Вероятность появления хотя бы одного события

Задача. Ведутся поиски четырех преступников. Каждый из них независимо от других может быть обнаружен в течение суток с вероятностью 0,5. Какова вероятность того, что в течение суток будет обнаружен хотя бы один

преступник?

Решение. Пусть событие Аi – обнаружен i-й преступник.

По условию: события Аi – независимы и Р(Аi)=Р(Аi)=0,5. По формуле, приведенной выше

имеем:

P(A) = 1- 0,5 х 0,5 х 0,5 х 0,5 = 1 – 0,0625 = 0,9375.

Формула полной вероятности

Имеется полная группа событий H1, H2, … , Hn и

некоторое событие А, которое может произойти вместе с одним из событий этой группы. Так как события Hi

образуют полную группу несовместных событий, то событие А может появиться только в комбинации с одним из этих событий, то есть

А = (АH + АH + … + АH ).

Тогда, используя теорему1 о2 сложении nнесовместных событий, получим

Р(А) = Р(АH1) + Р(АH2 ) + … +Р(АHn).

Применив к каждому слагаемому в правой части теорему умножения вероятностей зависимых событий, получим формулу полной вероятности:

Р(А) = Р(H1)Р(А/H1) + Р(H2 )Р(А/H2 ) +…+ Р(Hn)Р(А/Hn).

События H1, H2, …, Hn обычно называют гипотезами.

Задача на формулу полной вероятности

Задача. Имеются три одинаковые на вид урны: в первой урне два белых и один черный шар, во второй три белых и один черный шар, а в третьей два белых и два черных шара. Наугад выбирается одна из трех урн и вынимается один шар. Определить вероятность того, что этот шар белый.

Решение. Обозначим через H1, H2 и H3 события выбора

соответственно первой, второй и третьей урны, а событие А – появление белого шара. По условию задачи выбор любой из трех урн равновозможен, поэтому

Р(H1) = Р(H2 ) = Р(H3 )=1/3.

Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны:

Р(А/H1) = 2/3; Р(А/H2							) = 3/4; Р(А/H3 ) = 1/2.
По формуле полной вероятности:														23 .
Р(А) =	1	х	2	+	1		х	3	+	1	х	1	=
	3				3					3
		3					4				2			36

Формула полной вероятности

Решение типовых задач

Условие: Имеется полная группа событий H1, H2, … , Hn и

некоторое событие А, которое может произойти вместе с одним из событий этой группы. А Определить: вероятность наступления события .

Алгоритм решения задач

Подсчитать для каждой из гипотез Hi

вероятность ее реализации Р(Hi)

Подсчитать

вероятности наступления события

А с каждой из гипотез

P(A / Hi )

Вычислить вероятность наступления события А

Р(А) = Р(H1)Р(А/H1) + Р(H2 )Р(А/H2 ) +…+ Р(Hn)Р(А/Hn)

Формула Байеса (теорема гипотез)

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является теорема гипотез, или формула Байеса.

Поставим следующую задачу:

Имеется полная группа гипотез H1,H2,…,Hn.. Вероятности
этих гипотез до опыта известны и равны соответственно
Р(H1), Р(H2 ), …, Р(Hn).		Произведен опыт, в результате
которого произошло некоторое событие А. Требуется
определить вероятности реализации каждой из гипотез в
этом случае.
То есть, фактически, необходимо определить условную
вероятность Р(Hi/A) для каждой из гипотез.
Из теоремы умножения для зависимых событий имеем:
Р(АHi) = Р(A) Р(Hi/A) = Р(Hi) Р(А/Hi)				(i = 1, 2, … n),
откуда следует, что
Р(Hi/A) =	Р(Hi) Р(А/Hi)			(i = 1, 2, … n),
		Р(A)

где Р(А) вычисляется по формуле полной вероятности

Задача на формулу Байеса

Задача. Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку Решение. До опыта возможны следующие гипотезы:

H1 – оба промахнулись; H2 – оба попали;

H3 – попал лишь первый; H4 – попал лишь второй. Вероятности этих гипотез:

Р(H1) = 0,2 х 0,6 = 0,12; Р(H2) = 0,8 х 0,4 = 0,32;

Р(H3) = 0,8 х 0,6 = 0,48; Р(H4) = 0,2 х 0,4 = 0,08.

Условные вероятности события А (наличие одной пробоины) при этих гипотезах равны соответственно:

Р(А/H1) = 0; Р(А/H2) = 0; Р(А/H3) = 1; Р(А/H4) = 1. По формуле полной вероятности Р(А)=0,48+0,08=0,56.

По формуле Байеса Р(H3/A) = Р(Н3Р(А)) Р(А/Н3)= 0,480,56 = 76

Формула Байеса

Решение типовых задач

Условие: Имеется полная группа гипотез H1,H2,…,Hn..

Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно Р(H1), Р(H2 ), …, Р(Hn). Произведен опыт,

в результате которого произошло некоторое событие А. Определить: вероятности реализации каждой из гипотез.

Алгоритм решения задач

Подсчитать для каждой из гипотез Hi

вероятность ее реализации Р(Hi)

	Р(Hi/A)=	Р(Hi) Р(А/Hi)
		Р(A)

Подсчитать

вероятности наступления события

А с каждой из гипотез

P(A / Hi )

Вычислить Р(А) по формуле полной вероятности

Формула Бернулли

Рассмотрим следующую схему. Вероятность появления
события А	в	единичном опыте равна	р. Испытание
повторяется	n	раз, то есть выполняется серия из n
независимых испытаний. Определить вероятность того,
что в результате n испытаний событие А наступит m раз.
Считаем, что	Р(А) = р. Тогда Р(А) = 1 - Р(А) = 1- р = q.
Событием, интересующим нас в данной схеме, будет
совокупность n		испытаний, в которой m раз произойдет
событие А. Обозначим эти события через Bi.
Вероятности событий Bi будут равными Р(Bi)=рmqn-m.
Обозначим через k число событий B . k равно числу
сочетаний	по	m из n. События i	B		являются
несовместными.				i
Поэтому, если обозначить через Рn(m) вероятность m
появлений события А в n испытаниях, то будет
справедлива следующая формула, называемая					формулой
Бернулли			m	m n-m		.
Рn(m) = Р(В1) + Р(В2 ) + … +Р(Вk) = Сn				р q

Задача на формулу Бернулли

Задача. В мишень стреляют шесть раз. Вероятность ее как поражения, так и не поражения p=q=0,5. Определить вероятности поражения мишени 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 раз.

Решение. Применяя формулу Бернулли, получим:

Р (0) = Р (6) = 0,56			= 0,015625;
6	6
		1	0,55 х 0,5 = 6 х 0,5 х 0,03125 = 0,09375 ;
Р (1) = Р (5) = С х
6	6	6
		2	0,54 х 0,52 =15 х 0,56 = 0,234375;
Р (2) = Р (4) = С х
6	63	6
Р (3) = С х 0,53		х 0,53 = 20 х 0,56 = 0,3125.
6	6

Замечание. Для определения вероятностей по формуле Бернулли в MS Excel используется стандартная функция

БИНОМРАСП( Число успехов, Число испытаний,

Вероятность успеха).