Условная вероятность

Условной вероятностью P(A/В) называют вероятность события А, вычисленную в предположении, что произошло событие B.

Задача 1. В урне 5 белых и 5 черных шаров. Определить вероятность того, что после извлеченного первым белого шара будет извлечен

черный шар.

Решение. Если обозначить через А – извлечение белого шара, а через В – извлечение черного шара, то в нашем случае

Р(А)=1/2, Р(В/А)=5/9.

Условная вероятность

Задача 2. Из 36 карт выбирают наугад одну. Событие А состоит в том, что выбрана карта красной масти, событие В – выбрана «красная» дама.

Найти вероятности Р(А), Р(В), Р(А/В).

Решение. Число всех возможных исходов n=36. m(А) = 18 , m(В) = 2.

P(A) = 18/36 = 1/2, P(B) = 2/36 = 1/9.

P(A / B) = 17/35.

Теорема о вычислении условной вероятности

Для вычисления условной вероятности справедлива следующая формула: P(AB)

P(A/B) = P(B)

Доказательство. Событие АВ означает, что произошли
оба события, А	и В. Пусть испытание, в котором могут
появиться события А и В, имеет n					исходов. Число исходов,
благоприятных событиям В и АВ, обозначим через m(В) и
m(АВ), соответственно. Найдем вероятность события
Р(А/В). По смыслу определения условной вероятности
Р(А/В) мы учитываем только те исходы, в которых
произошло событие В, поэтому число всех возможных
исходов при вычислении этой вероятности будет m(В).
Число же исходов, благоприятных в этой ситуации
событию А, будет m(АВ). Поэтому								P(AB)
P(A/B) =		m(AB)		m(AB)	: m(B)		=
			=					P(B)
		m(B)		n		n

Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Из предыдущей теоремы вытекает, что вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:

Р(АВ) = Р(В) Р(А/В), Р(АВ) = Р(А) Р(В/А)

Задача 1. Из колоды одна за другой извлекают две карты. Какова вероятность извлечения 2 тузов?

Решение. Пусть событие В состоит в том, что первая карта туз, а событие А - вторая карта туз. Нужно найти вероятность произведения АВ. По

формуле		1		3	1
	Р(АВ) = Р(В) Р(А/В) =		x		=
		9		35		105

Теорема умножения вероятностей

независимых событий

События А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло другое событие или нет.

Иными словами, события А и В независимы, если выполняются следующие условия:

Р(А/В)=Р(А), Р(В/А)=Р(В).

С учетом этих равенств формула умножения вероятностей примет такой вид:

Р(АВ) = Р(А)Р(В).

Итак, мы получили еще одну важную теорему.

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Теоремы умножения вероятностей

Решение типовых задач

Условие задачи: Пусть задано некоторое испытание и события А и В, наблюдаемые в нем. Описан комплекс условий. В условии задачи дано количество исходов,

благоприятных событиям A и B - m(A) и m(B). Определить: вероятность произведения событий А и В.

Алгоритм решения задач

Подсчитать общее число		Подсчитать
		вероятности событий
исходов испытания: n
		А и В:
		P(A)=m(A)/n
P(AB)=P(A) P(B/A)		P(B)=m(B)/n
		Да
P(AB)=P(A) P(B)	Нет	А и В –зависимы?

Задачи на сложение и умножение

вероятностей

Задача 1. Два стрелка независимо один от другого делают по одному выстрелу по одной и той же мишени.

Вероятность поражения мишени первым стрелком 0,5, вторым - 0,6. Какова вероятность того, что мишень будет поражена?

Решение. Событие А - мишень поразил первый стрелок, а событие В - мишень поразил второй стрелок.

По условию P(А) = 0,5 и Р(В) = 0,6.

По теореме о сложении вероятностей совместных событий получаем

Р(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).

По смыслу задачи события A и В - независимы, поэтому

P(AB) = P(A) х P(B) = 0,5 х 0,6 = 0,3.

Подставляя полученный результат и исходные значения вероятностей событий А и В, получим:

Р(A+B) = 0,5 + 0,6 - 0,3 = 0,8.

Задачи на сложение и умножение

вероятностей

Задача 2. Вероятность того, что студент Громов сдаст экзамен по Уголовному праву (УП), равна 0,7, а вероятность успешной сдачи им экзамена по Гражданскому праву (ГП) - 0,8.

Какова вероятность того, что он успешно сдаст оба экзамена?

Решение. Событие А – сдан экзамен по УП , а событие В - сдан экзамен по ГП .

По условию P(А) = 0,7 и Р(В) = 0,8.

По смыслу задачи события A и В - независимы, поэтому

P(AB) = P(A) х P(B) = 0,7 х 0,8 = 0,56.

Задачи на сложение и умножение

вероятностей

Задача 3. Найдите вероятность того, что два мотора на самолете одновременно выйдут из строя, если вероятность выхода из строя одного мотора не зависит от исправности другого и равна

0,0001.

Решение. Событие А – не работает 1-й мотор, событие В - не работает 2-й мотор.

По условию А и В – независимы и равны,

поэтому

P(AB) = P(A) х P(B) = 10-4х10-4 = 10-8.

Вероятность появления хотя бы одного события

Вероятность наступления события А, состоящего в появлении хотя бы одного из событий A1,A2,…,An, независимых друг от

друга, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий A1,A2,…,An:

P(A) = 1-P(A1) x P(A2) x … x P(An)