Теорія автоматичного керування» Конспект лекцій з дисципліни

jIm

1

K T

2T

0 0		Re
K	K
2T	T

20 lgK

+20дВ/дек

L(ω), дВ

А

20

lgω, дек

	-1	0		1	2
			ωз
		-
			20

Амплітудно-фазова частотна	Логарифмічна амплітудно-
характеристика	частотна характеристика (ЛАЧХ)

Як і для АФЧХ простої аперіодичної ланки, амплітудно-фазова частотна характеристика аперіодичної диференціюючої ланки за формою являє собою півколо, але з радіусом, який дорівнює К/2Т.

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ) аперіодичної

диференціюючої ланки описується виразом L(ω) = 20lgKω-20lg T2ω+12 , являє собою ламану лінію, яка проходить через точку А[0; 20lgK] під кутом +20 дВ/дек

, при чаcтоті ω=ç Ò1 зменшує кут нахилу на 20 дВ/дек і надалі стає горизонтальною.

– Аперіодична інтегруюча ланка

Рівняння динаміки в операційній формі і функція передачі аперіодичної інтегруючої ланки:

	p Tp 1 Xвих p K,	W p	Xвих p		K	.	(3.64)
			Xвх p		p Tp 1

Зображення за Лапласом вхідного сигналу 1 t :

X		p L 1 t			1	.	(3.65)
	вх				p

Звідси зображення за Лапласом вихідного сигналу:

Xвих p W p Xвх p	K		1				K	.	(3.66)
	p Tp 1 p				p	2	Tp 1

Оригінал вихідного сигналу можна знайти, виходячи з наступних міркувань. Судячи з наведеного виразу функції передачі для даної ланки, її

вихідний сигнал дорівнює інтегралу вихідного сигналу простої аперіодичної ланки при одиночному стрибкоподібному сигналі на вході, тобто:

	t		t
h t K(1 e		)dt Kt KTe		C,	(3.67)
	T		T

0

де С – стала інтегрування, яка визначається початковими умовами. При t = 0 h(t) = 0, тому С = - KT. Таким чином

h t Kt KTe	t	KT K(t T(1 e	t		(3.68)
	T		T	)).

Перехідна характеристика зображена на рисунку. Вона наближається до прямої лінії, яка зміщена відносно початку координат на відстань T і іде під кутом arctg K до осі абсцис.

	xвих t
0	T	t

Комплексний коефіцієнт передачі аперіодичної інтегруючої ланки:

W j

K

K j0

.

j Tj 1

0 j 1 jT

Амплітудно-частотна характеристика A :

A

K j0

K 2 02

K

.

0 j 1 jT

02 2 12 T 2

T 2 2 1

Фазово-частотна характеристика :

j

K j0

arg

0 j

arg W

arg

arg 1 jT

0

T

arctg T .

arctg

arctg

arctg

2

K

0

1

Дійсна частина комплексного коефіцієнту передачі:

K

K

Re

cos

cos

2

arctg T

.

T 2 2 1

T 2 2

1

Уявна частина комплексного коефіцієнту передачі:

(3.69)

(3.70)

(3.71)

(3.72)

			K			K
	Im				sin			sin	arctg T .	(3.73)
		T 2 2 1				T 2 2 1
								2
	A							А(ω)

0 ω

0

2

Амплітудно-частотна характеристика

Фазово-частотна характеристика

jIm

0 0	Re

Амплітудно-фазова частотна характеристика

			L(ω), дВ
	gK		А
		20
	20 l		ωз	lgω, дек
		0
	-1		1	2
		-20
		-40	-20дВ/дек
			-40дВ/дек

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ)

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ) аперіодичної

інтегруючої ланки описується виразом L(ω) = 20lgK-20lgω-20lg T2ω+12 , являє собою ламану лінію, яка проходить через точку А[0; 20lgK] під кутом -20 дВ/дек ,

при частоті ω=ç Ò1 зменшує кут нахилу ще на 20 дВ/дек і при високих частотах має кут нахилу -40 дВ/дек.

– Проста аперіодична ланка другого порядку Рівняння динаміки в операційній формі і функція передачі простої

аперіодичної ланки 2 – го порядку:

T 2 p2

2dTp 1

X

p KX

p ,

W p

Xвих p

K

.

(3.74)

Xвх p

T 2 p2 2dTp 1

вих

вх

В наведених формулах для цієї ланки показник затухання d 1. При таких умовах корені характеристичного рівняння Т2р2+2dТр+1=0 мають дійсний характер, саме тому поліном 2 – го порядку лівої частини рівняння динаміки може бути представлений у вигляді добутку двох двочленів, тобто:

T 2 p2 2dTp 1 (T1 p 1)(T2 p 1)					,
T -	1	; T -	1	,	(3.75)
1	p1	2	p2

де Т1 і Т2 – сталі часу, а р1 і р2 – корені характеристичного рівняння:

p1,2 -d Td 2 -1 .

Отже, функція передачі цієї ланки може бути записана так:

	W p	Xвих p					K
		X	вх	p		(T p 1)(T p 1)
						1	2

(3.76)

(3.77)

Зображення за Лапласом вхідного сигналу 1 t :

X		p L 1 t			1	.	(3.78)
	вх				p

Звідси зображення за Лапласом вихідного сигналу:

	Xвих p W p Xвх p	K		1		K	.	(3.79)
		(T1p 1)(T2 p 1)		p		p(T1p 1)(T2p 1)

Оригінал вихідного сигналу можна знайти, користуючись теоремою розкладення в випадку однократного нульового полюса (для коливальної ланки необхідно виконання умови d 1):

F1 p K,	F2 p (T1p 1)(T2p 1),						F1 0		K,	F2 0	1,
n 2,	p1	1	d		d2 1 ,	p2		1	d	d2 1 ,	(3.80)
		T						T
	F p 3TT p2 2(T T )p 1.
	2			1	2	1	2

Користуючись теоремою розкладення, можна визначити перехідну функцію простої аперіодичної ланки 2 – го порядку:

				1											K
h t L
															1)(T2p 1)
								p(T1p																				1
	K														K
																														t
																											e		T
																												1
	1		(				1			)(2TT (							1		) T		T )
						T						1	2			T				1				2
								1						t			1							t
								T											T
														T										T
	K	1						1				e	1							2	e			2		.
				T													T			T
									T
							2				1						2			1

		K					1
									t
						e		T
							2
	1		1
(		)(2TT (		) T	T )					(3.81)
	T		T
		1 2		1	2
	2		2

Перехідна характеристика зображена на рисунку. Вона нагадує вигляд перехідної характеристики простої аперіодичної ланки першого порядку з деякою відмінністю, яка полягає у тому , що максимум швидкості монотонного наростання сигналу припадає не на нульовий момент часу, а через деякий інтервал.

h(t)

K

t

0

Виконавши заміну p на j , отримаємо комплексний коефіцієнт передачі:

	W j	K		K j0	.	(3.82)
		(T1 j 1)(T2 j 1)		(T1 j 1)(T2 j 1)

Амплітудно-частотна характеристика A :

A					K j0							K2 02
			(T1 j 1)(T2 j 1)							T 2	2	1	T	2	2	1
				K						1			2
								.
	1				2
	T 2 2			1	T 2 2	1

Фазово-частотна характеристика :

arg W j arg K j0 arg(T1 j 1) arg(T2 j 1)

arctg 0 arctg T1 arctg T2 arctg T1 arctg T2 .

K 1 1

Дійсна частина комплексного коефіцієнту передачі:

		Re							K			cos
						T 2 2		1		T	2 2 1
						1				2
			K						cos arctg T1 arctg T2 .
	T 2 2		1		T 2 2		1
		1				2

Уявна частина комплексного коефіцієнту передачі:

Im		K			sin
	T 2 2	1	T	2 2 1
	1		2

(3.83)

(3.84)

(3.85)

A(ω) K

0

		K			sin arctg T1 arctg T2 .		(3.86)
	T 2 2	1	T 2 2	1
	1		2
						1
					0	T
					2
					ω

Амплітудно-частотна характеристика

Фазово-частотна характеристика

F2 p 2T 2p 2dT .

	Im(ω)			L(ω), дВ
			K	А
				20
	K	Re(ω)	lg		ω1з	lgω, дек
			20	ω2з
	0
			-1	0	1	2
				-20
				-40
	Амплітудно-фазова частотна			-40 дВ/дек		+20дВ/д
			Логарифмічна амплітудно-частотна
	характеристика
				характеристика (ЛАЧХ)
	Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ) цієї ланки
	описується виразом:

L(ω) = 20lgK-20lg	T1	ω+1-20lg	T2	ω+1,	(3.87)
	2	2	2	2

являє собою ламану лінію, яка горизонтально перетинає точку А[0; 20lgK]. Якщо Т2>Т1, то ω2з<ω1з, тому ЛАЧХ L(ω) змінює кут нахилу на -20 дВ/дек спочатку при

	частоті			2 з	1	, а потім ще раз зменшує кут нахилу на-20 дВ/дек при частоті
		1			Т2
	1з			. На високих частотах кут нахилу залишається -40 дВ/дек.
		Т1

– Проста коливальна ланка Рівняння динаміки в операційній формі і функція передачі простої

коливальної ланки:

T 2p2

2dTp 1

X

p KX

p ,

W p

Xвих p

K

.

(3.88)

Xвх p

T 2p2 2dTp 1

вих

вх

Звідси зображення за Лапласом вихідного сигналу:

Xвих p W p Xвх p	K	1				K
							.	(3.89)
	T 2p2 2dTp 1		p		p T 2p2	2dTp 1

Оригінал вихідного сигналу можна знайти, користуючись теоремою розкладення в випадку однократного нульового полюса (для коливальної ланки необхідно виконання умови d 1):

	F1 p K,	F2 p T 2p2			2dTp 1,	F1 0 K,			F2 0 1,
	n 2, p1		1	d j	1 d2 , p2		1	d j	1 d2 ,	(3.90)
			T				T

Перехідна функція має вигляд

K h t L 1 p T 2 p2 2dTp 1

K

K

e

1

d j

1 d

T

1

1

2

2

1

2

d j

1 d

2T

d j 1 d

2dT

T

T

1

d j

1 d2 t

K

e

T

1

2

2

1

2

d j 1 d

2T

d j

1 d

2dT

T

T

2 t

(3.91)

.

Після необхідних математичних спрощень отримаємо остаточний вигляд перехідної функції:

d

d

1 d

2

1 d

2

xвих t K

1

e

T t

sin

t

cos

t .

(3.92)

T

T

1 d

2

Перехідна характеристика зображена на рисунку. Вона має явно виражений коливальний характер і наближається в усталеному режимі до значення K.

	xвих t
2K
K
	T	2 T
0	d	1 d2	t

Виконавши заміну p на j , отримаємо комплексний коефіцієнт передачі:

				W j												K											K j0							.			(3.93)
									T 2					j	2	2dTj 1						1 T 2 2								j2dT
Амплітудно-частотна характеристика A :
A		K		j0												K 2 02																K				.
	1 T	2		2		j2dT										2 2			2				2								2 2		2		2 2 2		(3.94)
														1	T					2dT									1 T						4d T
Фазово-частотна характеристика :
	arg W j arg K j0 arg 1 T 2 2 j2dT																																				(3.95)
						0										2dT											2dT
			arctg					arctg												arctg											.
																1 T	2		2										2	2
						K																			1 T

Дійсна частина комплексного коефіцієнту передачі:

	Re												K										cos
														2
										2		2						2		2		2
					1 T
															4d T																			(3.96)
				K																				2dT
																cos arctg								1 T		2		2		.
			2 2		2					2 2 2
						4d T
	1 T
Уявна частина комплексного коефіцієнту передачі:
		Im													K									sin
												2		2		2				2		2	2
							1 T
																		4d T																(3.97)
							K																		2dT
																		sin
																					arctg				1 T			2		2		.
				2 2				2					2 2 2
									4d T
		1 T
A(ω)
																																	1
K																														0			T
																														2
0																			ω

Амплітудно-частотна характеристика

Im(ω)

Re(ω)

0

Амплітудно-фазова частотна характеристика

Фазово-частотна характеристика

L(ω), дВ

lgK		40 А
		20				lgω, дек
20
-1		0	ωз		1	2
		-20
		-40
			-40дВ/дек

Логарифмічна амплітудночастотна характеристика (ЛАЧХ)

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ) простої коливальної ланки описується виразом L(ω) = 20lgK-20lg (1- T 2 2 )2 4d 2T 2 2 , являє собою ламану лінію, яка горизонтально проходить через точку А[0; 20lgK],

а при частоті ω=ç Ò1 змінює кут нахилу зразу на -40 дВ/дек і при високих частотах має кут нахилу -40 дВ/дек.

– Ланка чистого запізнення Рівняння динаміки і функція передачі ланки чистого запізнення в

операційній формі мають вигляд (де – час чистого запізнення):

	Xвих p e p Xвх p ,	W p	Xвих p	e p .	(3.98)
			Xвх p

Звідси зображення за Лапласом вихідного сигналу:

	Xвих p W p Xвх p e p	1	e p .	(3.99)
		p
			p

Оригінал вихідного сигналу можна знайти, користуючись оберненим перетворенням за Лапласом із визначених таблиць:

1	e p			1 t .	(3.100)
h t xвих t L		p

Перехідна характеристика зображена на рисунку.

x вих t

1

0		t

Виконавши заміну p на j , отримаємо комплексний коефіцієнт передачі (користуючись формулою Ейлера):

W j e j cos j sin cos j sin .

Амплітудно-частотна характеристика A :

A

e j

cos j sin

cos 2 sin 2

1.

Фазово-частотна характеристика :

arg W j arg e j arg cos j sin

sin

arctg tg .

arctg

cos

Дійсна частина комплексного коефіцієнту передачі (3.101):

(3.101)

(3.102)

(3.103)