алгебра 2 семестр

Глава 9

Евклидовы (унитарные) пространства

Âэтой главе в качестве основного поля k будет выступать поле R или C.

Âэтом случае скаляр 2 k является действительным или комплексным числом. Как всегда через будем обозначать комплексно сопряженное число для . Напомним, что если 2 R, то = .

9.1Основные понятия

Определение 9.1.1. Действительным (комплексным) пространством называется линейное пространство над полем действительных (комплексных) чисел.

Определение 9.1.2. Говорят, что в действительном (комплексном) пространстве задано скалярное умножение, если каждой упорядоченной паре векторов a; b 2 V поставлено в соответствие число основного поля k,

обозначаемое (a; b) и называемое скалярным произведением векторов a

èb, для которого выполняются следующие четыре аксиомы:

1.(b; a) = (a; b);

2.(a + a0; b) = (a; b) + (a0; b);

3.( a; b) = (a; b);

4.åñëè a 6= 0, òî (a; a) > 0.

52	Глава 9. Евклидовы (унитарные) пространства

Замечание 9.1.1. Если k = R, то (b; a) = (a; b), то есть скалярное умно-

жение коммутативно.

Замечание 9.1.2. Аксиомы 2 и 3 означают аддитивность и однородность, то есть линейность скалярного умножения относительно первого сомножителя.

Свойства скалярного умножения

1.( a + 0a0; b) = (a; b) + 0(a0; b0).

2.(a; b + b0) = (a; b) + (a; b0) (aддитивность относительно второго сомножителя).

3.(a; b) = (a; b).

4.	i=1	iai; j=1 jbj!	= i=1 j=1 i j(ai; bj).
	s	t	s t
	P	P	P P

5.(a; 0) = (0; a) = 0.

6.(a; a) = 0 , a = 0.

Доказательство. 1) Это свойство следует сразу же из аксиом 2 и 3 скалярного умножения.

2)(a; b+b0) = (b + b0; a) = (b; a) + (b0; a) = (b; a)+(b0; a) = (a; b)+(a; b0).

3)Имеем (a; b) = ( b; a) = (b; a) = (b; a) = (a; b).

4)Это свойство является объединением аксиом 2 и 3 и свойств 2 и 3 скалярного умножения.

5) Действительно, (a; 0) = (a; 0b) = 0(a; b) = 0(a; b) = 0. (0; a) =

=(a; 0) = 0 = 0.

6)a) Необходимость. Если бы a 6= 0, то по аксиоме (a; a) > 0, а это

противоречит тому, что дано.

b) Достаточность. Если a = 0, то (a; a) = (0; 0) = 0.

9.1. Основные понятия

53

Замечание 9.1.3. Если k = R, то свойства 2 и 3 означают линейность скалярного умножения относительно второго сомножителя.

Скалярное произведение (a; a) называется скалярным квадратом вектора a.

Определение 9.1.3. Действительное (комплексное) пространство, рассмотренное вместе с определенным на нем скалярным умножением, называется евклидовым (унитарным) пространством.

Пример.

Рассмотрим в качестве V = kn (Rn èëè Cn). Элементы пространства

V будем записывать столбцами.

0 x1		1	0 y1		1
X = B	:x:2:	C	; Y = B	:y:2:	C	:
B		C	B		C
B		C	B		C
B xn		C	B yn		C
B		C	B		C
@		A	@		A

Упорядоченной паре X; Y 2 V поставим в соответствие число

0

1

1

y

n

(X; Y ) = XT

= (x1

; : : : ; xn) B

:y:2:

C

Y

; x2

=

xi

j:

y

B

C

i=1

B

C

X

B yn

C

B

C

@

A

Легко показать, что это число (X; Y ) удовлетворяет всем четырем

аксиомам скалярного умножения. Это скалярное умножение называется стандартным. В дальнейшем оно будет обозначаться hX; Y i. Ясно, что

n

hX; Xi = Xjxij2 :

i=1

Определение 9.1.4. Действительным (комплексным) арифметическим пространством называется действительное (комплексное) координатное линейное пространство, рассматриваемое вместе с определенным на нем стандартным скалярным умножением.

54	Глава 9. Евклидовы (унитарные) пространства

9.2Длина вектора

Определение 9.2.1. Длиной вектора a евклидова (унитарного) про-

чение квадратного корня из	p		a.
странства называется число jjajj =		(a; a), то есть арифметическое зна-

скалярного квадрата этого вектора

Определение 9.2.2. Вектор e евклидова (унитарного) пространство называется единичным или ортом, если его длина равна 1. Деление ненулевого вектора на его длину называется нормированием вектора.

Свойства длины вектора

1.jjajj > 0, причем jjajj = 0 тогда и только тогда, когда a = 0.

2.jj ajj = j j jjajj.

3.Если a 6= 0, то вектор jjaajj является единичным.

= 0

(a; a) = 0 (a; a) =60 a =jj0.jj

=

p

jj

jj

=

Доказательство. 1) Если a = 0, то

a

(a; a) > 0. Пусть

a

,

p

,

) =

( ) =

( ) =

= (

= p

p

,

p

2)

a

a; a

a; a

a; a

a

. В частно-

jj

jj

j

j

j

j jj jj

1, имеем

jj

jj

= a .

ñòè, ïðè

a

jj jj

3) По свойству 2 длины вектора

a

=

a

jjajj = a jjajj = 1:

a

1

1

jj jj

jj jj

jj

jj

ТЕОРЕМА 9.2.1 (Коши-Буняковского). Для любых двух векторов a

и b евклидова (унитарного) пространства справедливо неравенство

j(a; b)j 6 jjajj jjbjj;

причем знак равенства достигается тогда и только тогда, когда векторы a и b пропорциональны.

9.2. Длина вектора

55

Доказательство. 1) Рассмотрим ситуацию, когда векторы a и b не являются пропорциональными. В этом случае вектор a 6= 0 и b 6= 0. Если бы, например, a = 0, то мы имели бы a = 0 b, а это означало, бы пропорциональность векторов a и b.

Рассмотрим вектор

(a; b) jjbjj2 b:

Так как векторы a и b не пропорциональны, то

a 6=

(a; b)

b;

jjbjj2

òî åñòü

(a; b)

a

b

6= 0:

jjbjj2

Применим аксиому 4 скалярного умножения

a

( b

2) b; a ( b

2)

b > 0 ,

a; b

a; b

jj jj

jj

jj

, (a; a)

( b 2)

(b; a)

(a; b) +

( b

2)

(b; b) > 0 ,

b

2

b

2

a; b

a; b

a; b

a; b

jj jj

jj

jj

jj

jj

jj

jj

b (2a; b)

, jjajj2

(a; b)b 2a; b

a; b

+

(a; b)b 4a; b

jjbjj2 > 0 ,

jj

jj

jj

jj

jj jj

, jj

a 2

j(a; b)j2

> 0

,

jj

jjbjj2

,jjajj2 jjbjj2 > j(a; b)j2 ,

,jjajj jjbjj > j(a; b)j :

2)Рассмотрим ситуацию, когда векторы a и b являются пропорциональными. Имеем b = a, тогда

(a; b) = (a; a) = (a; a) = jjajj2;

òî åñòü

j(a; b)j = jjajj2 = j j jjajj2 = j j jjajj2:

56 Глава 9. Евклидовы (унитарные) пространства

С другой стороны

jjajj jjbjj = jjajj jj ajj = jjajj j j jjajj = j j jjajj2:

Следовательно, jjajj jjbjj = j(a; b)j.

Обратно, пусть j(a; b)j = jjajj jjbjj, тогда векторы a и b должны быть пропорциональными. Если бы векторы a и b не были пропорциональны, то по части первой доказательства имели бы, что j(a; b)j < jjajj jjbjj, а это противоречит тому, что дано. ТЕОРЕМА 9.2.2 (неравенство треугольника). Для любых двух векторов a и b евклидова (унитарного) пространства справедливы неравенства:

1. jja + bjj 6 jjajj + jjbjj;

2.jja bjj > jjajj jjbjj .

Доказательство. Прежде всего заметим, что если z = a + bi, то Re z = p

= a 6 a2 + b2 = jzj.

1) jja + bjj2 = (a + b; a + b) = (a; a) + (b; a) + (a; b) + (b; b) = jjajj2 +

				+(a; b)+ bjj2 = jjajj2+2Re (a; b)+jjbjj2 6 jjajj2+2jjajj jjbjj+jjbjj2 =
+ a; b
= ( a				+ b	)2.jjИзвлечем корень, получим	jj	a + b	jj	6 a	+ b .
	jj	jj		jj	jj				jj jj	jj jj

2) Имеем jjajj = jj (a b) + bjj 6 jja bjj + jjbjj. То есть jja bjj >

jjajj jjbjj. Но jja bjj = jjb ajj > jjbjj jjajj. Следовательно, jja bjj >

> jjajj jjbjj .

Пример. Рассмотрим V = Cn комплексное арифметическое пространство. hX; Y i = XT Y . Из неравенства Коши-Буняковского

n

xiyi

6

0v

n

jxij2

1

0v

n

jyij2

1:

u

u

X

uX

uX

A

@t

A @t

i=1

i=1

i=1

Из неравенства треугольника

v

n

(xi + yi)2

6 v

n

xi

j

2

+ v

n

yi

j

2

:

ui=1

ui=1 j

ui=1 j

uX

uX

uX

t

t

t

линейно независима.

9.3. Ортогонализация

57

9.3Ортогонализация

Определение 9.3.1. Два вектора a и b евклидова (унитарного) пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, то есть (a; b) = 0.

Определение 9.3.2. Система векторов a1; a2; : : : ; as евклидова (унитар- ного) пространства называется ортогональной, если векторы этой системы попарно ортогональны, то есть (8 1 6 i; j 6 s; i 6= j) (ai; aj) = 0.

Определение 9.3.3. Система векторов e1; e2; : : : ; es евклидова (унитар- ного) пространства называется ортонормированной, если эта система ортогональна и все векторы этой системы являются единичными.

Предложение 9.3.1. Всякая ортогональная система ненулевых векторов евклидова (унитарного) пространства является линейно независимой.

Доказательство. Пусть a1; a2; : : : ; as ортогональная система ненуле-

вых векторов. Пусть

s

X

jaj = 0:

j=1

Возьмем любое 1 6 i 6 s и умножим это равенство скалярно на ai, получим

s	jaj; ai! = (0; ai) ,	s	j (aj; ai) = 0 , i jjaijj2 = 0:
X		Xj
j=1		=1

Òàê êàê jjaijj =6 0, то получаем, что (8 1 6 i 6 s) i = 0, следовательно система a1; a2; : : : ; as

будет вектор

58	Глава 9. Евклидовы (унитарные) пространства

ТЕОРЕМА 9.3.1 (об ортогонализации). Пусть a1; a2; : : : ; as линей- но независимая система векторов евклидова (унитарного) пространства. Тогда существует ортонормированная система e1; e2; : : : ; es òà- кая, что для любого 1 6 k 6 s подпространство, натянутое на векто- ðû e1; e2; : : : ; ek, совпадает с подпространством, натянутым на векторы a1; a2; : : : ; ak.

Доказательство. Применим метод математической индукции по k. Ес-

ли k = 1, то в качестве вектора e1 a1 ; a1 6= 0, òî åñòü jja1jj

jje1jj = 1. Так как векторы e1 è a1 пропорциональны, то L (e1) = L (a1). Предположим, что удалось построить систему векторов e1; e2; : : : ; ek, êî- торая удовлетворяет следующим двум условиям:

1.e1; e2; : : : ; ek ортонормирована,

2.(8 1 6 i 6 k) L (fe1; e2; : : : ; eig) = L (fa1; a2; : : : ; aig).

Покажем, что можно построить систему из k+1 векторов e1; e2; : : : ; ek+1, удовлетворяющую условиям 1 и 2. Рассмотрим вектор

	k
ek0	Xj
	+1 = jej + ak+1;	(9.1)
	=1

ãäå 1; 2; : : : ; k пока неопределенные числа. Выберем эти числа так, чтобы

(8 1 6 i 6 k) (e0k+1; ei) = 0:

Итак, скалярное произведение

k	jej + ak+1; ei! = 0 ,	k	j (ej; ei) + (ak+1; ei) = 0 ,
X		Xj
j=1		=1

, i + (ak+1; ei) = 0 , i = (ak+1; ei) :

Получили ортогональную систему векторов e1; e2; : : : ; ek; e0k+1.

9.3. Ортогонализация

59

Покажем, что вектор e0k+1 6= 0. Из равенства (9.1) видно, что вектор e0k+1 линейно выражается через e1; e2; : : : ; ek; ak+1. По предположению индукции векторы e1; e2; : : : ; ek линейно выражаются через a1; a2; : : : ; ak. По транзитивности вектор e0k+1 линейно выражается че- ðåç a1; a2; : : : ; ak; ak+1, причем коэффициент при ak+1 равен единице. То- гда, так как система векторов a1; a2; : : : ; ak; ak+1 линейно независима (как

часть линейно независимой системы векторов a					; a	; : : : ; a	), òî e0	= 0.
Нормируем вектор ek0			1		2	s	k+1	6
	+1, получим
	ek+1 =	ek0	+1					(9.2)
		jjek0	+1jj

После этого, система векторов e1; e2; : : : ; ek; ek+1 является ортонормиро-

ванной, то есть она удовлетворяет условию 1.

Покажем, что она удовлетворяет и условию 2. Условие 2 выполняется для всех 1 6 i 6 k по предположению индукции. Остается показать, что L (fe1; e2; : : : ; ek; ek+1g) = L (fa1; a2; : : : ; ak; ak+1g). Чтобы в этом убедиться, надо показать, что вектор ek+1 линейно выражается че- ðåç a1; a2; : : : ; ak; ak+1 и обратно, вектор ak+1 линейно выражается че- ðåç e1; e2; : : : ; ek; ek+1. Из равенства (9.2) видно, что вектор ek+1 линейно выражается через вектор e0k+1, а вектор e0k+1 (как было уже доказано) линейно выражается через a1; a2; : : : ; ak; ak+1. По транзитивности, ek+1 линейно выражается через a1; a2; : : : ; ak; ak+1.

Из равенства (9.1) видно, что вектор ak+1 линейно выражается через e1; e2; : : : ; ek; e0k+1, а вектор e0k+1, как видно из равенства (9.2), линейно выражается через ek+1. По транзитивности, ak+1 линейно выражается через e1; e2; : : : ; ek; ek+1.

Замечание 9.3.1. Можно из линейно независимой системы a1; a2; : : : ; as построить ортогональную систему e01; e02; : : : ; e0s с тем же самым условием

(8 1 6 k 6 s) L (fe01; e02; : : : ; e0kg) = L (fa1; a2; : : : ; akg) :

В этом случае отпадает необходимость нормирования векторов e0i.

60 Глава 9. Евклидовы (унитарные) пространства

Замечание 9.3.2. Если в линейно независимой системе a1; a2; : : : ; as ïåð- вые k векторов ортонормированны, то процесс ортогонализации нужно начинать с вектора ak+1 .

Следствие 9.3.1.1. В евклидовом (унитарном) пространстве существуют ортонормированные базисы.

Доказательство. Пусть a1; a2; : : : ; an любой базис евклидова (унитарного) пространства V . Применим процесс ортогонализации к этому базису. Получим ортонормированную систему e1; e2; : : : ; en, которую можно взять в качестве базиса евклидова (унитарного) пространства V .

Следствие 9.3.1.2. Любую ортогональную (ортонормированную) систему векторов e1; e2; : : : ; ek евклидова (унитарного) пространства V можно дополнить до ортогонального (ортонормированного) базиса пространства V .

Доказательство. В	самом	äåëå,	систему векторов		e1; e2; : : : ; ek
можно дополнить	äî	базиса	пространства	V ,	à	именно
e1; e2; : : : ; ek; ak+1; : : : ; an		базис V	(òàê êàê e1; e2; : : : ; ek			линейно

независимы). Достаточно теперь применить процесс ортогонализации, начиная с вектора ak+1, при этом для получения ортонормированного базиса необходимо нормировать получившиеся векторы.

ТЕОРЕМА 9.3.2 (критерий ортонормированности базиса) . Для то- го, чтобы базис e1; e2; : : : ; en евклидова (унитарного) пространства был ортонормированным, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение любых двух векторов этого пространства равнялось стандартному скалярному произведению координатных столбцов этих векторов относительно базиса e~ в соответствующем арифметическом

j j . пространстве, то есть (a; b) = a e~; b e~