Вероятность появления хотя бы одного события

Вероятность наступления события А, состоящего в появлении хотя бы одного из событий A1,A2,…,An, независимых друг от

друга, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий A1,A2,…,An:

P(A) = 1-P(A1) x P(A2) x … x P(An)

Вероятность появления хотя бы одного события

Задача. Ведутся поиски четырех преступников. Каждый из них независимо от других может быть обнаружен в течение суток с вероятностью 0,5. Какова вероятность того, что в течение суток будет обнаружен хотя бы один

преступник?

Решение. Пусть событие Аi – обнаружен i-й преступник.

По условию: события Аi – независимы и Р(Аi)=Р(Аi)=0,5. По формуле, приведенной выше

имеем:

P(A) = 1- 0,5 х 0,5 х 0,5 х 0,5 = 1 – 0,0625 = 0,9375.

Условная вероятность

Условной вероятностью P(A/В) называют вероятность события А, вычисленную в предположении, что произошло событие B.

Задача 1. В урне 5 белых и 5 черных шаров. Определить вероятность того, что после извлеченного первым белого шара будет извлечен

черный шар.

Решение. Если обозначить через А – извлечение белого шара, а через В – извлечение черного шара, то в нашем случае

Р(А)=1/2, Р(В/А)=5/9.

Условная вероятность

Задача 2. Из 36 карт выбирают наугад одну. Событие А состоит в том, что выбрана карта красной масти, событие В – выбрана «красная» дама.

Найти вероятности Р(А), Р(В), Р(А/В).

Решение. Число всех возможных исходов n=36. m(А) = 18 , m(В) = 2.

P(A) = 18/36 = 1/2, P(B) = 2/36 = 1/9.

P(A / B) = 17/35.

Теорема о вычислении условной вероятности

Для вычисления условной вероятности справедлива следующая формула: P(AB)

P(A/B) = P(B)

Доказательство. Событие АВ означает, что произошли
оба события, А	и В. Пусть испытание, в котором могут
появиться события А и В, имеет n					исходов. Число исходов,
благоприятных событиям В и АВ, обозначим через m(В) и
m(АВ), соответственно. Найдем вероятность события
Р(А/В). По смыслу определения условной вероятности
Р(А/В) мы учитываем только те исходы, в которых
произошло событие В, поэтому число всех возможных
исходов при вычислении этой вероятности будет m(В).
Число же исходов, благоприятных в этой ситуации
событию А, будет m(АВ). Поэтому								P(AB)
P(A/B) =		m(AB)		m(AB)	: m(B)		=
			=					P(B)
		m(B)		n		n

Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Из предыдущей теоремы вытекает, что вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:

Р(АВ) = Р(В) Р(А/В), Р(АВ) = Р(А) Р(В/А)

Задача 1. Из колоды одна за другой извлекают две карты. Какова вероятность извлечения 2 тузов?

Решение. Пусть событие В состоит в том, что первая карта туз, а событие А - вторая карта туз. Нужно найти вероятность произведения АВ. По

формуле		1		3	1
	Р(АВ) = Р(В) Р(А/В) =		x		=
		9		35		105

Формула полной вероятности

Имеется полная группа событий H1, H2, … , Hn и

некоторое событие А, которое может произойти вместе с одним из событий этой группы. Так как события Hi

образуют полную группу несовместных событий, то событие А может появиться только в комбинации с одним из этих событий, то есть

А = (АH + АH + … + АH ).

Тогда, используя теорему1 о2 сложении nнесовместных событий, получим

Р(А) = Р(АH1) + Р(АH2 ) + … +Р(АHn).

Применив к каждому слагаемому в правой части теорему умножения вероятностей зависимых событий, получим формулу полной вероятности:

Р(А) = Р(H1)Р(А/H1) + Р(H2 )Р(А/H2 ) +…+ Р(Hn)Р(А/Hn).

События H1, H2, …, Hn обычно называют гипотезами.

Задача на формулу полной вероятности

Задача. Имеются три одинаковые на вид урны: в первой урне два белых и один черный шар, во второй три белых и один черный шар, а в третьей два белых и два черных шара. Наугад выбирается одна из трех урн и вынимается один шар. Определить вероятность того, что этот шар белый.

Решение. Обозначим через H1, H2 и H3 события выбора

соответственно первой, второй и третьей урны, а событие А – появление белого шара. По условию задачи выбор любой из трех урн равновозможен, поэтому

Р(H1) = Р(H2 ) = Р(H3 )=1/3.

Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны:

Р(А/H1) = 2/3; Р(А/H2							) = 3/4; Р(А/H3 ) = 1/2.
По формуле полной вероятности:														23 .
Р(А) =	1	х	2	+	1		х	3	+	1	х	1	=
	3				3					3
		3					4				2			36

Формула полной вероятности

Решение типовых задач

Условие: Имеется полная группа событий H1, H2, … , Hn и

некоторое событие А, которое может произойти вместе с одним из событий этой группы. А Определить: вероятность наступления события .

Алгоритм решения задач

Подсчитать для каждой из гипотез Hi

вероятность ее реализации Р(Hi)

Подсчитать

вероятности наступления события

А с каждой из гипотез

P(A / Hi )

Вычислить вероятность наступления события А

Р(А) = Р(H1)Р(А/H1) + Р(H2 )Р(А/H2 ) +…+ Р(Hn)Р(А/Hn)

Формула Байеса (теорема гипотез)

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является теорема гипотез, или формула Байеса.

Поставим следующую задачу:

Имеется полная группа гипотез H1,H2,…,Hn.. Вероятности
этих гипотез до опыта известны и равны соответственно
Р(H1), Р(H2 ), …, Р(Hn).		Произведен опыт, в результате
которого произошло некоторое событие А. Требуется
определить вероятности реализации каждой из гипотез в
этом случае.
То есть, фактически, необходимо определить условную
вероятность Р(Hi/A) для каждой из гипотез.
Из теоремы умножения для зависимых событий имеем:
Р(АHi) = Р(A) Р(Hi/A) = Р(Hi) Р(А/Hi)				(i = 1, 2, … n),
откуда следует, что
Р(Hi/A) =	Р(Hi) Р(А/Hi)			(i = 1, 2, … n),
		Р(A)

где Р(А) вычисляется по формуле полной вероятности