Операции над событиями
B
Пример. Обозначим следующим образом погодные явления: О – облачно, Д – дождь, С – снег.
Тогда обычное для Ростовской зимы состояние погоды будет иметь следующий вид ОДС.
Что означает такое выражение О(Д+С) ? А такое ОДС ?
Задачи на операции над событиями
Задача 1. Из колоды карт вынимается одна. Событие А вынута карта красной масти; событие В - вынут туз.
Что означают события: А, В , А + В, АВ?
Задача 2. Игральная кость бросается один раз. Событие А - выпало четное число очков; событие В - выпало число очков, кратное трем.
Что означает событие А + В?
Как записать событие, состоящее в выпадении шести очков?
Задачи на операции над событиями
Задача 3. В сессию студент должен был сдать два экзамена и один зачет.
Событие А состоит в том, что студент сдал экзамен по английскому языку;
событие В - он сдал экзамен по философии; событие С - получил зачет по физкультуре.
Как записать следующие события:
получил только зачет 
сдал только один из экзаменов
сдал, по крайней мере, один экзамен
Задачи на операции над событиями
Задача 3. В сессию студент должен был сдать два экзамена и один зачет.
Событие А состоит в том, что студент сдал экзамен по английскому языку;
событие В - он сдал экзамен по философии; событие С - получил зачет по физкультуре.
Как записать следующие события:
получил только зачет 
сдал только один из экзаменов
сдал, по крайней мере, один экзамен
CAB
AB + AB
A+B
Теорема о сложении вероятностей
несовместных событий
Если события А и В несовместны, то вероятность их суммы вычисляется по формуле
Доказательство Р(А + В) = Р(А) + Р(B)
Пусть число всех исходов равно n. В число исходов, благоприятных событию А+В, входят все исходы, благоприятные событию А и все исходы, благоприятные событию В. Так как события А и В несовместны, то среди перечисленных исходов нет одинаковых. Поэтому
m(A+B) = m(A) + m(B)
Учитывая это, получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m(A B) |
|
|
|
||
Р(А + В) |
= |
= |
m(A) |
m(B) |
= |
Р(А) + Р(B) |
|
|
|
n |
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема о сложении вероятностей
совместных событий
Если события А и В совместны, то вероятность их суммы вычисляется по формуле
Р(А + В) = Р(А) + Р(B) – P(AB)
Доказательство
Пусть n - все исходы. Множество исходов, благоприятных событию А+В, включает в себя множество исходов, благоприятных событию А, событию В и одновременному выполнению этих событий. По формуле количества элементов объединения двух пересекающихся множеств:
m(A+B) = m(A) + m(B) - m(AB). Учитывая это, получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m( A B) |
|
m( A) |
m(B) |
|
m(AB) |
|
|
Р(А + В) |
= |
= |
|
= |
||||
|
|
|
n |
|
n |
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Р(А) + Р(B) – P(AB)
Теорема о вероятности
противоположных событий
Для противоположных событий справедлива следующая формула:
P(A) = 1 – P(A)
Доказательство.
Так как события А и не А несовместны, то по формуле о вероятности суммы несовместных событий имеем
P(A + A) = P(A) + P(A)
С другой стороны, событие A + A является достоверным.
Поэтому P(A + A) = 1.
Объединяя два рассмотренных равенства, получаем:
P(A) + P(A) = 1
P(A) = 1 - P(A) 
Теоремы сложения вероятностей
Решение типовых задач
Условие задачи: Пусть задано некоторое испытание и
события А и В, наблюдаемые в нем. Описан комплекс условий. В условии задачи дано количество исходов,
благоприятных событиям A и B - m(A) и m(B). Требуется определить: вероятность суммы событий А и В.
Алгоритм решения задач
Подсчитать общее число |
Подсчитать |
|
вероятности событий |
||
исходов испытания: n |
||
А и В: |
|
|
P(A)=m(A)/n |
|
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) |
P(B)=m(B)/n |
||
Да |
|||
|
|
||
P(A+B)=P(A)+P(B) |
Нет |
А и В –совместны? |
|
|
|||
|
|
||
Задачи на сложение вероятностей
Задача 1. В урне 8 белых, 5 желтых в 2 красных шара. Какова вероятность того, что вынутый шар будет желтого или красного цвета?
Решение. Пусть событие А - вынут желтый шар, а событие В - вынут красный шар.
Число всех возможных исходов n=15. Тогда P(A)=5/15, P(B) =2/15. Событие А+В означает, что вынут шар либо желтого, либо красного цвета. Так как события А и В несовместны, то вероятность события А+В вычисляется по формуле:
Р(А + В) = P(A) + P(B) = 5/15 + 2/15 = 7/15.
Задачи на сложение вероятностей
Задача 2. Один лотерейный билет выигрывает с вероятностью 0,0001. Какова вероятность того, что владелец одного билета ничего не выиграет?
Решение. Пусть событие А означает выигрыш. Тогда A означает, что билет не выигрывает. По теореме о вероятности противоположных событий имеем
P(A) = 1 – P(A) = 1- 0,0001 = 0,9999.