ЛЕКЦИЯ №49
Рассчитаем вектор-потенциал внутри проводника (). Так как по проводнику протекает ток, то вектор-потенциал подчиняется уравнению Пуассона .
Вектор-потенциал образует плоско параллельное поле, изменяющееся только по радиусу. Поэтому в цилиндрической системе координат уравнение Пуассона запишется
(17.20)
Проинтегрировав его, получим
(17.22)
Так как поблизости нет другого поля, то постоянную интегрирования C1 можно приравнять к нулю. Тогда
.
В свою очередь,
(17.23)
При r = 0 , следовательно, и .
Проинтегрировав уравнение (17.21)*, получим
(17.24)
Если принять, что на поверхности проводника A1 = 0, то постоянная интегрирования C2 будет равна
Тогда
(17.25)
Так как за пределами проводника тока нет, то вектор-потенциал подчиняется уравнению Лапласа .
Используя то же допущение о плоско параллельном поле, получим
(17.26)
На поверхности провода по закону полного тока
(17.27)
Следовательно,
(17.28)
(17.29)
Из условия непрерывности вектора-потенциала следует, что при A2 = A1 = 0.
(17.30)
Тогда
(17.31)
Выделим в толще проводника элементарную площадку, нормаль к которой параллельна вектору напряженности (рис. 17.7).
Рис. 17.7. К расчету вектора-потенциала магнитного поля
одиночного проводника с током
По теореме Стокса
(17.32)
Этот интеграл распадается на 4 составляющие
На участках 2-3 и 4-1 векторы и перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю.
Индуктивность, обусловленная магнитным потоком внутри проводника
(17.33)
В свою очередь,
(17.34)
Тогда
; (17.35)
. (17.36)
За пределами проводника ()
(17.37)
17.9. Расчет индуктивности двухпроводной линии
Рис. 17.8. К расчету индуктивности двухпроводной линии
При расчете воспользуемся методом наложения.
Потокосцепления, создаваемые левым током
Такие же потокосцепления создаются правым током.
(17.38)
(17.39)
Для линий электропередачи можно принять, что , и пренебречь радиусом провода по сравнению с расстоянием между проводами. Кроме того, пренебрегая первым слагаемым , получим индуктивность ЛЭП
(17.40)
17.10. Взаимное соответствие электростатического и магнитного полей
Между картинами электростатического и магнитного полей постоянного тока в областях, не занятых током, может быть соответствие двух типов:
1. Когда одинаково распределение линейных зарядов в электростатическом поле и линейных токов в магнитном поле. В этом случае картины полей подобны. Отличие лишь состоит в том, что силовым линиям электростатического поля отвечают эквипотенциальные линии магнитного поля, а эквипотенциалям электростатического поля – силовые линии магнитного.
На рис. 17.9а изображена картина электрического поля, образованного уединенным линейным зарядом + , а на рис. 17.9б – картина магнитного поля уединенного проводника с током I.
2. Когда одинакова форма граничных эквипотенциальных поверхностей в электростатическом и магнитном полях постоянного тока. В этом случае картина поля оказывается совершенно одинаковой.
а б
Рис. 17.9. Картина электростатического (а) и магнитного (б) полей
Соответствие второго типа показано на рис. 17.10. На нем изображена картина магнитного поля в воздушном промежутке между полюсом и якорем машины постоянного тока. Если допустить, что полюс и якорь этой машины используют в качестве электродов некоторого конденсатора, то картина электрического поля в воздушном промежутке между электродами соответствовала бы картине магнитного поля.
Рис. 17.10. Картина электрического и магнитного полей при одинаковых граничных эквипотенциальных поверхностях
17.11. Задачи расчета магнитных полей. Общая характеристика
методов расчета и исследования магнитных полей
1. Определение индуктивности какого-либо контура или взаимной индуктивности двух контуров.
2. Определение сил, действующих в магнитном поле на движущийся электрон, неподвижный проводник с током, ферромагнитные массы в магнитном поле.
3. Расчет поля, создаваемого заданным распределением токов в пространстве.
4. Расчет магнитных экранов. Магнитными экранами называют устройства, предназначенные для ослабления магнитного поля в заданной области пространства по сравнению с магнитным полем вне экрана.
5. Нахождения распределения токов в некотором объеме для получения заданной картины магнитного поля.
Методы расчета и исследование магнитных полей можно подразделить на три группы:
– аналитическую,
– графическую,
– экспериментальную.
Группу аналитических методов объединяют все чисто аналитического порядка приемы интегрирования уравнения Пуассона (для областей, занятых током), уравнения Лапласа (для областей, не занятых током), применение методов зеркальных и конформных отображений.
В силу трудностей математического характера классические аналитические методы позволяют решать относительно небольшой круг задач.
В особо трудных случаях прибегают к графическому методу построения картины поля или к исследованию магнитного поля на модели. Графические методы применимы к двухмерным безвихревым полям.
В последние годы применяют метод интегральных уравнений, предполагающий использование ЭВМ и значительно расширяющий круг решаемых задач.