3.5.4. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ВЗАИМНОГО ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА СФЕР

Две любые соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям. Если оси поверхностей вращения параллельны какойлибо плоскости проекций, то на эту плоскость окружности взаимного пересечения проецируются в отрезки прямых, перпендикулярных проекции оси вращения.

В качестве вспомогательной секущей поверхности удобно использовать сферическую поверхность, центр которой должен лежать на оси вращения. При взаимном пересечении поверхностей используются методы концентрических и эксцентрических сфер.

Метод концентрических сфер применяется, если:

1)пересекаются два тела вращения;

2)оси тел вращения пересекаются;

3)оси тел вращения параллельны какой-либо плоскости проекций.

На рис. 3.34 показано построение линии пересечения 2-х цилиндров (диаметром «d» и «D») с помощью концентрических сфер. Оси цилиндров пересекаются в точках О1 и О2.

Построение точек пересечения цилиндров начинаем с нижней точки. Для этого из центра О2 проводим сферу радиуса R = D (т.е. сфера вписывается в горизонтально расположенный цилиндр).

Эта сфера коснется образующих горизонтального цилиндра по линии 1-2 и пересечет очерковые образующие вертикального цилиндра в точках 32 и 42. Линия 3242 пересечет линию 1222 в точке А2, которая и будет низшей точкой линии пересечения. Затем из того же центра О2 проводят сферу большого радиуса, которая пересечет верхнюю образующую горизонтального цилиндра в точках 52 и 62 и образующие вертикального цилиндра в точках 72 и 8. Линия 7282

пересекается с линиями в 5252’ и 6262’ в промежуточных точках линии пересечения В2 и С2. Образующие вертикального и горизонтального цилиндров пересекаются в точках Д2 и Е2. Соединив построенные точки плавной кривой получим видимую часть кривой 4-го порядка (невидимая часть совпадает с видимой частью кривой).

Рис. 3.34

На рис. 3.35 показано построение линии взаимного пересечения конуса и сферы с помощью концентрических сфер.

Поскольку сфера имеет бесчисленное множество осей симметрии, то одна из них может быть подобрана таким образом, чтобы она пересекала ось конуса в его вершине S. В таком случае можно использовать метод концентрических сфер, центр которых будет совпадать с фронтальной проекцией вершины конуса S2.

Перед началом построений определяем минимальный и максимальный радиусы сферы и в этом диапазоне проводим вспомогательные сферы, которые будут пересекать конус и сферу по

кривым линиям, проецирующимся на П2 в отрезки прямых (например, А2В2 и С2Д2). В их пересечении отмечаем точки пересечения поверхностей (например, А2В2 С2Д2 = 3232’). Проведя несколько подобных построений, получим линию пересечения данных поверхностей 12 - 32 – 42 – 22 (видимая часть линии). Невидимая часть линии пересечения совпадает с видимой. Причем точки 12 и 22 получены без дополнительных построений, как лежащие на пересечении очерков конуса и сферы.

Для определения границы видимости горизонтальной проекции линии пересечения отмечаем т. 52 = 52’, в которой фронтальная проекция ее пересекается с экватором сферы. Отмечаем горизонтальные проекции точек 51 и 51’, на которых и происходит изменение видимости горизонтальной проекции линии пересечения.

Рис. 3.35

Метод эксцентрических сфер.

Этот метод применяется, если оси пересекающихся поверхностей не пересекаются, а скрещиваются.

На рис. 4.36 показано построение линии взаимного пересечения усеченного конуса и открытого тора (кольца), оси которых «i» и «i’» скрещиваются.

Рис. 3.36

У поверхности тора кроме окружностей (параллелей), расположенных в плоскостях, перпендикулярных его оси «i», имеется еще семейство окружностей, расположенных во фронтальнопроецирующих плоскостях, проведенных через фронтальную проекцию оси i2. Построение начинаем с определения точек 1 и 2 линии взаимного пересечения тора и конуса, в которых пересекаются очерки поверхностей. Для определения промежуточных точек между точками 1 и 2 проведем, например, две фронтально-проецирующие плоскости 2 и D2, которые пересекают тор по окружностям,

проецировавшийся на П2 в виде отрезков Д2Д2’ и E2E2’. Для определения центров эксцентрических сфер проводим перпендикуляр из точки С пересечения отрезка Д2Д2’ с осью тора (из середины отрезка Д2Д2’) до пересечения с осью i2’ конуса в точке О2. Из этой