алгебра 2 семестр

8.5. Характеристический многочлен матрицы и линейного оператора

41

Следствие 8.5.1.1. Сумма характеристических корней матрицы A равно ее следу, а произведение характеристических корней равно ее норме.

Доказательство. Это вытекает из теоремы 8.5.1 и теоремы Виета. Действительно,

1 + 2 + : : : + n = ( T r(A)) = T r(A);

1 2 : : : n = ( 1)n ( 1)n N(A) = N(A):

Следствие 8.5.1.2. Квадратная матрица A не особенная тогда и только тогда, когда все ее характеристические числа отличны от нуля.

Доказательство. В самом деле, jAj 6= 0 , N(A) 6= 0 , 1 2 : : : n 6=

6= 0 , (8 1 6 i 6 n) i 6= 0. Пусть V конечномерное линейное пространство над k и f 2 L(V ).

Пусть e~ базис V и Afje~ матрица f относительно базиса e~. Так как эта матрица зависит от базиса, то понятие характеристической матрицы для линейного оператора не вводится.

Предложение 8.5.1. Характеристические многочлены подобных матриц равны.

Доказательство. Пусть B A, то есть (9 Q; jQj =6 0) B = Q 1AQ.

Рассмотрим характеристический многочлен матрицы B. B( ) = j E

Bj = j E Q 1AQj = jQ 1( E)Q Q 1AQj = jQ 1( E A)Qj =

= jQ 1jj E AjjQj = j E Aj = A( ).

Следствие. Следы и нормы подобных матриц равны.

Следствие. Характеристический многочлен матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса, относительно которого строилась матрица оператора, а зависит только от самого линейного оператора.

42	Глава 8. Линейные операторы в линейном пространстве

Определение 8.5.6. Характеристическим многочленом линейного оператора называется характеристический многочлен матрицы этого линейного оператора относительно любого базиса.

Обозначим характеристический многочлен линейного оператора f че-

ðåç f ( ). Тогда f ( ) = Af ( ).

Определение 8.5.7. Следом T r(f) и нормой N(f) линейного оператора

f называется след и норма матрицы этого линейного оператора относи-

тельно любого базиса.

Определение 8.5.8. Характеристическимим корнями линейного оператора называются все корни характеристического многочлена этого линейного оператора, лежащие, в общем случае, в алгебраическом замыкании основного поля.

8.6Собственные векторы и собственные значения линейного оператора и матрицы

Пусть V линейное пространство над полем k, f 2 L(V ). Пусть V 0

линейное подпространство пространства V . В общем случае f(V 0) V , но может быть так, что f(V 0) V 0.

Определение 8.6.1. Подпространство V 0 линейного пространства V называется инвариантным относительно линейного оператора f 2 L(V ), åñëè f(V 0) V 0, то есть любой вектор из подпространства V 0 переходит в вектор того же подпространства.

Займемся изучением одномерных инвариантных подпространств. Пусть V 0 одномерное инвариантное подпространство. Возьмем любой

вектор a	2	V 0	; a = 0. Òàê êàê dim V 0			= 1, то вектор a можно взять в
			6
качестве базиса V 0 и тогда V 0 =				f	a	2	k	g	. f(a) будет принадлежать
V 0, òàê êàê V 0					j
			инвариантно. Тогда f(a) = a; a = 0;							2	k.
									6

8.6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора и матрицы 43

Обратно, пусть V 0 одномерное	подпространство и a = 0,
a 2 V 0; f(a) = a, ãäå 2 k. Òàê êàê V 0	6
	одномерное подпространство,

то a можно взять в качестве базиса V 0. Поэтому V 0 = f aj 2 kg. Сосчи-

òàåì f( a) = f(a) = ( a) = ( )a 2 V 0. Таким образом f(V 0) V 0, òî åñòü V 0 инвариантное подпространство. Таким образом изучение од-

номерных инвариантных подпространств приводит нас к изучению ненулевых векторов a 2 V 0, для которых f(a) = a, ãäå 2 k.

Определение 8.6.2. Скаляр называется собственным значением линейного оператора f 2 L(V ), если существует ненулевой вектор a 2 V

такой, что f(a) = a. В этом случае вектор a называется собственным вектором линейного оператора f, принадлежащим скаляру .

В этом случае говорят, что и a есть принадлежащие друг другу собственное значение и собственный вектор линейного оператора f.

Определение 8.6.3. Говорят, что скаляр и ненулевой столбец X 6= 0 èç kn есть принадлежащие друг другу собственное значение и собственный вектор матрицы A 2 M(n; k), если AX = X.

Предложение 8.6.1. Для того, чтобы скаляр и вектор a 2 V были принадлежащими друг другу собственным значением и собственным вектором линейного оператора f конечномерного линейного пространства V необходимо и достаточно, чтобы и координатный столбец a относительно некоторого базиса были принадлежащими друг другу собственным значением и собственным вектором матрицы Af этого линейного оператора относительно того же базиса.

Доказательство. Действительно, пусть f(a) = a, где a 6= 0 и 2 k,

, , 6 , 6

тогда f(a) = a f(a) = a Af a = a. Причем a = 0 a = 0.

ТЕОРЕМА 8.6.1 (критерий собственного значения) . Для того, чтобы скаляр был собственным значением матрицы A (линейного операто-

ра конечномерного пространства) необходимо и достаточно, чтобы

44	Глава 8. Линейные операторы в линейном пространстве

был характеристическим корнем матрицы A (линейного оператора), лежащим в основном поле.

Доказательство. 1) Необходимость.

Пусть является собственным значением матрицы A, это означает, что

AX = X;	(8.2)
ãäå X 6= 0 è X 2 kn. Перепишем равенство (8.2):
EX AX = 0;
( E A)X = 0:	(8.3)
На равенство (8.3) можно смотреть как на однородную	систему n-

линейных уравнений с n неизвестными. Эта система записана в мат-

ричном виде. Видно, что ненулевым решением этой системы является столбец X 2 kn; X 6= 0. Тогда по следствию из критерия наличия нену-

левого решения ОСЛУ следует, что определитель системы (8.3) должен быть равен нулю, то есть j E Aj = 0. Таким образом A( ) = 0, следовательно является характеристическим корнем матрицы A и 2 k.

2)Достаточность.

Пусть 2 k и является характеристическим корнем матрицы A.

Тогда A( ) = 0, это означает, что j E Aj = 0. Рассмотрим однородную систему n-линейных уравнений с n неизвестными (8.3)

( E )X = 0;

где X столбец неизвестных. По следствию из критерия наличия нену-

левого решения ОСЛУ следует, что эта система (8.3) имеет ненулевое решение X 6= 0. Это ненулевое решение X 2 kn, так как элементы мат-

рицы ( E A) принадлежат полю k. Подставив это ненулевое решение в систему (8.3) получим тождество. Будем иметь EX AX = 0, то есть AX = X, где X 6= 0 и X 2 kn. По определению 8.6.2 видно, что является собственным значением матрицы A.

8.6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора и матрицы 45

Следствие 8.6.1.1. Если основное поле k алгебраически замкнуто, то все собственные значения матрицы A совпадают с ее характеристическими корнями.

Предложение 8.6.2. Все собственные векторы линейного оператора (матрицы), принадлежащие собственному значению вместе с нулевым вектором образуют линейное подпространство пространства V (координатного пространства kn).

Доказательство. Действительно, пусть собственное значение линейного оператора f 2 L(V ). Множество всех собственных векторов оператора f, принадлежащих собственному значению вместе с ненулевым вектором, совпадает с множеством всех решений уравнения f(a) = a. Обозначим множество решений этого уравнения через

V = fa 2 V j f(a) = ag :

Надо показать, что V устойчивое подмножество пространства V . Это означает, что

(8 ; 2 k; a; b 2 V ) a + b 2 V :

Подсчитаем f( a + b) = f(a) + f(b) = ( a) + ( b) = ( a + b). Следовательно a + b является решением уравнения f(a) = a, то естьa + b 2 V . Таким образом V является устойчивым подмножеством пространства V , а следовательно, его линейным подпространством.

Определение 8.6.4. Если собственное значение линейного операто- ðà f 2 L(V ), òî V называется собственным подпространством оператора f, принадлежащим скаляру .

ТЕОРЕМА 8.6.2 (о собственных векторах, принадлежащих различ- ным собственным значениям). Пусть 1; 2; : : : ; s попарно различные собственные значения линейного оператора f 2 L(V ) и в каждом соб- ственном подпространстве V i выбрана линейно независимая система

46	Глава 8. Линейные операторы в линейном пространстве

векторов a(1i); a(2i); : : : ; a(nii). Тогда объединение всех этих линейно незави-

n	o
симых систем векторов	aj(i) , ãäå j =	1; ni	, i =	1; s	, является линейно
независимой системой векторов.

Доказательство. Доказательство проводим методом математической индукции по s.

Если s = 1, то из собственного подпространства V 1 выбрана система векторов: a(1)1 ; a(1)2 ; : : : ; a(1)n1 , которая является линейно не зависимой по

условию.

Предположим, что теорема верна для s 1 попарно различных собственных значений. Докажем справедливость теоремы для s попарно

различных собственных значений.
Имеем систему векторов	a(i) , ãäå j =		, i =		. Надо показать
		1; n		1; s
ее линейную независимость. nПустьj o		i

sni

Xi	ijaj(i)	= 0:	(8.4)
	X
=1 j=1

Подействуем на равенство (8.4) оператором f. Получим

f	ijaj(i)!	= f(0);
s	ni
Xi	X
=1 j=1

sni

XX ijf(a(ji)) = 0;

i=1 j=1

íî f(a(ji)) = ia(ji), òî åñòü

sni

Xi	ij iaj(i)	= 0:	(8.5)
	X
=1 j=1

Умножим равенство (8.4) на s и вычтем из него равенство (8.5). Полу-

÷èì	s	ni
		ij( s i)aj(i) = 0:
	=1 j=1
	Xi	X

8.6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора и матрицы 47

Åñëè i = s, òî s i = 0 и поэтому

s 1 ni

XX ij( s i)a(ji) = 0:

i=1 j=1

n o

Но по предположению индукции система a(ji) , ãäå j = 1; ni, i = 1; s 1 является линейно независимой. Поэтому из последнего равенства следует, что ij( s i) = 0, j = 1; ni, i = 1; s 1. Íî s i 6= 0, следовательно

ij = 0; j = 1; ni; i = 1; s 1:					(8.6)

Подставим равенство (8.6) в равенство (8.4). Получим

ns

X sja(js) = 0: j=1

Но система векторов a(1s); a(2s); : : : ; a(nss), которые принадлежат V s, взята линейно независимой по условию, тогда из последнего равенства следует, что

		sj = 0; j = 1; ns:			(8.7)
Объединение равенств (8.6) и (8.5) означает, что					ij = 0 ïðè j = 1; ni,
линейно независимой.			j		i
			ai
i = 1; s. Следовательно система векторов				, j = 1; n , i = 1; s является

Следствие. Пусть 1; 2; : : : ; s попарно различные собственные значе- ния линейного оператора f 2 L(V ) и a1; a2; : : : ; as собственные век- торы оператора f, принадлежащие соответственно, этим собственным значениям. Тогда система векторов a1; a2; : : : ; as является линейно неза- висимой.

Доказательство. Это есть частный случай теоремы 8.6.2, когда из каж-

дого собственного подпространства выбирается по одному ненулевому вектору (n1 = n2 = : : : = ns = 1 è a(1i) = ai).

48 Глава 8. Линейные операторы в линейном пространстве

Определение 8.6.5. Линейный оператор f 2 L(V ) называется диагонализируемым, если в пространстве V существует базис, состоящий из

собственных векторов оператора			f, то есть существует a1; a2; : : : ; an
базис V такой, что (8 1 6 i 6 n)			f(ai) = iai.
ßñíî, ÷òî	0			1
Af j~a		1	0 : : : 0
	= B	:0: : : :2: :: :: :: :0: :		C	:
	B			C
	B			C
	B			C
	B			C
	@	0	0 : : : n	A

Определение 8.6.6. Линейный оператор f 2 L(V ) называется диагонализируемым, если в пространстве V существует базис, относительно которого матрица этого линейного оператора f имеет диагональный вид. Этот базис называется диагонализирующим.

Предложение 8.6.3 (первый критерий диагонализируемости) . Если

1; 2; : : : ; s все попарно различные собственные значения линейного оператора f 2 L(V ), то оператор f является диагонализируемым тогда и только тогда, когда

dim V 1 + dim V 2 + : : : + dim V s = dim V:

Доказательство. 1) Достаточность. Пусть сумма размерностей

s

X

dim V i = dim V:

i=1

Обозначим dim V i = ni, тогда по теореме 8.6.2 можно построить линей-

но независимую систему собственных векторов оператора						f	aj(i)	, ãäå
j = 1; ni, i = 1; s. Количество этих собственных векторов						оператора			f
						n	o
равно n1 + n2 + : : : + ns. По условию
				s
			n1 + n2 + : : : + ns =		dim V i = dim V:
=1
				Xi

8.6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора и матрицы 49

no

Тогда векторы a(ji) можно взять в качестве базиса пространства V , а тогда (по определению 8.6.5) оператор f является диагонализируемым.

2) Необходимость. Пусть линейный оператор f 2 L(V ) является диаго-

нализируемым, по определению 8.6.5 это означает, что существует базис a1; a2; : : : ; an пространства V , состоящий из собственных векторов опе-

ратора f, то есть (8 1 6 i 6 n) f(ai) = iai. Пусть среди 1; 2; : : : ; n

попарно различными будут 1; 2; : : : ; s, s 6 n. Пусть собственному зна- чению i; (1 6 i 6 s) принадлежат собственные векторы a(1i); a(2i); : : : ; a(nii) из базиса a1; a2; : : : ; an. В этом случае dim V i = ni. Заметим, что n1+n2+: : :+ns = n, òî åñòü dim V 1 +dim V 2 +: : :+dim V s = dim V .

Предложение 8.6.4 (второй критерий диагонализируемости) . Линейный оператор f 2 L(V ) является диагонализируемым тогда и только

тогда, когда матрица этого оператора Af относительно какого-либо базиса, преобразованием подобия может быть приведена к диагональному виду.

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть f диагонализируемый линейный оператор и Afje~ его матрица в базисе e~. По определению 8.6.6 существует базис a~ пространства V , относительно которого матрица Afja~ имеет диагональный вид. Известно, что Afja~ = Q 1Afje~Q, где Q матрица перехода от базиса e~ к a~. Это равенство указывает на то, что матрица

Afje~ подобна диагональной матрице Afje~.

2) Достаточность. Пусть f 2 L(V ) и Afje~ преобразованием подобия

приводится к диагональному виду. Это означает, что существует такая не особенная матрица Q такая, что

0	1	0	: : : 0	1
Q 1 Af j~eQ = A = B	:0: : : :2: :: :: :: :0: :			C	:
B				C
B				C
B	0	0	: : : n	C
B				C
@				A

50 Глава 8. Линейные операторы в линейном пространстве

По следствию к теореме 8.2.3 матрицу A можно рассматривать как мат-

рицу линейного оператора f относительно базиса a~ = QT e~. Таким образом видно, что в пространстве V существует базис a~, относительно которого матрица Afja~ = A имеет диагональный вид. Тогда по определению 8.6.6 оператор f является диагонализируемым.