Теорема о сложении вероятностей

совместных событий

Если события А и В совместны, то вероятность их суммы вычисляется по формуле

Р(А + В) = Р(А) + Р(B) – P(AB)

Доказательство

Пусть n - все исходы. Множество исходов, благоприятных событию А+В, включает в себя множество исходов, благоприятных событию А, событию В и одновременному выполнению этих событий. По формуле количества элементов объединения двух пересекающихся множеств:

m(A+B) = m(A) + m(B) - m(AB). Учитывая это, получим:

			m( A B)		m( A)	m(B)		m( AB)
	Р(А + В)	=		=					=
			n		n	n		n

= Р(А) + Р(B) – P(AB)

Теорема о вероятности

противоположных событий

Для противоположных событий справедлива следующая формула:

P(A) = 1 – P(A)

Доказательство.

Так как события А и не А несовместны, то по формуле о вероятности суммы несовместных событий имеем

P(A + A) = P(A) + P(A)

С другой стороны, событие A + A является достоверным.

Поэтому P(A + A) = 1.

Объединяя два рассмотренных равенства, получаем:

P(A) + P(A) = 1P(A) = 1 - P(A)

Теоремы сложения вероятностей

Решение типовых задач

Условие задачи: Пусть задано некоторое испытание и

события А и В, наблюдаемые в нем. Описан комплекс условий. В условии задачи дано количество исходов,

благоприятных событиям A и B - m(A) и m(B). Требуется определить: вероятность суммы событий А и В.

Алгоритм решения задач

	Подсчитать общее число	Подсчитать
		вероятности событий
	исходов испытания: n
		А и В:

			P(A)=m(A)/n
	P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)		P(B)=m(B)/n
			Да
	P(A+B)=P(A)+P(B)	Нет	А и В –совместны?

Задачи на сложение вероятностей

Задача 1. В урне 8 белых, 5 желтых в 2 красных шара. Какова вероятность того, что вынутый шар будет желтого или красного цвета?

Решение. Пусть событие А - вынут желтый шар, а событие В - вынут красный шар.

Число всех возможных исходов n=15. Тогда P(A)=5/15, P(B) =2/15. Событие А+В означает, что вынут шар либо желтого, либо красного цвета. Так как события А и В несовместны, то вероятность события А+В вычисляется по формуле:

Р(А + В) = P(A) + P(B) = 5/15 + 2/15 = 7/15.

Задачи на сложение вероятностей

Задача 2. Один лотерейный билет выигрывает с вероятностью 0,0001. Какова вероятность того, что владелец одного билета ничего не выиграет?

Решение. Пусть событие А означает выигрыш. Тогда A означает, что билет не выигрывает. По теореме о вероятности противоположных событий имеем

P(A) = 1 – P(A) = 1- 0,0001 = 0,9999.

Теорема умножения вероятностей

независимых событий

События А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло другое событие или нет.

Иными словами, события А и В независимы, если выполняются следующие условия:

Р(А/В)=Р(А), Р(В/А)=Р(В).

С учетом этих равенств формула умножения вероятностей примет такой вид:

Р(АВ) = Р(А)Р(В).

Итак, мы получили еще одну важную теорему.

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Теоремы умножения вероятностей

Решение типовых задач

Условие задачи: Пусть задано некоторое испытание и события А и В, наблюдаемые в нем. Описан комплекс условий. В условии задачи дано количество исходов,

благоприятных событиям A и B - m(A) и m(B). Определить: вероятность произведения событий А и В.

Алгоритм решения задач

Подсчитать общее число		Подсчитать
		вероятности событий
исходов испытания: n
		А и В:
		P(A)=m(A)/n
P(AB)=P(A) P(B/A)		P(B)=m(B)/n
		Да
P(AB)=P(A) P(B)	Нет	А и В –зависимы?

Задачи на сложение и умножение

вероятностей

Задача 1. Два стрелка независимо один от другого делают по одному выстрелу по одной и той же мишени.

Вероятность поражения мишени первым стрелком 0,5, вторым - 0,6. Какова вероятность того, что мишень будет поражена?

Решение. Событие А - мишень поразил первый стрелок, а событие В - мишень поразил второй стрелок.

По условию P(А) = 0,5 и Р(В) = 0,6.

По теореме о сложении вероятностей совместных событий получаем

Р(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).

По смыслу задачи события A и В - независимы, поэтому

P(AB) = P(A) х P(B) = 0,5 х 0,6 = 0,3.

Подставляя полученный результат и исходные значения вероятностей событий А и В, получим:

Р(A+B) = 0,5 + 0,6 - 0,3 = 0,8.

Задачи на сложение и умножение

вероятностей

Задача 2. Вероятность того, что студент Громов сдаст экзамен по Уголовному праву (УП), равна 0,7, а вероятность успешной сдачи им экзамена по Гражданскому праву (ГП) - 0,8.

Какова вероятность того, что он успешно сдаст оба экзамена?

Решение. Событие А – сдан экзамен по УП , а событие В - сдан экзамен по ГП .

По условию P(А) = 0,7 и Р(В) = 0,8.

По смыслу задачи события A и В - независимы, поэтому

P(AB) = P(A) х P(B) = 0,7 х 0,8 = 0,56.

Задачи на сложение и умножение

вероятностей

Задача 3. Найдите вероятность того, что два мотора на самолете одновременно выйдут из строя, если вероятность выхода из строя одного мотора не зависит от исправности другого и равна

0,0001.

Решение. Событие А – не работает 1-й мотор, событие В - не работает 2-й мотор.

По условию А и В – независимы и равны,

поэтому

P(AB) = P(A) х P(B) = 10-4х10-4 = 10-8.