Теорія автоматичного керування» Конспект лекцій з дисципліни

де f – циклічна частота, Гц;

βі – уявна частина комплексного кореня (кутова частота коливань). Через період, тобто в момент t2, амплітудне значення

			2													2								2	2
С		C e i ( t1		)	C е it1						е i										C е it1			е m	C е m .
	2
		i			i																		i		1
Показник загасання за один період
					С1 С2 1																		С2
										С													С
												1											1
Підставляючи значення С1, С2, одержимо :
							2												2
		1 С1е									1 е
																							1 е 2 m .
					C
						1
де m - кореневий показник коливальності
					е 2 m 1 ,
					2 m ln( 1 ),
					2 m ln										1						,
													1
					m				1			ln			1								,
									2					1
											2							.
								ln				1
											1

Переважно в САК допускається загасання за період ψ не менш, ніж 90-98%, що відповідає діапазону μ від 2,72 до 1,57, а m від 0,37 до 0,64.

У підсумку слід підкреслити, що ступінь стійкості h однозначно визначає час керування tк, а ступінь коливальності μ і кореневий показник коливальності m

– показник загасання коливань ψ.

Діаграма Вишнєградського

Використання діаграми Вишнєградського для оцінки якості процесу керування дозволяє графічно наближено визначити ступінь стійкості h і ступінь коливальності μ для систем третього порядку.

Порядок побудови діаграми полягає в наступному.

Нехай характеристичне рівняння замкнутої системи 3 го порядки має вигляд:

а3 р3 а2 р2 а1 р а0 0

Приведемо його до нормованого виду, розділивши всі члени на à0 :

а3 р3 а2

р2 а1

р 1 0

а

а

а

Позначимо:

0

0

0

D3 а3

D

р3 , тобто p

а 3

а

0

3

а 0

Після підстановки одержимо:

D3 АD2 АD 1 0,

2

1

де A2

а

2

, A1

а1

безрозмірні коефіцієнти.

3 а2а

3

а2а

3

3

0

0

Відповідно до критерію стійкості Вишнєградського межа стійкості

визначається з рівняння А1 А2

1

(А1>0; А2>0). У площині коефіцієнтів А1,А2 це

рівняння відображається у вигляді гіперболи, асимптотами якої є осі координат, простір розташований вище гіперболи є областю стійкості.

А1	В					І
				Е
		ІІ
								F

СІІІ

3
	А1А2=1
0	3	А2
Підставивши, у	відповідне рівняння А1 А2	3, одержимо на площині

А1,А2 точку С. У цій точці виконується умова D3 3D2 3D 1 0, ( D 1)3 0. Всі три корені отриманого рівняння в точці С, D1,2,3 1, тобто є дійсними й

рівними між собою.

У загальному випадку в системі 3-го порядку корені характеристичного рівняння можуть бути:

–рівними дійсними (у розглянутій точці С);

–різними дійсними;

–один дійсний і два комплексних спряжених.

Уплощині коефіцієнтів характеристичного рівняння А2, А1 межа області, в якій корені будуть різними дійсними, визначається з умови рівності нулю дискримінанта.

А12 А22 4( А13 А23 ) 18 А1 А2 27 0

Підставляючи в зазначений вираз різні значення А1 й А2, одержимо криві СЕ й CF. Усередині області (I), обмежене кривій ЕCF дискримінант додатний, всі корені для неї дійсні. За межами цієї області дискримінант від’ємний, тому один корінь дійсний, а два інших - комплексні спряжені.

Варто нагадати, що якщо в площині розподілу коренів найближчим до уявної осі буде дійсний корінь, ступінь стійкості аперіодична, якщо ж ближче всіх розташована пара комплексних спряжених коренів то ступінь стійкості коливальна. Отже, істотне значення має взаєморозташування дійсного і пари комплексних спряжених коренів.

Розглянемо граничний випадок, коли дійсний і пара комплексних коренів перебувають на однаковій відстані α від уявної осі, тобто

D1 ; D2,3 j .

У цьому випадку характеристичне рівняння матиме вигляд:

				D3 A D2	A D 1 ( D )( D j )( D j )
				2	1
			D3 ( ( j ) ( j ) ( j )( j ))D2
				( j j )D ( j )( j )
		3	2	D3 ( 2 j 2 j 2 2 )D2
	D			2 2		D3 ( 3					2 2 )D2 3 D ( 2 2 ) 0
3			j	j										,
отже:
							А2 3			2		2
							А1 3
								2	1)				2
						(

Вирішуючи спільно отриману систему рівнянь:

А31

А2 3 А912 2 А312 2 ,

звідки:

2 А2 А312 .

Підставляючи значення α й β2 в 3-і рівняння системи, маємо:

1	А1		А12	А	А12
3			9	2	3

В остаточному підсумку одержимо рівняння:

2А13 9 А1 А2 27 0.

У площині коефіцієнтів А2,А1 це рівняння відображається кубічною параболою ВС поділяючи область стійкості поза межами площини обмеженої кривою ЕСF, на дві області, одна йз яких (II) відповідає тому розташуванню коренів, у якому найближчим до уявної осі є дійсний корінь, а інша (область III) відповідає розташуванню коренів, у якому найближчими є пара комплексних спряжених коренів.

Таким чином, діаграма Вишнєградського, що представляє собою сукупність кривих ВС, СЄ, CF, розбиває область стійкості площини коефіцієнтів А2,А1 системи 3-го порядку на три підобласті (I, II, III), кожній з яких відповідає певний вид коренів характеристичного рівняння і їх взаєморозташування на комплексній площині.

Взаєморозташування коренів і вид перехідного процеса для кожної з областей представлені на малюнках:

Область І:

+j	xп (t)

+1

t

Область II:

+j	xп (t)

+1

t

Область III:

+j

xп (t)

+1	t

По діаграмі Вишнєградського можна робити висновок лише про характер перехідного процеса, але не можна висловити певного судження про інші характеристики (час керування tк, загасання, і т.і.).

У зв'язку із цим діаграма була вдосконалена нанесенням на неї додаткових ліній нормованого ступеня стійкості ho і ступеня коливальності μ.

Визначивши значення безрозмірних коефіцієнтів А2,А1 по відповідних формулах і скориставшись діаграмою Вишнєградського, доповненою лініями ho й μ, неважко визначити ступінь стійкості й ступінь коливальності.

При цьому ступінь стійкості h й його нормоване значення ho пов'язані

залежністю	h h0 3	a0	(приводиться без доказу).
		a
		3

Частотні оцінки якості керування

Оцінки якості по частотних характеристиках замкнутих систем.

Під частотними оцінками якості будемо розуміти такі оцінки, які базуються на деяких частотних властивостях як розімкнутих, так і замкнутих систем.

Частотні оцінки замкнутих систем найбільше повно розроблені відносно оцінки запасу стійкості. Запас стійкості може бути виражений різним способом, залежно від того, яким критерієм скористатися. Так, наприклад, якщо використовується критерій стійкості Михайлова, запас стійкості відповідає радіусу кола «заборонної зони», в яку не повинен заходити годограф Михайлова.

V(ω

)

U(ω

)

Оцінка якості керування по ДЧХ замкнутої системи

Будемо вважати, що перехідний процес у САУ викликаний стрибком задаючого впливу. У загальному випадку дійсна частотна характеристика (ДЧХ) Р(ω) може мати вигляд:

	Р(ω
		Рmax(ω
	)
		)

Р(0)

ωр ωп

Інтервал частот 0 п , у якому додатності, інтервал частот 0 c

0,2Р(0)

ω

ωc

P( ) 0 , називається інтервалом називається інтервалом суттєвих

частот, якщо	при c		P( )		стає менше деякої досить	малої	величини
0,2Р(0) .	Впливом іншої		частини ДЧХ (при c ) на			якість	процесу
керування можна зневажити.

Якщо ж при ω>ωп виявляється, що P( ) < 0, 2Р(0) ,те при оцінці якості

процесу керування можна брати до уваги тільки інтервал додатності 0 п .

Сформулюємо ряд положень, що визначають взаємозв'язок ДЧХ і перехідної характеристики САУ.

1.Якщо ДЧХ P(ω) обмежена по модулю на всьому діапазоні суттєвих частот, то перехідна характеристика також обмежена по модулю.

2.Якщо P(ω) при деякій частоті ωp необмежено зростає, то в системі

виникають незатухаючі коливання із частотою ωp.

3. Якщо ДЧХ P(ω) може бути представлена у вигляді суми окремих

	K
характеристик	P ( ) Pi ( ),	то перехідний процес відповідний P(ω)
	i 1

може бути отриманий як сума перехідних процесів для кожного Pi ( )

K

х(t) xi (t),

i 1

де

х (t)	2	P( )				sin t*d
			i				.
i	0

4. Якщо ДЧХ пов'язані співвідношенням P1 ( ) K P2 ( ), то відповідні їм

перехідні процеси будуть також пов'язані співвідношенням

õ1 (t) Ê õ2 (t).

5.Чиж ширша ДЧХ (чим більшу площу вона займає), тим швидше загасає перехідний процес.

6.Стале значення керованої величини дорівнює значенню Р(ω) при

		нульовій частоті, тобто lim x(t) lim P( ).
		t		0
	7.	Початкове значення перехідної характеристики дорівнює кінцевому
		значенню ДЧХ lim x(t) lim P( ).
		t 0			P( ) >0; і
	8.	Якщо ДЧХ є додатною	незростаючою функцією, тобто
		dP( ) 0, при 0<ω<ωc, то		пере регулювання σ,% не перевищує 18%
		d
		від сталого значення х( ) .			dP( )
	9.	Якщо ДЧХ являє собою монотонну убутну функцію (тобто				<0) в
					d

області суттєвих частот, то перехідний процес також монотонним, без перерегулювання. Час перехідного процесу, тобто час керування,

tk c .

10. У випадку незростаючої ДЧХ час керування tk знаходиться у

		4
межах		< ty < .
	c	c

11.Перехідний процес буде коливальним, якщо є значення P(ω)>P(0).

З огляду на перераховані положення відносно вигляду ДЧХ й її зв'язку з перехідними характеристиками , неважко визначити основні показники якості керування: час керування ty, перерегулювання σ,%, усталену помилку керування

( ) .

Оцінка якості керування по АЧХ замкнутих систем Як частотні оцінки можна використати різні значення частот, що

визначають вигляд АЧХ замкнутої системи.

Розглянемо АЧХ стійкої замкнутої коливальної системи

А(ω) Аmax(ω)

1

0,707

ω

0

ωр

ωзр

ωп

ωе

На графіку прийняті позначення:

ωp- резонансна частота, що відповідає піку АЧХ; ωзр- частота зрізу при умові А(ωcр)=1;

ωп- частота, що відповідає верхній межі смуги пропускання, обумовлена з умови А(ωп)=0,707;

ωе-еквівалентна частота смуги пропускання, яка визначається з виразу:

ωе = 0 А2 ( )d .

Еквівалентна частота смуги пропущення являє собою основу прямокутника, висота якого дорівнює одиниці, а площа дорівнює площі під кривою квадрата АЧХ А(ω).

Оскільки резонансна частота замкнутої системи ωp у багатьох випадках близька до частоти зрізу розімкнутої системи ωзp і відповідає частоті коливань у

замкнутій системі, час досягнення першого максимуму	на перехідній
характеристиці може бути визначене по наближеній залежності

tм p çp

Якщо перехідний процес у системі закінчується через 1-2 коливання, то час керування tк можна визначити

tк= (1÷2) 2 (1 2) 2 .

p çp

Необхідне значення ωp визначається по АЧХ замкнутої системи, а ωзp – по точці перетину кола одиничного радіуса з центром в початку координат з АФЧХ розімкнутої системи.

Оцінки якості по АФЧХ розімкнутих систем.

При	використанні критерія стійкості Найквіста запас стійкості можна
визначати	по відстані АФЧХ розімкнутої системи від критичної точки С 1; j0 .

З цією метою вводяться поняття запасу стійкості по модулі й запасу стійкості по фазі.

Запас стійкості по модулі визначається відстанню від точки перетину АФЧХ розімкнутої системи з дійсною віссю до точки С 1; j0 .

Для випадку умовної стійкості, зображеного на малюнку, запас стійкості по модулю визначається розташуванням точок а й d, величинами, вираженими за звичай в децибелах

L1 20 lg OCOa 20 lg 1 ;

L2 20lg OCOd 20lg 2 .

Запас стійкості по модулі тим більше, чим більше L1 і L2, у добре демпфованих системах ці величини становлять приблизно 6÷20dВ, що відповідає 2÷10 у лінійному масштабі.

з=180º+

абсцис вбік точки С 1; j0 ,

У випадку абсолютної стійкості зміст має тільки величина L1 , тому що

L2 .

Іm(ω)

		β2					1/β1
						γ
	С			a				Re(ω)
d							0
					φ(ω)
		b

W(jω)

Фізичний зміст запасу стійкості по модулі полягає в тому, що він показує, у скільки разів можуть зміниться значення модуля АФЧХ (коефіцієнта передачі) розімкнутої системи до втрати стійкості.

Збурюючі впливи, що приводять до зміни модуля комплексного коефіцієнта передачі W(jω) без зміни фазових зсувів, називаються збуреннями по модулю.

Аналіз рисунка свідчить про те, що розглянута система може втратити стійкість не лише при зменшенні L1 й L2 (при переміщенні точок a й d вздовж осі

але й при повороті всіх векторів W(jω) в напрямку руху годинникової стрілки на кут γз (в точку C 1; j0 попадає точка b).

Запасом стійкості по фазі називається кут (ω), де (ω) –

аргумент комплексного коефіцієнта передачі розімкнутої системи при частоті, для якої значення його модуля дорівнює одиниці.

Запас стійкості по фазі визначає, на який кут в від’ємному напрямку можливий поворот векторів АФЧХ розімкнутої системи до втрати стійкості. У добре демпфованих системах запас стійкості по фазі становить 30º ÷60°.

Збурюючі впливи, що приводять до зсуву по фазі без зміни модуля W(jω) називаються збуреннями по фазі.

До збурень по модулі варто віднести всі ті збурення, які, в результаті їхньої дії, змінюють коефіцієнти передачі окремих елементів системи. Найпоширенішими збуреннями по фазі є збурення, що приводять до змін чистого запізнення в системах керування.