5.3. Мгновенная ось вращения, угловая скорость нмс

Действительное движение НМС с одной неподвижной точкой может отличаться от того поворота вокруг оси, проходящей через неподвижную точку, о котором говорится в теореме Эйлера-Даламбера.

Если два положения НМС с одной неподвижной точкой близки друг к другу, то действительное движение близко к повороту относительно оси, проходящей через неподвижную точку.

В пределе, когда два положения НМС с одной неподвижной точкой ,бесконечно близки друг к другу, действительное движение совпадает с мгновенным вращательным движением относительно мгновенной оси вращения, проходящей через неподвижную точку. Эта ось получается, как предельное положение осей конечных поворотов, когда положения НМС бесконечно приближаются друг к другу.

Рис. 58

Движение НМС с одной неподвижной точкой — сферическое движение НМС, представляет собой последовательность мгновенных вращательных движений относительно мгновенных осей вращений, проходящих через неподвижную точку, с угловыми скоростями , направленными по мгновенным осям вращения(рис. 58).

В отличие от вращательного движения НМС вокруг неподвижной оси, в котором угловая скорость направлена по неподвижной оси, при движении НМС с одной неподвижной точкой угловая скоростьнаправлена по мгновенной оси вращения (т. е. меняется также направление).

5.4. Выражение угловой скорости нмс через углы Эйлера — кинематические уравнения Эйлера

По заданным уравнениям движения (5.1) можно определить мгновенную угловую скорость .

Поскольку при движении НМС с одной неподвижной точкой изменяются все три угла Эйлера с угловыми скоростями ,,, то угловая скоростьмгновенного вращательного движения НМС относительно мгновенной оси вращения будет равна геометрической сумме угловых скоростей,,(глава 8):

. (5.2)

Используя рис. 56, спроектируем выражение (5.2) на оси неподвижной системы координат :

(5.3)

Используя рис. 56, спроектируем также выражение (5.2) на оси подвижной системы координат Охуz:

(5.4)

Формулы (5.3) и (5.4) при известных уравнениях движения НМС (5.1) позволяют определить модуль угловой скорости:

.

Направление угловой скорости можно определить по известным формулам через косинусы углов, которые составляет этот вектор с осями координат.

5.5. Угловое ускорение нмс

Так как движение НМС с одной неподвижной точкой может быть представлено в каждый момент времени, как мгновенное вращательное движение с угловой скоростью относительно мгновенной оси вращения, проходящей через неподвижную точку, аизменяется с течением времени не только по модулю, но и по направлению, то направление углового ускоренияне совпадает с направлением(в отличие от вращательного движения НМС вокруг неподвижной оси и плоскопараллельного движения НМС).

По смыслу векторной производной –угловое ускорение направлено по касательной к годографу угловой скорости в соответствующей точке (рис. 59) (по аналогии с направлением скорости по касательной к годографу радиус-вектора,).

Рис. 59

Так как

(5.5)

то, взяв производную по времени от проекций угловой скорости на оси неподвижной системы координат (5.3), можно вычислить проекции углового ускорения на неподвижные оси через углы Эйлера. Аналогично можно найти проекции углового ускорения на подвижные оси координат.

Модуль углового ускорения определяется формулой:

(5.6)

Направление углового ускорения можно определить через косинусы углов, которые составляет этот вектор с осями координат.