алгебра 2 семестр

9.3. Ортогонализация

61

Доказательство. Пусть V евклидово (унитарное) пространство,

e1; e2; : : : ; en его базис. a; b 2 V , тогда

n

n

XX

	a = iei;				b = iei;
		i=1			! =	j=1
(a; b) =	n	iei;	n	jej		n n	i j (ei; ej) :
	X		Xj			XX
	i=1		=1			i=1 j=1

1) Необходимость. Пусть базис e1; e2; : : : ; en является ортонормирован- ным, тогда (ei; ej) = ij è

n n			n
XX			Xi
(a; b) =	i j ij = i i =
i=1 j=1	=1

01

1

= ( 1	; 2	; : : : ; n) B			C	= aT je~
			: :2:
		B			C
		B			C
		B	n		C
		B			C
		@			A

j j j b e~ = a e~; b e~ :

j j . Подсчитаем 2) Достаточность. Пусть (a; b) = a e~; b e~

0

1

0

(ei; ej) = heije~; ejje~i =

0

1

0

0

1

0

B

:0: :

C

B

:0: :

C

B

:0: :

C

B

C

B

C

B

C

B

C

B

C

B

C

=

B

1

C

(i);

B

1

C

(j) = (0; : : : ; 0; 1; 0; : : : ; 0)

B

1

C

=

*B

C

B

C

+

B

C

B

C

B

C

B

C

B

0

C

B

0

C

B

0

C

B

C

B

C

B

C

B

: : :

C

B

: : :

C

B

: : :

C

B

C

B

C

B

C

B

C

B

C

B

C

B

0

C

B

0

C

B

0

C

B

C

B

C

B

C

@

A

@

A

( 0; i = j:

@

A

=

= ij:

1; i = j;

6

Следовательно, базис e1; e2; : : : ; en является ортонормированным.

62	Глава 9. Евклидовы (унитарные) пространства

Предложение 9.3.2. Любое конечномерное действительное (комплексное) пространство можно снабдить скалярным умножением, превратив его в конечномерное евклидово (унитарное) пространство, причем так, что заданный базис пространства становится ортонормированным.

Доказательство. Пусть V n-мерное действительное (комплексное)

пространство и a1; a2; : : : ; an его базис. Определим в этом пространстве

V становится Евклидовым

(a; b) =

скалярное умножение, положив (8

a; b 2 V )

aje~; bje~ . После

этого пространство

(унитарным). Покажем,

что базис a1; a2; : : : ; an становится ортонормированным.

0

0

1

0

0

1

B

:0: :

C B

:0: :

C

B

C

B

C

B

C

B

C

(ai; aj) =

h

ai

e~; aj e~ =

B

1

C

(i); B

1

C

(j) = ij:

j

j i

*B

C

B

C

+

B

C

B

C

B

0

C

B

0

C

B

C

B

C

B

: : :

C

B

: : :

C

B

C

B

C

B

C

B

C

B

0

C

B

0

C

B

C

B

C

@

A

@

A

9.4Изоморфизм евклидовых (унитарных) пространств

Определение 9.4.1. Отображение f : V ! V 0 двух евклидовых (уни-

тарных) пространств, называется изоморфизмом, если оно удовлетворяет следующим двум требованиям

1.f является изоморфизмом линейных пространств V ! V 0,

2.f сохраняет скалярное умножение, то есть

(8 a; b 2 V ) (f(a); f(b)) = (a; b) :

9.4. Изоморфизм евклидовых (унитарных) пространств

63

Определение 9.4.2. Два евклидовых (унитарных) пространства V; V 0

называются изоморфными (V V 0), если существует хотя бы один изо-

=

морфизм f : V ! V 0.

Следствие 9.4.0.1. При изоморфизме евклидовых (унитарных) пространств ортогональная (ортонормированная) система векторов переходит в ортогональную (ортонормированную) систему векторов. При изоморфизме сохраняется длина вектора, то есть jjf(a)jj = jjajj.

Следствие 9.4.0.2. Отношение изоморфизма евклидовых (унитарных) пространств является отношением эквивалентности на множестве евклидовых (унитарных) пространств.

ТЕОРЕМА 9.4.1. Справедливы следующие два утверждения:

1.Всякое n-мерное евклидово (унитарное) пространство изоморфно n-мерному действительному (комплексному) арифметическому пространству, при этом изоморфизм задается сопоставлением вектору его координатного столбца относительно ортонормированного базиса;

2.Два конечномерных евклидовых (унитарных) пространства изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности совпадают.

Доказательство. 1) Пусть V евклидово (унитарное) пространство, e1; e2; : : : ; en его ортонормированный базис. Рассмотрим стандартное отображение f : V ! kn, (k = R èëè C), (8 a 2 V ) f(a) = aje. Ìû óæå видели в теореме 7.3.2, что это отображение f является изоморфизмом линейных пространств V и kn.

Далее, так как e ортонормированный базис, то скалярное произве-

скалярное				f : V	k
дение (a; b) =		aje~; bje~		= hf(a); f(b)i, то есть отображение f сохраняет

умножение. Итак, ! n является изоморфизмом евклидовых (унитарных) пространств.

64 Глава 9. Евклидовы (унитарные) пространства

2) Если евклидовы (унитарные) пространства V и V 0 имеют одинаковую

размерность n, то согласно утверждению 1 оба они изоморфны арифме- тическому пространству kn, следовательно, изоморфны между собой.

Обратно, если V V 0, то они изоморфны как линейные пространства,

=

поэтому они будут иметь одинаковую размерность (следствие 7.3.1.1 к теореме 7.3.1).

Глава 10

Линейные операторы в евклидовом (унитарном) пространстве

10.1Сопряженное пространство

Пусть V линейное пространство над основным полем k. Само поле k

можно рассматривать как линейное пространство над k, так как все аксиомы линейного пространства в этом случае выполняются. В этом случае dim k = 1. Тогда имеет смысл рассматривать пространство L (V; k) пространство всех линейных операторов из V в k.

Определение 10.1.1. Линейный оператор из V в k называют линейной формой (линейным функционалом) на пространстве V над полем k.

Определение 10.1.2. Линейной формой на пространстве V над полем k называется всякое отображение ' : V ! k, удовлетворяющее условиям линейности: (8 a; b 2 V; 2 k)

1.'(a + b) = '(a) + '(b),

2.'( a) = '(a).

Замечание 10.1.1. Так как понятие линейной формы есть частный слу- чай понятия линейного оператора, то есть V 0 = k, то все понятия и

факты, относящиеся к линейным операторам, будут справедливы и для линейных форм.

66 Глава 10. Линейные операторы в евклидовом (унитарном) пространстве

Определение 10.1.3. Линейное пространство L (V; k) всех линейных форм на пространстве V над полем k называется сопряженным (двойственным, дуальным) к пространству V и обозначается V .

Пусть V n-мерное линейное пространство над полем k и

a1; a2; : : : ; an его базис. Тогда любой вектор a 2 V можно представить

n

X

a = iai:

i=1

Рассмотрим n отображений '1; : : : ; 'n пространства V в k, определенных следующим образом

(8 a 2 V ) ' (a) = i; 1 6 i 6 n:

Легко показать, что эти n отображений являются линейными формами, òî åñòü '1; : : : ; 'n 2 V . Эти линейные формы называются координатными формами относительно базиса a1; a2; : : : ; an.

ТЕОРЕМА 10.1.1. Если a1; a2; : : : ; an базис линейного пространства V , то координатные формы '1; : : : ; 'n относительно этого базиса являются базисом сопряженного пространства V .

Доказательство. Пусть ' это любая линейная форма из V . Подсчи- òàåì ' (ai) = i (1 6 i 6 n). Составим линейную форму

n

X

=i'i

i=1

линейная форма пространства V . Покажем, что построенная форма

='. Действительно,

!

n n

XX

(8 1 6 j 6 n) (aj) =	i'i (aj) = i ij = j = '(aj):
i=1	i=1

Получили, что две линейные формы на базисах совпадают, следовательно (по следствию 8.2.1.1 к теореме 8.2.1) ' = , то есть любая линейная форма из V линейно выражается через '1; : : : ; 'n.

10.2. Линейные формы в евклидовом (унитарном) пространстве

67

Остается показать, что формы '1; : : : ; 'n линейно независимы. Пусть

n

X

i'i = 0:

i=1

Подействуем формой в левой части равенства на базисные вектора, получим

(8 1 6 j 6 n)	n	i'i!(aj) = 0:
	Xi
Следовательно, (8 1 6 j 6 n)	=1
	j = 0. Таким образом '1; : : : ; 'n
линейно независимы.

Определение 10.1.4. Если a1; a2; : : : ; an базис линейного пространства V , то базис '1; : : : ; 'n пространства V называется базисом сопряжен- ным для базиса a1; a2; : : : ; an и иногда обозначается a1; : : : ; an.

ßñíî, ÷òî ai (aj) = ij.

Следствие. Если V конечномерное линейное пространство, то и V также является конечномерным и при этом dim V = dim V .

10.2Линейные формы в евклидовом (унитарном) пространстве

Пусть V евклидово (унитарное) пространство и a фиксированный вектор из V . Рассмотрим функцию 'a на V , определенную следующим образом

(8 x 2 V ) 'a(x) = (x; a):

ТЕОРЕМА 10.2.1. Справедливы следующие утверждения:

1. (8 a 2 V ) 'a 2 V ,

2.Отображение V ! V , сопоставляющее вектору a функцию 'a является инъекцией.

68Глава 10. Линейные операторы в евклидовом (унитарном) пространстве

3.Если V конечномерное евклидово (унитарное) пространство, то отображение V ! V , указанное в утверждении 2, является биекцией.

Доказательство. 1) Установим линейность отображения 'a.

(8 ; 2 k) 'a( x + y) = ( x + y; a) =

=(x; a) + (y; a) = 'a(x) + 'a(y) ) 'a 2 V :

2)Надо показать, что если 'a = 'b, то a = b. Пусть 'a = 'b, ýòî

означает, что (8 x 2 V ) 'a(x) = 'b(x). Òî åñòü (8 x 2 V ) (x; a) =

(x; b). Следовательно (8 x 2 V ) (x; a b) = 0. Возьмем x = a b, получим (a b; a b) = 0 , a b = 0 , a = b.

3) Для доказательства утверждения 3 достаточно установить, что отоб- ражение V ! V является сюръекцией, то есть

(8 ' 2 V ) (9 a 2 V ) 'a = ':

Пусть ' любая форма из V , e1; e2; : : : ; en ортонормированный

		n
		iP
базис в V . Пусть i = '(ei), a = iei. Покажем, что 'a = '.
=1				iei! =
(8 1 6 j 6 n) 'a(ej) = (ej; a) = ej;			n
			Xi
			=1

n

X

=(ej; iei) = j = '(ej) ) 'a = ':

i=1

Замечание 10.2.1. В дальнейшем часто будет использоваться тот факт, что из того, что (8 x 2 V ) (x; a) = (x; b) следует, что a = b.

Следствие. Если V конечномерное евклидово (унитарное) пространство, то для всякой линейной формы ' на V над полем k существует один и только один вектор a такой, что 'a = '.

10.3. Сопряженный оператор

69

Следствие указывает на то, что в конечномерном евклидовом (унитарном) пространстве линейные формы исчерпываются скалярным умножением, никаких других линейных форм, кроме скалярных умножений, не существует.

10.3Сопряженный оператор

Пусть V конечномерное евклидово (унитарное) пространство.

ТЕОРЕМА 10.3.1 (о существовании и единственности сопряженного оператора). Если V конечномерное евклидово (унитарное) пространство, то

(8 f 2 L(V )) (9! f 2 L(V )) (8 x; y 2 V ) (f(x); y) = (x; f (y)):

Доказательство. 1) Определение отображения f . Пусть y фиксированный вектор из V , рассмотрим функцию '(x) на пространстве V ,

определенную следующем образом

	(8 x 2 V ) '(x) = (f(x); y):
Покажем, что '(x)	2 V , òî åñòü '(x) линейная форма. Для всех
; 0 2 k è x; x0 2 V	имеет место цепочка равенств

'( x + 0x0) = (f( x + 0x0); y) = ( f(x) + 0f(x0); y) = = (f(x); y) + 0(f(x0); y) = '(x) + 0'(x0):

Мы видим, что '(x) 2 V , по следствию и теореме 10.2.1 для этой линейной формы '(x) существует единственный вектор a такой, что

'(x) = (x; a) = 'a:

Этот вектор a зависит от первоначально фиксированного вектора y. Таким образом, мы имеем дело с отображением f : V ! V определенным следующим образом f (y) = a. Имеем (f(x); y) = 'a, следовательно

(8 x; y 2 V ) (f(x); y) = '(f (y)) )

70	Глава 10. Линейные операторы в евклидовом (унитарном) пространстве
	) (8 x; y 2 V ) (f(x); y) = (x; f (y)):	(10.1)
Равенство (10.1) определяет наше отображение f : V ! V .
2) Линейность отображения f . Подсчитаем 8(x; y; y0 2 V;		0 0 2 k)
(f(x); y + 0y0). С одной стороны:

(f(x); y + 0y0) = (x; f ( y + 0y0)):

С другой стороны:

(f(x); y + 0y0) = (f(x); y) + (f(x); 0y0) = (f(x); y) + 0(f(x); y0) =

=(x; f (y)) + 0(x; f (y0)) = (x; (f (y))) + (x; 0(f (y0))) =

=(x; ( f )(y)) + (x; ( 0f )(y0)) = (x; f (y) + 0f (y0)):

Мы получили

(x; f ( y + 0y0)) = (x; f (y) + 0f (y0)) 8(x; y; y0 2 V; 0 0 2 k);

следовательно

f ( y + 0y0) = f (y) + 0f (y0):

Линейность f установлена, значит f 2 L(V ):

3) Единственность отображения f . Покажем, что для любого линей- ного оператора f, оператор f , определенный равенством (10.1), является единственным. Допустим, что наряду с оператором f существует еще оператор g 2 L(V ), удовлетворяющий условию, что

(8 x; y 2 V ) (f(x); y) = (x; g(y)):

Тогда сравнивая эти равенства, видим, что

(8 x; y 2 V ) (x; f (y)) = (x; g(y)):

Следовательно

(8 y 2 V ) f (y) = g(y) ) f = g: