f. Пусть e1; e2; : : : ; en базис пространства V .

Тогда V =	i=1 iei		i 2 k . Тогда
	n
	P			n
Im f = f(V ) = (				if(ei)) = L(ff(e1); : : : ; f(en)g):
				Xi
				=1

Но линейная оболочка, порожденная конечным числом векторов, является конечномерной и при этом

dim L(ff(e1); : : : ; f(en)g) = rang ff(e1); : : : ; f(en)g :

36 Глава 8. Линейные операторы в линейном пространстве

Следовательно, Im f является конечномерным линейным пространством.

Определение 8.3.2. Если V конечномерное линейное пространство

è f 2 L(V; V 0), то рангом линейного оператора f r(f) называется раз-

мерность его образа, а дефектом линейного оператора f d(f) называется размерность его ядра.

Из этого определения видно, что r(f) = dim Im f, а d(f) = = dim Ker f.

Следствие. r(f) = r ff(e1); : : : ; f(en)g :

Следствие. Если f 2 L(V ), то ранг линейного оператора f равен рангу матрицы этого линейного оператора относительно любого базиса, то есть r(f) = r(Af ).

Доказательство. Действительно, по предыдущему следствию имеем r(f) = r ff(e1); : : : ; f(en)g. Рассмотрим стандартный изоморфизм : V ! kn относительно базиса e. Тогда (8 a 2 V ) (a) = aje. Ïðè èçî- морфизме ранг системы векторов не изменяется, поэтому

r ff(e1); : : : ; f(en)g = r f(e1)je; : : : ; f(en)je = r Afje :

ТЕОРЕМА 8.3.1 (о ранге и дефекте линейного оператора) . Если V конечномерное линейное пространство, dim V = n, f 2 L(V; V 0), то сумма ранга и дефекта линейного оператора f равна размерности пространства V , то есть r(f) + d(f) = n.

Доказательство. Введем обозначение d = d(f) = dim Ker f. Пусть e1; e2; : : : ; ed базис Ker f. Дополним этот базис до базиса пространства V , получим e1; e2; : : : ; ed; ed+1; : : : ; en базис V . По следствию к предложению 8.3.2 имеем

r(f) = r ff(e1); f(e2); : : : ; f(ed); f(ed+1); : : : ; f(en)g = r ff(ed+1); : : : ; f(en)g :

8.4. Обратимость линейного оператора

37

Покажем, что векторы f(ed+1); : : : ; f(en) являются линейно независимы-

ми. Пусть

d+1f(ed+1) + : : : + nf(en) = 0;

f( d+1ed+1 + : : : + nen) = 0 ) d+1ed+1 + : : : + nen 2 Ker f:

Разложим этот элемент по базису Ker f. Имеем

d+1ed+1 + : : : + nen = 1e1 + : : : + ded;

1e1 : : : ded + d+1ed+1 + : : : + nen = 0:

Òàê êàê e1; e2; : : : ; en базис пространства V , то 1 = : : : = d = d+1 = = : : : = n = 0. Таким образом, векторы f(ed+1); : : : ; f(en) являются линейно независимыми. Тогда r(f) = r ff(ed+1); : : : ; f(en)g = n d )

) r(f) + d(f) = n d + d = n.

8.4Обратимость линейного оператора

Пусть V линейное пространство над полем k. Рассмотрим алгебру

L(V ). В этой алгебре есть единица, роль единицы выполняет тождественный оператор 1V . Напомним, что (8 a 2 V ) 1V (a) = a.

Определение 8.4.1. Линейный оператор f 2 L(V ) называется обра-

тимым, если он обратим как элемент мультипликативной полугруппы кольца L(V ), то есть (9 f 1 2 L(V )) ff 1 = f 1f = 1V .

ТЕОРЕМА 8.4.1 (критерий обратимости линейного оператора) . Для того, чтобы линейный оператор f 2 L(V ) был обратимым необходимо и достаточно, чтобы он как отображение был биективным. Другими словами, f обратим тогда и только тогда, когда f изоморфизм из V в V .

Доказательство. 1) Необходимость.

38	Глава 8. Линейные операторы в линейном пространстве

Пусть f 2 L(V ) является обратимым. По определению 8.4.1 (9 f 1 2 L(V )) ff 1 = f 1f = 1V . Надо показать, что f является биекцией. Пусть f(a) = f(b). Применим к этому равенству отображение f 1, ïîëó- ÷èì f 1(f(a)) = f 1(f(b)) ) (f 1f)(a) = (f 1f)(b) ) 1V (a) = 1V (b) )

) a = b.

Пусть b 2 V . Надо показать, что (9 a 2 V ) f(a) = b. Построим по данному вектору b вектор a = f 1(b). Тогда f(a) = f(f 1(b)) =

= (ff 1)(b) = 1V (b) = b, то есть f является биекцией. 2) Достаточность.

Пусть a 2 L(V ) и f является биекцией. Тогда (9 f 1 : V ! V )

ff 1 = ff 1 = 1V . Это отображение f 1 также является биекцией. Надо показать, что f 1 2 L(V ), òî åñòü f 1 удовлетворяет условиям линейности. Пусть a0; b0 2 V 0, тогда (9 a; b 2 V ) f(a) = a0; f(b) = b0. Отсюда

f 1(a0) = a; f 1(b0) = b. Возьмем произвольные ; 2 k, сосчитаем

f( a + b) = f(a) + f(b) = a0 + b0 )

) f 1( a0 + b0) = a + b = f 1(a0) + f 1(b0):

Отображение f 1 удовлетворяет условиям линейности, следовательно

f 1 2 L(V ).

8.5Характеристический многочлен матрицы и линейного оператора

Пусть k основное поле и k[ ] кольцо многочленов от неизвестного .

Определение 8.5.1. -матрицей (многочленной матрицей) над полем k называется матрица, элементами которой являются элементы кольца k[ ], то есть многочлены от с коэффициентами из поля k.

-матрицы можно складывать, умножать, умножать на скаляры

8.5. Характеристический многочлен матрицы и линейного оператора

39

по тем же правилам, что и скалярные матрицы. Пусть теперь A =

= ( ij); ij 2 k; i; j = 1; n. Такие матрицы будем называть скалярными.

Определение 8.5.2. Характеристической матрицей для квадратной скалярной матрицы A называется -матрица вида E A, то есть

0 11		12		: : : 1n
E A = B	: : :21	: : : 22		:: :: ::	: : 2:n
B
B
B	n1		n2	: : :			nn
B
@

1

C

C

C:

C

C

A

Определение 8.5.3. Характеристическим многочленом для скалярной матрицы A называется определитель, порожденный характеристической

матрицей для матрицы A.

Характеристический многочлен матрицы A обозначается через

A( ) = j E Aj.

Определение 8.5.4. Следом квадратной скалярной матрицы A (T r(A))

называется сумма элементов ее главной диагонали. Нормой матрицы A

(N(A)) называется ее определитель.

Это определение означает, что

T r(A) = 11 + 22 + : : : + nn; N(A) = jAj:

ßñíî, ÷òî T r( A + B) = T r(A) + T r(B); N(AB) = N(A) N(B).

ТЕОРЕМА 8.5.1 (о строении характеристического многочлена) . Характеристический многочлен для скалярной матрицы A является нор-

мированным многочленом от степени n, имеющим следующий вид:

A( ) = n T r(A) n 1 + : : : + ( 1)nN(A).

40

Глава 8.

Линейные операторы в линейном пространстве

Доказательство. Имеем,

11

12

: : :

1n

A( ) =

21

22

: : :

2n

=

: : : : : :

: : : : : :

: : : : : :

: : : : : :

n1

n2

: : :

nn

( 11)( 22) : : : ( nn) + еще (n! 1) слагаемых:

Â	|		(n!		{z	1)		}
					( )
	оставшихся						слагаемых отсутствует по крайней мере два

элемента главной диагонали. Поэтому оставшиеся слагаемые могут дать степень у не выше, чем n 2. Слагаемые с n è ñ n 1 получаются за

счет произведения ( ). В произведение ( ) n входит с коэффициентом 1. Коэффициент при n 1 равен 11 22 : : : nn = T r(A). Получаем

A( ) = n T r(A) n 1 + n 2 n 2 + : : : + 1 + 0, ãäå 0 = A(0) = = j0 E Aj = j Aj = ( 1)njAj = ( 1)nN(A).

Определение 8.5.5. Характеристическими корнями (числами) матрицы A называются все n корней ее характеристического многочлена, ле-

жащие, вообще говоря, в алгебраическом замыкании основного поля k.

Замечание 8.5.1. В самом основном поле k может вообще не быть харак-

теристических корней, или их может быть меньше, чем n.

Пример: k = R,

										1	2
							A =			1	1 !;
	A( ) =						11		2		= 2 1 + 2 = 2 + 1:
								+ 1
A( ) = 0			2			= 0			1		i; 2	= i	. Видно, что	1; 2	=
	)			+ 1				)		=
															2

2= R; 1; 2 2 R = C. В дальнейшем характеристические корни матрицы

A будем обозначать 1; 2; : : : ; n.