алгебра 2 семестр

7.5. Линейные подпространства

21

Система векторов (7.4) будет линейно независимой, так как ни один вектор не выражается через остальные векторы.

Далее, любой вектор a 2 V , линейно выражаясь через систему (7.3), будет линейно выражаться и через систему (7.4), так как удаленные векторы из системы (7.3), линейно выражаются через систему (7.4). Таким образом, система векторов (7.4) будет составлять базис пространства V . Этот базис получен из системы a1; a2; : : : ; as добавлением некоторых век- торов. k = n s.

ТЕОРЕМА 7.5.1 (о размерности суммы двух линейных подпространств). Размерность суммы двух линейных подпространств конеч- номерного линейного пространства V равна сумме размерностей этих линейных подпространств без размерности их пересечения, то есть

dim (L1 + L2) = dim L1 + dim L2 dim (L1 \ L2):

Доказательство. Пусть L1 è L2 два линейных подпространства пространства V . Обозначение через L = L1 \ L2. Пусть система векторов

e1; e2; : : : ; er

(7.5)

базис L. Если L = f0g, то r = 0 и базисом будет пустое множество. По лемме базис L можно дополнить до базиса L1

e1; e2; : : : ; er; ur+1; : : : ; us;

(7.6)

где (7.6) базис L1, dim L1 = s. Аналогично, по лемме базис L можно дополнить до базиса L2

e1; e2; : : : ; er; vr+1; : : : ; vt;

(7.7)

где (7.7) базис L2, dim L2 = t. Рассмотрим следующую систему векторов

e1; e2; : : : ; er; ur+1; : : : ; us; vr+1; : : : ; vt: (7.8)

22	Глава 7. Линейные пространства
Покажем что система (7.8) является базисом L1 + L2. Действительно,
возьмем произвольный вектор	x 2 L1 + L2. Тогда x = a + b, где a 2

2 L1; b 2 L2. Разлагая вектор a по базису (7.6), вектор b по базису (7.7) и складывая полученные выражения, мы получим, что вектор x линейно выражается через систему (7.8).

Остается показать, что система векторов (7.8) является линейно независимой. Рассмотрим линейную комбинацию

1e1 + : : : + rer + r+1ur+1 + : : : + sus + r+1vr+1 + : : : + tvt = 0:	(7.9)
Нужно показать, что все скаляры i; i; i = 0. Рассмотрим вектор
x = 1e1 + : : : + rer + r+1ur+1 + : : : + sus:	(7.10)
Из равенства (7.9) видно, что вектор
x = r+1vr+1 : : : tvt:	(7.11)

Равенство (7.10) указывает на то, что вектор x 2 L1, а равенство (7.11)

указывает на то, что вектор x 2 L2, следовательно x 2 L1 \ L2	= L.
Следовательно, вектор x можно выразить через базис L.
x = 10 e1 + : : : + r0 er:	(7.12)

Сравним (7.10) и (7.12). Выражение вектора x через базис (7.6) должно быть единственным, тогда

1 = 10 ; : : : ; r = r0 ; r+1 = 0; : : : ; s = 0:

Тогда равенство (7.9) принимает вид

1e1 + : : : + rer + r+1vr+1 + : : : + tvt = 0:

(7.13)

Так как базис (7.7) является линейно независимой системой векторов, то из равенства (7.13) следует, что все скаляры 1 = : : : = r = r+1 = = : : : = t = 0.

7.5. Линейные подпространства

23

Видно, что система векторов (7.8) является линейно независимой, следовательно, система векторов (7.8) является базисом L1 + L2. Тогда dim (L1 + L2) = числу векторов в базисе (7.8) = r + (s r) + (t r) = s +

+t r = dim L1 +dim L2 dim L = dim L1 +dim L2 dim (L1 \L2).

Следствие 7.5.1.1. Размерность прямой суммы равна сумме размерностей слагаемых.

Доказательство. Действительно, если L1 + L2 прямая сумма, то по определению L1 \L2 = f0g, dim f0g = 0. Получаем, что dim (L1 L2) = = dim L1 + dim L2.

Глава 8

Линейные операторы в линейном пространстве

8.1Пространство и алгебра линейных операторов

Пусть V и V 0 два линейных пространства над одним и тем же основным полем k.

Определение 8.1.1. Линейным оператором из пространства V в пространство V 0 над одним и тем же полем k называется всякое отображение

f: V ! V 0, удовлетворяющее двум условиям: 1. (8 a; b 2 V ) f(a + b) = f(a) + f(b);

2. (8 2 k; a 2 V ) f( a) = f(a).

Видно, что понятие ¾линейный оператор¿ является обобщением понятия ¾изоморфизм¿. В случае изоморфизма, требовалось чтобы f было биекцией. Условие 1) означает, что f является гомоморфизмом (V; +) на (V 0; +). Условие 1) называется условием аддитивности, а условие 2) называется условием однородности.

Определение 8.1.2. Линейным оператором из пространства V в про- странство V 0 над одним и тем же основным полем k называется всякое

24

8.1. Пространство и алгебра линейных операторов

25

отображение f : V ! V 0, удовлетворяющее условию линейности:

(8 ; 2 k; a; b 2 V ) f( a + b) = f(a) + f(b):

Обозначим через L(V; V 0) множество всех линейных операторов из пространства V в пространство V 0. На этом множестве рассмотрим две алгебраические операции: внутреннее сложение и внешнее умножение.

Определение 8.1.3. Пусть f; g 2 L(V; V 0) и 2 k. Полагают, что (f +

g)(a) = f(a) + g(a) è ( f)(a) = f(a).

Определение 8.1.3 корректно в том смысле, что f + g и f являются линейными операторами.

Действительно, (8 ; 2 k; a; b 2 V ) (f +g)( a+ b) = f( a+ b)+

+g( a + b) = f(a) + f(b) + g(a) + g(b) = (f(a) + g(a)) + (f(b) +

+g(b)) = (f + g)(a) + (f + g)(b): Следовательно f + g 2 L(V; V 0). Еще проще доказывается, что f 2 L(V; V 0):

ТЕОРЕМА 8.1.1. Множество L(V; V 0), рассмотренное вместе с определенными на нем внутренней алгебраической операцией сложения и внешней алгебраической операцией умножения, образует линейное пространство над полем k.

Доказательство. Пусть f; g; h 2 L(V; V 0); ; ; 1 2 k. Для доказательства теоремы достаточно показать, что выполняются 7 аксиом линейного пространства, а именно

1.f + g = g + f;

2.f + (g + h) = (f + g) + h;

3. (8 f; g) (9 h) g + h = f;

4.(f + g) = f + g;

5.( + )f = f + f;

26	Глава 8. Линейные операторы в линейном пространстве

6.( )f = ( f) = ( f);

7.1 f = f.

Проверим некоторые из них.

1) Имеем (8 a 2 V ) (f+g)(a) = f(a)+g(a) = g(a)+f(a) = (g+f)(a).

Следовательно, f + g = g + f.

3) Имеем f; g 2 L(V; V 0). Рассмотрим отображение h : V ! V 0, îïðå- деленное следующим образом (8 a 2 V ) h(a) = f(a) g(a). Легко по-

казать, что это отображение удовлетворяет условию линейности, следо-

вательно, h			2	L(V; V 0). Подсчитаем (			8	a	2	V ) (g+h)(a) = g(a)+h(a) =
= g(a) + (f(a) g(a)) = f(a). Следовательно, g + h = f.
	Пусть V; V 0; V 00					три линейных пространства над полем k, пусть
f	2	L(V; V	0), '		2	L(V 0; V 00). Тогда можем рассматривать композицию

линейных операторов ' f : V ! V 00, которая определяется следующим образом (' f)(a) = '(f(a)). Эту композицию ' f будем обозначать

'f.

Покажем, что 'f есть линейный оператор из пространства V в V 00.

	Действительно, 'f( a + b) = '(f( a + b)) = '( f(a) + f(b)) =
= '(f(a)) + '(f(b)) = ('f)(a) + ('f)(b). Следовательно,						'f 2
2	L(V; V 00).
ТЕОРЕМА 8.1.2. Пусть f; g		2	L(V; V 0); ';	2	L(V 0; V 00);	h	2

L(V 00; V 000); 2 k. Тогда справедливы следующие соотношения:

1. '(f + g) = 'f + 'g;

2. (' + )f = 'f + f;

3.h('f) = (h')f;

4.('f) = ( ')f = '( f).

8.1. Пространство и алгебра линейных операторов

27

Пусть f; g; '; ; h 2 L(V; V ), то есть это линейные операторы из линейного пространства V в себя.

Определение 8.1.4. Линейный оператор из V в V называется эндоморфизмом.

На множестве L(V; V ) можно рассматривать третью алгебраическую операцию внутреннее умножение. Если f; ' 2 L(V; V ), то полагают

'f = ' f : V ! V , 'f 2 L(V; V ). Для этой операции умножения операторов справедливы соотношения 1) 4) теоремы 8.1.2.

ТЕОРЕМА 8.1.3. Множество L(V; V ), рассмотренное вместе с определенными на нем тремя алгебраическими операциями: внутренними сложением и умножением и внешним умножением, образует алгебру над полем k.

Теорема 8.1.3 означает, что операции в множестве L(V; V ) удовлетворяют следующим 10 аксиомам:

1) 7) аксиомы линейного пространства;

8)f(g + h) = fg + fh, (f + g)h = fh + gh;

9)f(gh) = (fg)h;

10)(fg) = ( f)g = f( g).

Как и всякая алгебра, алгебра линейных операторов есть соединение двух алгебраических структур: структуры линейного пространства (аксиомы 1) 7)) и структуры кольца (аксиомы 1) 3) и 8) 9)). Эти структуры связаны между собой свойством 10).

В дальшейшем, множество L(V; V ) будем обозначать L(V ). Примеры:

1) Нулевой линейный оператор из L(V ). Он обозначается 0V . Опреде- ляется следующим образом: (8 a 2 V ) 0V (a) = 0. ßñíî, ÷òî

(8 f 2 L(V )) f + 0V = f:

28 Глава 8. Линейные операторы в линейном пространстве

2) Тождественный линейный оператор из L(V ). Обозначается 1V . Определяется следующим образом: (8 a 2 V ) 1V (a) = a. ßñíî, ÷òî

(8 f 2 L(V )) 1V f = f 1V = f:

Это означает, что в алгебре L(V ) есть единица.

8.2Матрица линейного оператора в конечномерном линейном пространстве

Здесь мы получим обозрение всех линейных операторов алгебры L(V ), где dim V = n.

ТЕОРЕМА 8.2.1. Пусть e1; e2; : : : ; en базис линейного простран-

ства V . Пусть V 0

другое линейное пространство над полем

k è

a10 ; a20 ; : : : ; an0

произвольная система векторов из V 0. Тогда существу-

ет единственный линейный оператор f

2

L(V; V 0), переводящий базис

пространства V в заданную систему векторов пространства V 0, òî

åñòü

(8 1 6 i 6 n) f(ei) = ai0:

Доказательство. 1) Единственность.

L(V; V 0) такой, что (

1

Пусть существует линейный оператор f

2

6

6

n) f(e ) = a0

2

8

i

n

. Любой вектор a

V

можно представить в виде

i

i

6

a =

iP

iei. Тогда

=1

n iei! =

if(ei) = n iai0:

f(a) = f

n

X

Xi

X

i=1

=1

i=1

Допустим, что существует другой линейный оператор f1 2 L(V; V 0), óäî-

влетворяющий условию (			8	1	6	i	6	n) f (e ) = a0			. Тогда
									1 i	i
f1(a) = f1	n	iei!				=		n	if1(ei) =	n	iai0 = f(a):
	X						X			Xi
	i=1						i=1			=1

8.2. Матрица линейного оператора в конечномерном линейном пространстве

29

Следовательно f1 = f.
2) Существование.	n
Пусть a 2 V . Тогда a =
	iei. Определим отображение f : V ! V 0
следующим образом	iP
	=1
		n
		Xi
	f(a) =	iai0:
		=1

Покажем, что это отображение	удовлетворяет условиям линейности.
Действительно, пусть b 2 V , b =	n
	=1	iei. Тогда
	iP	n
f(b) =		iai0:
		=1
	Xi
n		!	n

XX

f(a + b) = f	( i + i)ei = ( i + i)ai0 =
i=1	i=1

nn

XX

=ia0i + ia0i = f(a) + f(b):

i=1 i=1

Еще проще доказывается, что f( a) = f(a), где 2 k. Таким образом,

отображение f 2 L(V; V 0). Наконец, (8 1 6 i 6 1)

f(ei) = f(0 e1 +: : :+

+ 1

e

i

+ : : : + 0

e

n

) = 0

a0 + : : : + 1

a0 + : : : + 0

a0

= a0.

i

i

n

i

Следствие 8.2.1.1. Линейный оператор из V в V 0

однозначно определя-

ется образами базисных векторов пространства V .

Это вытекает из доказательства первой части теоремы 8.2.1.

Следствие 8.2.1.2. Множество линейных операторов из V в V 0 находит- ся во взаимно однозначном соответствии с множеством упорядоченных систем из n-векторов пространства V .

Пусть V линейное пространство над полем k, dim V = n, e1; e2; : : : ; en базис пространства V . Пусть, далее, f 2 L(V ), по следствию из теоремы 8.2.1, этот оператор единственным образом определяется образами базисных векторов f(e1); f(e2); : : : ; f(en) 2 V . Разложим

30 Глава 8. Линейные операторы в линейном пространстве

эти образы по базису пространства V , получим

f(e1) = 11e1 + 12e2 + : : : + 1nen;

f(e2) = 21e1 + 22e2 + : : : + 2nen;

: : :

(8.1)

f(en) = n1e1 + n2e2 + : : : + nnen:

Определение 8.2.1. Матрицей линейного оператора f 2 L(V ) отно- сительно базиса e1; e2; : : : ; en называется матрица, транспонированная к матрице, составленной из коэффициентов линейного выражения образов базисных векторов через этот базис.

0

11 12 : : : 1n

B

B 21 22 : : : 2n

Afje = B

B

B : : : : : : : : : : : :

@

n1 n2 : : : nn

1T 0

11 21 : : : n1

CB

CB 12 22 : : : n2

C= B

CB

CB : : : : : : : : : : : :

A@

1n 2n : : : nn

1

C

C

C:

C

C

A

Определение 8.2.2. Матрицей линейного оператора f 2 L(V ) относи- тельно базиса e1; e2; : : : ; en называется матрица, столбцами которой являются координатные столбцы векторов f(e1); f(e2); : : : ; f(en) относительно базиса e, то есть

Afje = (f(e1)je; f(e2)je; : : : ; f(en)je):

Определение 8.2.3. Если обозначить

	0 e1		1		0 f(e1) 1
e =	B	:e:2:	C	è f(e) =	B f:(:e:2)	C	;
	B		C		B	C
	B		C		B	C
	B en		C		B f(en)	C
	B		C		B	C
	@		A		@	A

то матрицей линейного оператора f относительно базиса e называется матрица Af , определяемая из равенства

f(e) = ATf e: