алгебра 2 семестр

10.6. Ортогональные (унитарные) линейные операторы

81

Так как e~ является ортонормированным базисом, то

(ui; uj) = huije~; ujje~i = ij:

Это равенство указывает на то, что векторы u1; u2; : : : ; un образуют ор- тонормированный базис евклидова (унитарного) пространства V .

10.6Ортогональные (унитарные) линейные операторы

Пусть V конечномерное евклидово (унитарное) пространство.

Определение 10.6.1. Линейный оператор f конечномерного евклидо-

ва (унитарного) пространства называется ортогональным (унитарным) если он взаимнообратен со своим сопряженным оператором f , òî åñòü

f 1 = f .

Определение 10.6.1 означает, что f ортогонален тогда и только тогда, когда f f = ff = 1V .

Следствие. Ортогональные (унитарные) линейные операторы являются нормальными.

Доказательство. Так как f 1 = f ; òî f f = ff = 1V , следовательно f является нормальным.

Следствие (критерий). Для того, чтобы линейный оператор f конеч- номерного евклидова (унитарного) пространства V был ортогональным (унитарным) необходимо и достаточно, чтобы он относительно ортонормированного базиса пространства V имел ортогональную (унитарную) матрицу.

Доказательство. Рассмотрим : L(V ) ! M(n; k) относительно ортонормированного базиса e~. Известно, что если (f) = Af , òî (f ) = Af .

82	Глава 10. Линейные операторы в евклидовом (унитарном) пространстве

Пусть f ортогональный (унитарный) линейный оператор, тогда

f f = ff = 1V , (f f) = (ff ) = (1V ) ,

, (f ) (f) = (f) (f ) = E ) Af Af = Af Af = E:

Следовательно Af ортогональная (унитарная) матрица.

Следствие. Ортогональные (унитарные) операторы образуют группу по умножению.

Доказательство. Рассмотрим группу H ортогональных (унитарных)

матриц, рассмотрим

1 : M(n; k) ! L(V ):

При этом изоморфизме ортогональные (унитарные) матрицы переходят в ортогональные (унитарные) линейные операторы, а поэтому группа H изоморфно отобразится на группу ортогональных (унитарных) линейных операторов.

ТЕОРЕМА 10.6.1 (об изометричности ортогонального (унитарного) оператора). Справедливы следующие два утверждения.

1. Линейный оператор f конечномерного евклидова (унитарного) пространства ортогонален (унитарен) тогда и только тогда, когда он сохраняет скалярное умножение, то есть (8 x; y 2

V ) (f(x); f(y)) = (x; y).

2.Линейный оператор f конечномерного евклидова (унитарного) пространства ортогонален (унитарен) тогда и только тогда, когда он изометричен, то есть сохраняет длину вектора jjf(x)jj = jjxjj.

Доказательство. 1) Пусть f сохраняет скалярное умножение, тогда

(8 x; y 2 V ) (f(x); f(y)) = (x; y) , (x; f (f(y))) = (x; y) ,

, (8 y 2 V ) f (f(y)) = y , (f f)(y) = y ,

10.6. Ортогональные (унитарные) линейные операторы	83
, f f = 1V , f 1 = f :

Таким образом f ортогональный (унитарный) линейный оператор. 2) Покажем, что утверждения эквивалентны.

1) ) 2)

Пусть (8 x; y 2 V ) (f(x); f(y)) = (x; y). Возьмем x = y, получим

(8 x 2 V ) (f(x); f(x)) = (x; x);

jjf(x)jj2 = jjxjj2 ) jjf(x)jj = jjxjj:

2) ) 1)

Пусть (8 x 2 V ) jjf(x)jj = jjxjj. Тогда jjf(x)jj2 = jjxjj2, следователь- íî (f(x); f(x)) = (x; x).

Пусть x; y произвольные векторы из V , и 2 k, подсчитаем

(f(x + y); f(x + y)): С одной стороны

(f(x+ y); f(x+ y)) = (x+ y; x+ y) = (x; x)+ (y; x)+ (x; y)+ (y; y) =

=jjxjj2 + (x; y) + (x; y) + j j2jjyjj2 = jjxjj2 + 2Re( (x; y)) + j j2jjyjj2:

Ñдругой стороны

(f(x + y); f(x + y)) = (f(x) + f(y); f(x) + f(y)) =

= jjf(x)jj2 + 2Re( (f(x); f(y)) + j j2jjf(y)jj2 = = jjxjj2 + 2Re( (f(x); f(y))) + j j2jjyjj2:

Сравнивая результат, видим, что 2Re( (x; y)) = 2Re( (f(x); f(y))). По-

ложим = 1, то есть

Re(f(x); f(y)) = Re(x; y):	( )
Положим = i, предварительно заметим, что если z = a + bi, то
Re( iz) = Re( ia + b) = b = Im(z);
Re( i(x; y)) = Re( i(f(x); f(y));

84	Глава 10. Линейные операторы в евклидовом (унитарном) пространстве
	Im(x; y) = Im(f(x); f(y));	( )

Из ( ) и ( ) следует, что (f(x); f(y)) = (x; y).

ТЕОРЕМА 10.6.2 (критерий ортогональности (унитарности) линейного оператора). Линейный оператор f конечномерного евклидова (унитарного) пространства ортогонален (унитарен) тогда и только тогда, когда он ортонормированный базис пространства V переводит в ортонормированный базис.

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть e~ ортонормированный ба-

зис пространства V и f ортогональный (унитарный) линейный опе-

ратор из L(V ). Так как e~ ортонормированный базис, то по второ-

му следствию к определению 10.6.1, матрица Afje~ будет ортогональ-

ной (унитарной). По определению матрицы линейного оператора, имеем

f(~e) = AT e~. Обозначим f(~e) = u~, имеем u~ = AT e~, тогда по теоре-
fje~	fje~

ме 10.5.3, u~ является ортонормированным базисом пространства V .

2) Достаточность. Пусть e~ ортонормированный базис пространства

V и f 2 L(V ) переводит этот базис в ортонормированный базис f(~e) = u~,

тогда f(~e) = AT e~, òî åñòü u~ = AT e~. Это равенство указывает на то,
fje~	fje~
что матрица AT		e~ к u~, тогда из первого
fje~ является матрицей перехода от

утверждения теоремы 10.5.3 следует, что Afje~ является ортогональной (унитарной) матрицей, а по второму следствию к определению 10.6.1, f является ортогональным (унитарным) линейным оператором.

Предложение 10.6.1. Все характеристические корни ортогонального (унитарного) линейного оператора или матрицы по модулю равны 1.

Доказательство. Предложение достаточно установить для унитарных линейных операторов, тогда оно будет справедливо и для унитарных матриц, а, следовательно, будет справедливо для ортогональных матриц, а отсюда следует справедливость для ортогональных операторов. Итак, пусть f 2 V унитарный линейный оператор и любой его

10.7. Самосопряженные матрицы и линейные операторы

85

характеристический корень. Так как основное поле k = C, то все характеристические корни являются собственными значениями оператора f, поэтому является собственным значением оператора f. Это означает, что существует такой вектор a 6= 0 из V , что f(a) = a. Подсчитаем

(a; a) = (f(a); f(a)) = ( a; a) = (a; a) = j j2(a; a);

j j2(a; a) = (a; a):

Так как a 6= 0, то получим, что j j2 = 1, òî åñòü j j = 1.

10.7Самосопряженные матрицы и линейные операторы

Определение 10.7.1. Квадратная числовая матрица A называется са-

мосопряженной, если она совпадает со своей сопряженно транспонированной матрицей A , òî åñòü A = A .

Определение 10.7.2. Действительная квадратная матрица называется симметрической, если A = AT .

Определение 10.7.3. Комплексная квадратная матрица называется эрмитовой, если A = AT .

Ясно, что симметрическую матрицу можно рассматривать как действительную эрмитову матрицу.

Определение 10.7.4. Линейный оператор f конечномерного евклидова

(унитарного) пространства называется самосопряженным, если он совпадает со своим сопряженным оператором f .

Определение 10.7.5. Линейный оператор f конечномерного евклидова (унитарного) пространства называется самосопряженным, если

(8 x; y 2 V ) (f(x); y) = (x; f(y)):

86	Глава 10. Линейные операторы в евклидовом (унитарном) пространстве

Замечание 10.7.1. В случае евклидова пространства самосопряженный оператор часто называют симметрическим, а в случае унитарного пространства эрмитовым.

Следствие. Симметрические (эрмитовы) матрицы и линейные операторы являются нормальными.

Доказательство. Если A симметрическая (эрмитова), то A = A, тогда A A = AA , следовательно, A нормальная матрица.

Следствие (Критерий). Для того, чтобы линейный оператор f конечномерного евклидова (унитарного) пространства V был симметрическим (эрмитовым) необходимо и достаточно, чтобы он относительно ортонормированного базиса e~ имел симметрическую (эрмитову) матрицу.

Доказательство. Рассмотрим изоморфизм : L(V ) ! M(n; k) отно-

сительно ортонормированного базиса e~. Известно, что если (f) = Af , òî (f ) = Af . Пусть f симметрический (эрмитов) оператор, тогда f = f , значит (f) = (f ), òî åñòü Af = Af . Следовательно Af ÿâëÿ- ется симметрической (эрмитовой) матрицей.

Рассмотрим вопрос о характеристических корнях самосопряженным матриц и линейных операторов.

Лемма 10.7.1. Если A эрмитова матрица, X произвольный столбец комплексного арифметического пространства, то hAX; Xi является действительным числом.

Доказательство.

hAX; Xi = hX; A Xi = hX; AXi = hAX; Xi;

получили равенство типа z = z. Это означает, что z действительное

число.

10.7. Самосопряженные матрицы и линейные операторы

87

ТЕОРЕМА 10.7.1. Все характеристические корни симметрической (эрмитовой) матрицы и линейного оператора являются действительными числами.

Доказательство. Утверждение достаточно доказать для эрмитовых матриц, тогда оно будет справедливо для симметрических матриц, а следовательно оно будет справедливо для симметрических и эрмитовых линейных операторов. Пусть A эрмитова матрица. Tак как k = C, то любой характеристический корень матрицы A является ее собственным значением, а поэтому существует X 6= 0; X 2 Cn такой, что AX = X. Рассмотрим

hAX; Xi = h X; Xi = hX; Xi:

Заметим, что hX; Xi > 0, то есть

= hAX; Xi 2 R: hX; Xi

ТЕОРЕМА 10.7.2 (о приведении самосопряженной матрицы к диагональному виду). Всякую самосопряженную матрицу A можно с помощью ортогональной (унитарной) матрицы трансформировать к диагональному виду, при этом диагональными элементами необходимо будут являться характеристические корни матрицы A.

Доказательство. Пусть A является самосопряженной матрицей n-го порядка. Рассмотрим n-мерное евклидово (унитарное) пространство V и в нем ортонормированный базис e~. Построим линейный оператор f 2 L(V )

так, чтобы он относительно базиса e~ имел своей матрицей данную матри-

öó A, òî åñòü Afje~ = A. Такой оператор f обязательной найдется в силу

изоморфности L(V ) M(n; k). В теореме 8.2.2 мы строили такой ли-

=

нейный оператор. Так как матрица A является самосопряженной, а e~

стоят характеристические

88	Глава 10. Линейные операторы в евклидовом (унитарном) пространстве

ортонормированный базис, то по второму следствию, линейный оператор f будет самосопряженным, а, следовательно, нормальным. По теоре-

ме 10.7.1 все характеристические корни 1; 2; : : : ; n линейного операто- ра f будут действительными числами, поэтому (8 i = 1; n) i 2 k, при k = R или k = C. По теореме 10.4.2, в пространстве V существует ортонормированный диагонализирующий базис u~, состоящий из собственных векторов оператора f, принадлежащих скалярам 1; 2; : : : ; n, òî åñòü (8 i = 1; n) f(ui) = iui. Относительно базиса u~ линейный оператор f будет иметь матрицу

Afju~	0	1	0	: : : 0	1
	= B	:0: : : :2: :: :: :: :0: :			C	:
	B				C
	B				C
	B				C
	B				C
	@	0	0	: : : n	A

Известно, что Afju~ = Q 1Afje~Q, где Q матрица перехода от e~ к u~. Так как базисы e~ и u~ ортонормированные, то по теореме 10.5.3 матрица Q

является ортогональной (унитарной). Мы видим, что Afje~ = A с помощью ортогональной унитарной матрицы Q приводится к диагональному виду. Видно, что на главной диагонали Afju~

корни матрицы Afje~ = A.

Глава 11

Квадратичные формы

11.1Многочлены от n неизвестных

Пусть k основное поле, x1; x2; : : : ; xn символы неизвестных.

Определение 11.1.1. Одночленом он неизвестных вается выражение вида xi11 xi22 : : : xinn, ãäå i1; i2; : : : ; in тельные числа.

В дальнейшем, ради краткости, обозначим набор

xi = xi11 xi22 : : : xinn.

x1; x2; : : : ; xn íàçû-целые неотрица-

(i1; i2; : : : ; in) = i, à

Определение 11.1.2. Произведение одночленов xi è xj назовем одно- ÷ëåí xi+j.

Определение 11.1.3. Многочленом от неизвестных над полем k называется всякая конечная линейная комбинация одночленов с коэффициентами из поля k.

Определение 11.1.3 означает, что

	X
F (x1; x2; : : : ; xn) =	ixi;
	i2Z+n

ãäå i 2 k, и почти все i равны нулю. ixi члены многочлена F . Если все i равны нулю, то F называется нулевым, F = 0.

89

90	Глава 11. Квадратичные формы

Множество всех многочленов от неизвестных x1; x2; : : : ; xn над полем k обозначается k[x1; x2; : : : ; xn]. Это множество становится кольцом, и даже областью целостности, если в нем ввести операции сложения и умножения многочленов. При сложении многочленов, складываются коэффициенты при одинаковых степенях xi, умножение определяется по дистрибутивности, с помощью определения 11.1.2 умножения одночленов и последующего приведения подобных членов. Это означает, что

X(i)		ixi + X(i)		ixi = X(i)		( i + i)xi;
X(i)	ixi X(j)		jxj = X(i)		X(j)		i jxi+j:
Определение 11.1.4. Степенью одночлена xi1 xi2								: : : xin	называется сум-
							1 2	n
ìà i1 + i2 + : : : + in. Степенью ненулевого многочлена F									называется мак-
симум из степеней его членов.

Само поле k является подкольцом кольца k[x1; x2; : : : ; xn]. 0k поля k рассматривается как нулевой многочлен, а любой элемент a 2 k ðàñ- сматривается как многочлен нулевой степени, а именно a = ax01x02 : : : x0n.

Определение 11.1.5. Однородным многочленом (или формой) сте- пени от неизвестных x1; x2; : : : ; xn называется ненулевой многочлен

F (x1; x2; : : : ; xn), все члены которого имеют степень , то есть

i1+i2 X n	ixi:
F (x1; x2; : : : ; xn) =
+:::+i	=

В частности, линейная форма, или форма первой степени, имеет вид

F = 1x1 + 2x2 + : : : nxn, ãäå i 2 k.

11.2Линейные преобразования неизвестных

Пусть k основное поле, k[x1; x2; : : : ; xn] кольцо многочленов и F (x1; x2; : : : ; xn) многочлен из k[x1; x2; : : : ; xn]. Рассмотрим n линей-