Задачи на классическое

определение вероятности

Задача 1. В урне 6 красных и 8 желтых шаров. Какова вероятность того, что вынутый наугад шар окажется желтым?

Решение. Событие А – извлечен желтый шар.

m(A) = 8; n = 14;

P(A) = m(A) / n = 8 / 14 = 4 / 7.

Задачи на классическое

определение вероятности

Задача 2. В лотерее участвуют 1000 билетов. Из них 25 выигрывают по 30 000 руб., 35 – по 10 000 руб., 250 – по 100 руб. Играющий приобрел один билет. Какова вероятность выиграть? Какова вероятность выиграть более 100 руб.?

Решение. Событие A – любой выигрыш, а событие B – выигрыш более 100 руб.

Число исходов n=1000. m(A) = 25 + 35 +250 = 310; P(A) = 310 / 1000 = 0,31; m(B) = 25 + 35 =60;

P(B) = 60 / 1000 = 0,06

Задачи на классическое

определение вероятности

Задача 3. Найти вероятность того, что четырехзначный номер случайно встреченного автомобиля состоит из одинаковых цифр.

Решение. Каждая цифра номера выбирается из десяти: 0, 1, …, 9. Испытанием является выбор какой-либо четверки цифр. Событие A - все цифры номера одинаковы.

P(A) =	10	= 0,001	m(A)=10
	10 000

Число всех возможных номеров

n=10х10х10х10=10 000

											Б
				0								л
	0
0
0													а
				1									г
		1
1
1						2							о
													п
			2
	2
2						3								р
				3
		3													я
3
							4							и
															т
					4
			4
	4							5							т
						5									с
				5
		5							6						у
							6
					6										в
			6							7
								7							ю
						7
				7							8
									8						т
							8					9
					8
															:
										9
								9
						9

Задачи на классическое

определение вероятности

Задача 4. Игральная кость брошена два раза. Какова вероятность того, что сумма очков равна 11? 7? 9?

Решение. События: A - сумма 11, В - сумма 7, С - сумма 9.

	тие		А
Собы		:5)
) и (6
(5:6		)=2
m(A

P(A) = 362

Событие В (1:6), (2:5), (3:4), (4:3), (5:2) и (6:1) m(B)=6

P(B) = 366

Число всех возможных исходов по правилу умножения n=6х6=36

Событие С (3:6), (4:5), (5:4) и (6:3) m(С) =4

P(C) = 364

Операции над событиями

Если в некоторой ситуации произошло по крайней мере одно из двух событий А или В, то говорят, что произошло событие А + В. Так вводится понятие суммы событий.

Если произошли оба события, и А и В, то говорят, что произошло событие АВ. Так вводится понятие произведения событий.

Если событие А не произошло, то говорят, что произошло событие А. Так вводится понятие

противоположного события.

Операции над событиями

B

Пример. Обозначим следующим образом погодные явления: О – облачно, Д – дождь, С – снег.

Тогда обычное для Ростовской зимы состояние погоды будет иметь следующий вид ОДС.

Что означает такое выражение О(Д+С) ? А такое ОДС ?

Задачи на операции над событиями

Задача 1. Из колоды карт вынимается одна. Событие А вынута карта красной масти; событие В - вынут туз.

Что означают события: А, В , А + В, АВ?

Задача 2. Игральная кость бросается один раз. Событие А - выпало четное число очков; событие В - выпало число очков, кратное трем.

Что означает событие А + В?

Как записать событие, состоящее в выпадении шести очков?

Задачи на операции над событиями

Задача 3. В сессию студент должен был сдать два экзамена и один зачет.

Событие А состоит в том, что студент сдал экзамен по английскому языку;

событие В - он сдал экзамен по философии; событие С - получил зачет по физкультуре.

Как записать следующие события:

получил только зачет сдал только один из экзаменов

сдал, по крайней мере, один экзамен

Задачи на операции над событиями

Задача 3. В сессию студент должен был сдать два экзамена и один зачет.

Событие А состоит в том, что студент сдал экзамен по английскому языку;

событие В - он сдал экзамен по философии; событие С - получил зачет по физкультуре.

Как записать следующие события:

получил только зачет сдал только один из экзаменов

сдал, по крайней мере, один экзамен

CAB

AB + AB

A+B

Теорема о сложении вероятностей

несовместных событий

Если события А и В несовместны, то вероятность их суммы вычисляется по формуле

Доказательство Р(А + В) = Р(А) + Р(B)

Пусть число всех исходов равно n. В число исходов, благоприятных событию А+В, входят все исходы, благоприятные событию А и все исходы, благоприятные событию В. Так как события А и В несовместны, то среди перечисленных исходов нет одинаковых. Поэтому

m(A+B) = m(A) + m(B)

Учитывая это, получим:

		m(A B)
Р(А + В)	=		=	m(A)	m(B)	=	Р(А) + Р(B)
		n		n	n