Теорія автоматичного керування» Конспект лекцій з дисципліни

K Tp 1 Xвх p ;			(3.16)
- ланка з введенням інтеграла:
1
K		1 Xвх p .	(3.17)
Tp
У правій частині рівняння динаміки диференціюючої ланки коефіцієнт K

має розмірність часу (с). При однакових розмінностях вхідного і вихідного сигналів можна праву частину рівняння динаміки записувати в вигляді

TpXвх p ,

(3.18

де T K .

У правій частині рівняння динаміки інтегруючої ланки коефіцієнт K має розмірність, яка обернена розмірності часу (c 1). При однакових розмінностях вхідного і вихідного сигналів можна праву частину рівняння динаміки можна записувати в вигляді

		1	Xвх p ,	(3.19)
		Tp

де T K1 .

Крім ланок з введенням похідної або інтеграла, можуть бути ланки з більш складною правою частиною, наприклад, з введенням другої похідної.

Як вже було наведено вище, назва ланці дається одночасно в залежності від виду лівої і правої частин рівняння динаміки. Наприклад, ланка, яка описується в

операційній формі рівнянням динаміки Tp 1 X		вих	p		KpX	вх	p		, має назву

аперіодичної диференціюючої ланки.

Динамічні властивості типових динамічних ланок повністю визначаються лінійними диференціальними рівняннями (функціями передачі), які ці ланки описують, якщо відомі всі сталі коефіцієнти. Для розв’язання лінійних диференціальних рівнянь необхідно, по-перше, задати початкові умови, а подруге, задати закон зміни вхідного сигналу ланок в залежності від часу.

1.3.1 Перехідні (часові) характеристики типових динамічних ланок

Якщо початкові умови нульові і вхідний сигнал являє собою одиничний

стрибок		вх
	x		t		=1 t		, то аналітична форма відображення характеру зміни

вихідного сигналу xвих t в часі має назву перехідної функції (її часто позначають як h t ), а графічне зображення перехідної функції має назву перехідної

характеристики. Є різні способи отримання перехідної функції.

Самий простий спосіб полягає в використанні оберненого перетворення за Лапласом, результати якого беруться із відповідних таблиць перетворення:

h(t) x	вих	t L 1		X	вих	p .	(3.20)

Ще один спосіб полягає в використанні теореми розкладення.

pk – корені рівняння F2 p 0, k 1, n .

В залежності від виду зображення за Лапласом вихідного сигналу необхідно використовувати той чи інший спосіб отримання перехідної функції. Оберненим перетворенням за Лапласом із заздалегідь визначених таблиць користуються, як правило, коли зображення за Лапласом вихідного сигналу нескладне. А теоремою розкладення користуються, як правило, коли зображення за Лапласом вихідного сигналу являє собою поліном другого, третього або більш високого степеня.

1.3.2 Частотні характеристики типових динамічних ланок

Виконавши в функції передачі W(p) заміну оператора Лапласа p на j ,

отримуємо комплексний коефіцієнт передачі:
W j Re j Im .	(3.21)
Маючи на увазі, що амплітудно-частотна характеристика (АЧХ)	A являє

собою модуль комплексного коефіцієнта передачі W(jω) і дорівнює квадратному кореневі із суми квадратів його уявної та дійсної частин, вона може бути побудована за виразом:

A		W j		Re 2 Im 2 .	(3.22)

Пам’ятаючи про те, що фазово-частотна характеристика (ФЧХ) є аргумент

комплексного коефіцієнта передачі W(jω) і як для будь-якого комплексного числа дорівнює арктангенсу відношення уявної та дійсної частин, то може бути побудована за виразом:

arg W j		arctg	Im	.	(3.23)
		Re

Амплітудно-фазова частотна характеристика будується у комплексній площині за формулою, якою визначається комплексний коефіцієнт передачі

W(jω) одним з двох способів: маючи значення A і , або маючи значення

Re і Im .

Дійсна частина комплексного коефіцієнту передачі:
Re A cos .	(3.24)
Уявна частина комплексного коефіцієнту передачі:
Im A sin .	(3.25)
Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика	(ЛАЧХ) здебільшого

будується спрощеним способом не як точна, а наближена. Таку характеристику називають асимптотичною ЛАЧХ.

Алгоритм побудови асимптотичної ЛАЧХ полягає в наступному. Спочатку знаходять розташування вихідної точки А. Для цього потрібно в вибраній системі

координат при ω=1 встановити перпендикуляр до осі абсцис, на якому відкласти відрізок ОА = 20 lg K, де K – коефіцієнт передачі ланки. Через точку А треба провести пряму лінію з відповідним кутом нахилу: для простої ланки 0 дВ/дек; для диференціюючої ланки + 20 дВ/дек; для інтегруючої ланки –20 дВ/дек. Проведена пряма лінія являє собою ЛАЧХ для низьких частот, яка при певних

	значеннях частот змінює кут нахилу. Ці частоти	ω	=	1	, де Т	і	– сталі часу
				T
		i
				i

поліномів (Тір+1). При тому, якщо відповідний поліном знаходиться у чисельнику функції передачі (для ланок з введенням похідної), то кут нахилу збільшується на 20 дВ/дек, якщо ж поліном знаходиться у знаменнику (для аперіодичних ланок 1 – го порядку), кут нахилу зменшується на 20 дВ/дек. У коливальної ланки в знаменнику функції передачі знаходиться поліном 2 – го

порядку (Т2р2 + 2dTp + 1), тому при частоті ω= T1 для цієї ланки кут нахилу

вищезгаданої прямої треба зменшити на 40 дВ/дек.

– Проста ідеальна ланка

h(t)

K

		t
0

Рівняння динаміки в операційній формі і функція передачі простої ідеальної ланки:

	Xвих p KXвх p ,	W p	Xвих p	K .	(3.26)
			Xвх p

Зображення за Лапласом вхідного сигналу (одиничного стрибка):

X	вх	p		L	1 t			1	.	(3.27)
								p

Звідси зображення за Лапласом вихідного сигналу:

	Xвих p W p Xвх p K	1		K .	(3.28)
		p
				p	h t ) можна знайти,
	Оригінал вихідного сигналу (перехідну функцію

користуючись оберненим перетворенням за Лапласом із заздалегідь визначених таблиць:

1	K		K .	(3.29)
h(t) L
	p

Перехідна характеристика зображена на рисунку. Вона являє собою пряму лінію, яка розташована паралельно осі абсцис на відстані K від неї.

Виконавши заміну p на j , отримаємо комплексний коефіцієнт передачі:

W j Re j Im K K j0 .

(3.30)

Амплітудно-частотна характеристика A може бути побудована за виразом:

A		W j		Re 2 Im 2	K2 02	K .	(3.31)

φ(ω)

										ω
Фазово-частотну характеристику			0
			можна побудувати за виразом:
	Im				0
arg W j arctg			arctg				0 .	(3.32)
				K
Re

Амплітудно-фазова частотна характеристика будується у комплексній

площині за формулою, якою визначається комплексний								коефіцієнт передачі
W j	одним з двох способів: маючи значення A						і , або маючи значення
Re	і Im .
		A(ω)
		K
					ω
	0
Дійсна частина комплексного коефіцієнту передачі:
			Re A cos K cos 0					K . (3.33)
Уявна частина комплексного коефіцієнту передачі:
			Im ω =A ω sin ω =Ksin 0 =0 .					(3.34)
Амплітудно-частотна характеристика						Фазово-частотна характеристика
		Амплітудно-фазова частотна					Логарифмічна амплітудно-
			характеристика				частотна характеристика
								(ЛАЧХ)

L(ω), дВ

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ) описується виразом L(ω) = 20lgK і являє собою горизонтальну пряму лінію, яка зміщена відносно осі абсцис на величину 20 lgK.

– Ідеальна інтегруюча ланка Рівняння динаміки в операційній формі і функція передачі ідеальної

інтегруючої ланки:

	Xвих p	K	Xвх p ,	W p	Xвих p		K	.	(3.35)
		p			Xвх p		p

Зображення за Лапласом вхідного сигналу 1 t :

X		p L	1 t			1	.	(3.36)
	вх					p

Звідси зображення за Лапласом вихідного сигналу:

Xвих p W p Xвх p K	1		K	.	(3.37)
	2		2
	p		p
Перехідну функцію h t можна			знайти,		користуючись оберненим

перетворенням за Лапласом із заздалегідь визначених таблиць:

1	K
h t L				Kt .	(3.38)
	p2

Перехідна характеристика зображена на рисунку. Вона являє собою пряму лінію, яка виходить з початку координат і розташована під кутом arctg K до осі

абсцис.

xвих t

K

0			1	t

Виконавши заміну p на j , отримаємо комплексний коефіцієнт передачі:

	W j	K		K j0 .	(3.39)
		j
				0 j

Амплітудно-частотна характеристика A може бути побудована за виразом

A		K j0			K 2 02		K .	(3.40)
		0 j			02 2

Фазово-частотну характеристику можна побудувати за виразом:

j

K j0

0

j

arg W

arg

arg

0

arctg

arctg

2

.

K

0

Дійсна частина комплексного коефіцієнту передачі:

Re	K					0 .
		cos		2

Уявна частина комплексного коефіцієнту передачі:

Im	K						K	.
		sin		2

(3.41)

(3.42)

(3.43)

A

		0
0		2
Амплітудно-частотна характеристика		Фазово-частотна характеристика

20 lgK

L(ω), дек

А

20

lgω, дек

-1	0	1	2

-20

-20дВ/дек

	Амплітудно-фазова частотна	Логарифмічна амплітудно-
	характеристика
		частотна характеристика

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ) інтегруючої

ланки описується виразом L(ω) = 20lgK-20lgω, являє собою пряму лінію, яка

проходить через точку А[0; 20lgK] під кутом -20 дВ/дек.

– Проста аперіодична ланка 1 – го порядку

Рівняння динаміки в операційній формі і функція передачі простої

аперіодичної ланки:

Xвих p

Tp 1 Xвих p KXвх p ,

W p

K

.

(3.44)

Xвх p

Tp 1

Зображення за Лапласом вхідного сигналу 1 t :

X

p L 1 t

1 .

(3.45)

вх

p

Звідси зображення за Лапласом вихідного сигналу:

K

1

K

Xвих p W p Xвх p Tp 1 p

p Tp 1 .

(3.45)

Оригінал вихідного сигналу можна знайти, користуючись теоремою

розкладення в випадку однократного нульового полюса:

F1

p K,

F2 p Tp 1,

F1 0 K, F2

0 1,

(3.47)

n 1,

p 1 ,

F p T .

1

T

2

Отже, перехідна функція має вигляд

1

K

K

K

1

t

t

e

e

h t L

p Tp

1

1

1

T

K 1

T

.

(3.48)

T T

(1)

Перехідна характеристика зображена на рисунку 3.

xвих t

K

0

T

t

При t T

перехідна характеристика досягає приблизно 63,2 % від значення

K, при t 2T

приблизно

86,5 %,

при

t 3T

приблизно

95,0 %,

при t 4T

приблизно 98,2 %.

Виконавши заміну p на j , отримаємо комплексний коефіцієнт передачі:

W j

K

K j0

.

(3.49)

Tj 1

1 jT

може бути побудована за виразом:

Амплітудно-частотна характеристика A

A

K j0

K 2 02

K

.

(3.50)

1 jT

12 T 2

T 2 2

1

Фазово-частотна характеристика може бути побудована за виразом:

arg W j arg K j0 arg 1 jT

0

T

arctg T .

(3.51)

arctg

arctg

K

1

Дійсна частина комплексного коефіцієнту передачі:

Re

K

cos

K

cos(arctg T .

(3.52)

T 2 2

T 2 2

1

1

Уявна частина комплексного коефіцієнту передачі:

Im

K

sin

K

sin arctg T .

(3.53)

T 2 2

T 2 2

1

1

A

K

K

2

	1
0	T

Амплітудно-частотна характеристика

jIm

0 0	K	K Re
	2

K2 T1

Амплітудно-фазова частотна характеристика

Фазова-частотна характеристика

L(ω), дВ

А

K

20

20lg				lgω, дек
-1	0 ωз		1	2 ω, с-1
	-20			-20дВ/дек

Логарифмічна амплітудночастотна характеристика (ЛАЧХ)

За формою АФЧХ простої аперіодичної ланки являє собою півколо радіусом, який дорівнює К/2.

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ) простої

аперіодичної ланки 1 –го порядку описується виразом L(ω) = 20lgK-20lg T ω+1
2	2

, являє собою ламану лінію, яка проходить горизонтально через точку А[0;

	20lgK], а при чаcтоті ω=	1		змінює кут нахилу на	-20 дВ/дек.
		Ò
	ç

– Аперіодична диференціююча ланка Рівняння динаміки в операційній формі і функція передачі аперіодичної

диференціюючої ланки:

	Tp 1 Xвих p KpXвх p ,	W p	Xвих p		Kp		.	(3.54)
			Xвх p		Tp 1

Зображення за Лапласом вхідного сигналу 1 t :

X		p L 1 t			1	.	(3.55)
	вх				p

Звідси зображення за Лапласом вихідного сигналу:

	Xвих p W p Xвх p	Kp 1				K		.	(3.56)
		Tp 1 p				Tp 1

Оригінал вихідного сигналу можна знайти, користуючись теоремою розкладення в випадку простих полюсів:

F

p K,

F p Tp 1,

n 1,

p

1

,

F

p T .

(3.57)

1

2

1

T

2

Отже, перехідна функція має вигляд

1

K

K

1

t

K

t

h t L

T

e T

T

e T .

(3.58)

Tp 1

Перехідна характеристика зображена на рисунку.

x вих t

K

T

		0	T	t
При		t T перехідна характеристика		досягає приблизно 36,8 % від
значення	K	, при t 2T	- 13,5 %, при t 3T -	5,0 %, при t 4T - 1,8 %.
	T

Виконавши заміну p на j , отримаємо комплексний коефіцієнт передачі:

W j

Kj

0 jK .

(3.59)

1

Tj

1 jT

Амплітудно-частотна характеристика A може бути побудована за

виразом:

A

0 jK

02 K 2

K

1 jT

.

(3.60)

12 T 2

T 2 2 1

Фазово-частотна характеристика може бути побудована за виразом:

arg 0 jK arg 1 jT

arg W j

K

T

arctg T .

(3.61)

arctg

arctg

1

2

0

Дійсна частина комплексного коефіцієнту передачі:

Re

K

(3.62)

T 2 2

1

cos

arctg T .

2

Уявна частина комплексного коефіцієнту передачі:

Im

K

(3.63)

2 2

sin

2

arctg T .

T

1

A

K

2

T

4

K

T 2

0

1

1

T

0

T

Амплітудно-частотна характеристика

Фазово-частотна характеристика