Теорія автоматичного керування» Конспект лекцій з дисципліни

Re cos .

Уявна частина комплексного коефіцієнту передачі (3.101):

Im sin .

	A
1
		0	arctg
0
Амплітудно-частотна характеристика

(3.104)

(3.105)

				Фазово-частотна характеристика
			j Im		40	L(ω), дВ
			1
					20
	1	0	1	Re			lgω, дек
				-1	0	1	2
			1		-20
	Амплітудно-фазова частотна			Логарифмічна амплітудно-
				частотна характеристика (ЛАЧХ)
	характеристика

Амплітудно-фазова частотна характеристика ланки чистого запізнення являє собою коло одиничного радіуса.

Оскільки А(ω)=1, то логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ) ланки чистого запізнення L(ω) = 0 і являє собою пряму лінію, яка співпадає з віссю абсцис.

1.4 Стійкість лінійних систем.

Під стійкістю системи автоматичного керування розуміють здатність системи повертатися до сталого режиму після зникнення зовнішніх сил, які вивели її з такого стану.

Для визначення стійкості системи розроблені певні вимоги до параметрів математичної моделі (коефіцієнтів рівнянь, коренів рівнянь динаміки) та деяких характеристик системи керування. Вказані вимоги, які повинні задовольнятися в стійких системах, мають назву критеріїв стійкості.

1.4.1 Кореневий критерій стійкості.

Припустимо, що диференціальне рівняння динаміки замкнутої системи в

операторній формі запису має вигляд
A(p)x(t)=B(p)f(t),	(4.1)

де x(t) - керована координата; f(t) - зовнішній вплив;

A(р) і B(р) поліноми оператора диференціювання р.

Коефіцієнти полінома A(р) залежать тільки від параметрів основного замкнутого контуру керування, а коефіцієнти полінома B(р) - ще й від місця прикладення зовнішнього впливу.

Рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами представляється у вигляді суми двох складових

x(t)=хв (t)+xз(t),

де хв(t) - вільна складова руху в системі, обумовлена загальним рішенням однорідного диференціального рівняння A(p)x(t)=0;

хз(t) - змушена складова руху, що виникає внаслідок наявності зовнішнього впливу f(t) і обумовлена частковим рішенням неоднорідного диференціального рівняння, вона визначає усталений режим у системі.

У стійкій системі по закінченню перехідного процесу наступає сталий режим, обумовлений змушеною складовою хз(t), отже, вільна складова руху хв(t)

повинна прагнути до нуля, тобто	lim xв(t) 0 .	Рішення однорідного
	t

диференціального рівняння A(р) хв(t)=0 відшукується у вигляді:

s	n-s
	2	(4.2)
xв(t) Сie it	Ak e kt sin( k t k ) ,
i 1	k s 1

де n – степінь характеристичного рівняння А(р) = 0, загальна кількість коренів ; s – кількість дійсних коренів ;

рі= i - дійсні корені характеристичного рівняння; рк= k j k - комплексні корені;

Ci, Аk, k - довільні постійні інтегрування.

Умова стійкості системи	limxв(t) 0	буде виконуватися лише при i 0 й
	t

k 0 , тобто коли дійсні корені та дійсні частини комплексних спряжених

коренів характеристичного рівняння мають від’ємний знак.

Тобто ,необхідна умова стійкості полягає в тому, що в стійкій системі керування дійсні корені характеристичного рівняння та дійсні частини комплексних спряжених коренів мають бути від’ємними.

Якщо хоча б один корінь буде мати додатну дійсну частину, то відповідний йому член наведеної формули стане розбіжним й система виявиться нестійкою. Якщо відобразити розташування коренів на комплексній площині, то вони

повинні розташуватися в лівій на півплощині відносно уявної осі. Уявну вісь, яка розмежовує області стійких та нестійких систем, називають межею стійкості.

		jω
	р3	р7
р1	р2	р6	+1
	р5	0

р4 р8

Система керування (при відсутності додатних дійсних частин коренів характеристичного рівняння) може знаходитися на межі стійкості у двох випадках:

–Якщо є хоча б один нульовий корінь (р6), така система називається нейтральною. В такій системі може установити любе значення керованої величини.

–Якщо є хоча б одна пара чисто уявних кореня (р7,8) (з нульовою дійсною частиною), то в такій системі встановлюються незатухаючі коливання з постійною амплітудою. В такому випадку межа стійкості називається коливальною межею стійкості.

1.4.2Теореми стійкості Ляпунова.

Розглянуті вище вимоги до розподілу коренів для забезпечення стійкості абсолютно застосовні до лінійних систем. Але ж реальні системи не є строго лінійними, лінійні характеристики ланок та їх лінійні диференціальні рівняння динаміки утворюються в результаті лінеаризації реальних рівнянь. При тому здійснюються певні спрощення (наприклад, відкидання членів вищого порядку малості), тому виникає питання, чи не зроблять суттєвого впливу на стійкість систем ті фактори, якими ми нехтуємо? Відповідь на це питання дають теореми Ляпунова.

1-а теорема. Якщо характеристичне рівняння лінеаризованої системи має усі корені з від’ємними дійсними частинами, то реальна система також буде стійкою, тобто врахування малих членів розкладення Тейлора не можуть порушити стійкість системи.

2-а теорема. Якщо характеристичне рівняння лінеаризованої системи має має хоча б один корінь з додатною дійсною частиною, то реальна система також буде нестійкою, тобто врахування малих членів розкладення Тейлора не можуть зробити систему стійкою.

3-а теорема. При наявності нульових або чисто уявних коренів характеристичного рівняння лінеаризованої системи поведінка реальної системи

якісно не визначена. Врахування членів вищого порядку малості розкладення Тейлора можуть зробити реальну систему як стійкою, так і нестійкою.

1.4.3 Аналітичні критерії стійкості.

– Необхідна умова стійкості.

Визначення коренів характеристичного рівняння без наявності необхідних технічних засобів іноді буває досить важко, тому потрібні якісь інші способи оцінки стійкості систем без знаходження коренів. Відомо, що корені характеристичного рівняння однозначно пов'язані з його коефіцієнтами, що надає можливість висунути певні вимоги до цих коефіцієнтів, задоволення яких має забезпечити стійкість системи керування.

Наприклад, для рівняння:

pn+ an-1pn-1+………….+a0=0

(4.3)

у відповідності до співвідношень Вієтта для дійсних коренів:

an-1=-(р1+ р2+ …….+ рn);

an-2=р1 р2+ р1 р3+ …….+ рn-1 рn;

a. n-3=-(р1 р2 р3+ р1 р2 р4+ …….+ рn-2 рn-1 рn); (4.4)

.

an-2=(-1)nр1 р2 р3……. рn .

Проаналізувавши наведені формули, неважко помітити, що в стійких системах при від’ємних значеннях усіх дійсних коренів (рі 0), усі коефіцієнти ai>0, тому для стійкості системи необхідно, щоби коефіцієнти характеристичного рівняння були додатними. Це твердження не має зворотної обов’язковості: додатність коефіцієнтів не свідчить про обовязкову від’ємність коренів характеристичного рівняння системи, тому при додатних коефіцієнтах деякі корені можуть бути додатними, отже система буде нестійкою.

Вимога щодо знаків коефіцієнтів характеристичного рівняння стосується не тільки дійсних коренів, а і у загальному випадку. Це можна обґрунтувати наступним чином.

Запишемо характеристичне рівняння для загального випадку:

anpn+ an-1pn-1+………….+a0=0	(4.5)
або
an(p- p 1)( p- p 2)…( p- p n)=0,	(4.6)

де p 1, p 2, p 3,….., p n – корені характеристичного рівняння.

Будемо вважати, що an>0, що завжди можна забезпечити. Припустимо, що усі корені дійсні і, як потрібно для стійкості, від’ємні: p 1=-α1, p 2=-α2, p 3=-α3,….., p n=-αn.

Тоді характеристичне рівняння матиме вигляд:
an(p+ α1)( p+ α2)…( p+ p n)=0.	(4.7)

Якщо перемножити між собою двочлени, то жоден коефіцієнт отриманого рівняння не матиме знаку мінус. Це відповідає вже розгляданому вище випадку.

При наявності декількох пар комплексних спряжених коренів з від’ємною дійсною частиною, наприклад, pk,k+1 = -αk jβk , кінцевого результату не змінить, тому що при перемноженні відповідних двочленів отримаємо:

(p+ αk-jβk)·(p+ αk+jβk)=( p+ αk)2+βk2= p2+2рαk+αk2+ βk2.

(4.8)

Тобто, і у випадку наявності комплексних спряжених коренів з від’ємною дійсною частиною жоден з коефіцієнтів характеристичного рівняння не може бути від’ємним. Тому взагалі, необхідною умовою стійкості систем автоматичного керування є додатність усіх коефіцієнтів характеристичного рівняння. Для стійкості системи вимога додатності коефіцієнтів є необхідною, але не завжди є достатньою.

Для систем першого й другого порядку необхідна умова стійкості разом з тим є і достатньою. Для систем більш високого порядку окрім виконання необхідної умови потрібне виконання ще додаткових вимог. Для оцінки стійкості систем розроблені спеціальні критерії.

1.4.2 Алгебраїчні критерії стійкості.

Вперше задача знаходження критерію стійкості була поставлена Максвелом у 1868 році і була успішно розв’язана у 1873 році Раусом для рівнянь 4-ї і 5-ї степені, а вже у 1877 році повністю.

–Критерій стійкості Рауса (без доведення).

Увідповідності до алгоритму, запропонованого Раусом , складають таблицю, в якій у першому рядку записують коефіцієнти характеристичного рівняння (4.5) через один, починаючи з коефіцієнта при старшій похідній. У другому рядку записують решту коефіцієнтів те ж через один.

	№	Допоміж			Коефіцієнти характеристичного рівняння
		на
	з	величин		1	2	3	·····
	/	а

пr0

1

—

an

an-2

an-4

an-6

2

—

an-1

an-3

an-5

an-7

3

r0

an

a31 an-2 - r0

an-3

a32

an-4 - r0

an-5

a33 an-6 - r0

an-7

·····

an-1

4

r1

an-1

a41 an-3 - r1

a32

a42

an-5 - r1

a33

a43 an-7 - r1

a34

·····

a31

5

r2

a31

a51 a32 - r2

a42

a52

a33 - r2

a43

a53 a34 - r2

a44

·····

a41

6

·····

·····

·····

·····

·····

·····

·····

·····

·····

·····

	n+	rn-2=	an+1,1=	an+1,2=	an+1,3=	·····
	1

Для того, щоби при додатності знаків усіх коефіцієнтів характеристичного рівняння система була стійкою, необхідно і достатньо, , щоби знак першого стовпця був додатним, тобто : an>0; an-1>0; a31>0; a41>0;

a51>0 і т. д.

Складання таблиці, а особливо розрахунки досить трудомісткі і монотонні.

– Критерій стійкості Гурвіца.

Критерій був сформулюваний Гурвіцом у 1985 році на прохання словацького професора Стодоли. Для визначення стійкості системи керування необхідно скласти матрицю з коефіцієнтів характеристичного рівняння замкненої системи за нескладним алгоритмом. В першому рядку записують коефіцієнти через один, починаючи з другого, у другому рядку виписують коефіцієнти теж через один, починаючи з першого. Наступні рядки заповнюють коефіцієнтами, дотримуючи закономірність зміни індексів, при тому, якщо значення індексу перевищує n, або менше 0, то в відповідну комірку матриці записують 0:

an-1	an-3	an-5	an-7	……
an	an-2	an-4	an-6	……
0	an-1	an-3	an-5	……
0	an	an-2	an-4	……
0	0	an-1	an-3	……
0	0	an	an-2	……

Система автоматичного керування буде стійкою, якщо при виконанні необхідної умови стійкості (aі>0), головний визначник матриці Гурвіца і всі його діагональні мінори додатні.

– Критерій стійкості Вишнєградського.

Критерій стійкості запропонований Вишеградським для використання лише для систем 3 – го порядку, характеристичне рівняння якої має вигляд:

a3p3+ a2p2+ a1p+a0=0.

(4.9)

Для стійкості систем 3 - го порядку необхідно і достатньо, щоби при додатності всіх коефіцієнтів характеристичного рівняння добуток середніх коефіцієнтів був більше добутку крайніх, тобто:

a3>0; a2>0; a1>0; a0>0; (4.10) a1· a2> a0 ·a3.

Цей критерій є частковим випадком критерію стійкості Гурвіца для системи третього порядку, тому як визначник матриці Гурвіца має вигляд:

	a2	a0		a1 a2 - a0 a3 .		(4.11)
	a3	a1
Для стійкої системи має виконуватися вимога його додатності:
		a1 a2 -			a0 a3 >0,	(4.12)
або:		a1 a2			a0 a3 ,
						(4.13)

що повністю співпадає з формулюванням критерію стійкості Вишнєградського.

1.4.3Графічні критерії стійкості.

–Критерій стійкості Михайлова.

Зметою обґрунтування критерію, який був сформульований у 1936 році, розглянемо характеристичний поліном замкненої системи n – го порядку:

F(p) = anpn+ an-1pn-1+………….+a0.	(4.14)
Підставимо в цей поліном p = jω.
F(jω) = an (jω) n+ an-1 (jω) n-1+………….+a0.	(4.15)
Виділимо в ньому дійсну та уявну частини:
F(jω) = X(ω) +jY(ω) = |F(ω)|·ejφ(ω),	(4.16)

де дійсна частина X(ω) = a0- a2 ω2+ a2 ω2+ a4 ω4- a6 ω6…,

а уявна частина Y(ω) = a1ω - a3 ω3+ a5 ω5- a7 ω7+…,

модуль поліному |F(ω)| = X 2 ( ) Y 2 ( ) , аргумент поліному φ(ω) = arctg YX (( )) .

Змінюючи параметр ω від 0 до ∞, побудуємо у комплексній площині множину векторів F(jω) і, поєднавши між собою їх кінці, отримаємо так званий годограф Михайлова.

Сформулюємо теорему: характеристичне рівняння не буде мати коренів у правій півплощині комплексної площини розміщення коренів характеристичного рівняння, якщо повний приріст аргументу φF(ω) характеристичного поліному F(jω) при зміні ω від 0 до ∞, буде дорівнювати n·π/2, де n – степінь полінома.

Запишемо характеристичний поліном F(jω) у вигляді:
F(jω) = an(jω – p1) (jω – p2) (jω – p3) ···(jω – pn),	(4.17)

де рі – корені характеристичного рівняння.

Кожен співмножник, що позначений у дужках, являє собою комплексне число. При перемноженні комплексних чисел їх модулі перемножуються, а аргументи додаються. Тому загальний кут повороту ΔφF(ω) вектора F(jω) при зміні ω від 0 до ∞, дорівнюватиме сумі кутів повороту окремих співмножників

Δφі(ω), що записані у дужках, тобто:
ΔφF (ω) = Δφ1(ω) + Δφ2(ω) + Δφ3(ω) + Δφ4(ω) + · · · + Δφn(ω).	(4.18)

Визначимо кути повороту окремих співмножників в залежності від типу коренів.

Нехай корінь р1 є дійсне від’ємне число, р1 = -α1 (α1>0). Перший співмножник у дужках (4.17) матиме вигляд (jω + α1), тобто це є комплексне

число з модулем |jω + α1)| = 2 12 та аргументом φ1(ω) = =arctg . При зміні

1

ω від 0 до ∞ аргумент φ1(ω) зміниться від 0 до π/2, тобто приріст аргументу даного співмножника

Δφ1(ω) = π/2- 0 = π/2.

(4.19)

Якщо припустити, що всі інші корені характеристичного рівняння теж є дійсними від’ємними числами, то загальний кут повороту вектора F(jω) дорівнюватиме Δφм(ω) = n·π/2.

Припустимо, що корінь р2 є дійсне додатне число, р2 = α2. Другий співмножник характеристичного поліному F(jω) матиме вигляд (jω – α2), тобто це

є теж комплексне число з модулем |jω – α2)| = 2 2

2 та аргументом φ2(ω) =

=-arctg . У такому випадку, при зміні ω від 0 до ∞, аргумент φ2(ω) зміниться

2

від 0 до (-π/2), тобто приріст аргументу даного співмножника

Δφ2(ω) = (-π/2)- 0 = =- π/2.

(4.20)

З отриманого можна зробити висновок, що кожний дійсний від’ємний корінь збільшує загальний кут повороту вектора F(jω) на π/2, а кожний додатний корінь зменшує його на π/2.

Розглянемо вплив комплексних спряжених коренів з від’ємною та додатною дійсними частинами. Нехай 3-й та 4-й корені є комплексними спряженими з від’ємною дійсною частиною: р3,4 = -α3 jβ3, тому відповідні співмножники характеристичного поліному F(jω) матимуть вигляд (jω +α3- jβ3)·(jω + α3+jβ3).

Модулі кожного з співмножників дорівнюють: (jω +α3-jβ3)|= = ( - 3 )2 32

,а |(jω + α3+jβ3)| = ( 3 )2 32 . Аргументи відповідно: φ3(ω) = =arctg - 3 ,

3

φ4(ω) = arctg 3 3 . При зміні ω від 0 до ∞ аргумент приріст Δφ3(ω) складатиме

Δφ3(ω) = π/2- arctg	3 , а Δφ4(ω) = π/2- arctg	3	,
	α3	α3

тобто загальний приріст аргументів обох векторів:

Δφ3,4(ω =Δφ3(ω)+Δφ4(ω) =π/2 +arctg	3	+ π/2 - arctg	3	= 2· π/2. (4.21)
	α3		α3

Іншими словами, кожний з двох спряжених комплексних коренів з від’ємною дійсною частиною, як і один дійсний від’ємний корінь, збільшує загальний кут повороту вектора F(jω) на π/2.

Неважко показати, що кожний з двох спряжених комплексних коренів з додатною дійсною частиною, наприклад для р5,6 = α5 jβ5, як і один дійсний додатний корінь, зменшує загальний кут повороту вектора F(jω) на π/2, тобто

Δφ5,6(ω) = - 2· π/2.

(4.22)

Таким чином, наявність коренів з від’ємною дійсною частиною приводить до збільшення аргументу комплексного поліному F(jω) на величину π/2, а з додатною дійсною частиною до зменшення на ту ж величину π/2.

Нехай кількість коренів характеристичного рівняння у правій півплощині дорівнює l; завдяки їм, зміна аргументу дорівнюватиме -l·π/2, решта (n-l) коренів, що знаходяться у лівій півплощині, змінять аргумент на величину (n-l)·π/2.

Сумарний приріст аргументу характеристичного полінома F(jω) складатиме:

ΔφF (ω) = (n-l)·π/2 + (-l·π/2) = n· π/2 - l·π.

(4.23)

Тобто, якщо в правій півплощині корені відсутні (l = 0), то ΔφF(ω) = n· π/2, що і потрібно було довести.

Для стійкості системи автоматичного керування необхідно і достатньо, щоби вектор комплексного поліномуF(jω), кінець якого при зміні ω від 0 до ∞ описує криву(годограф) Михайлова, мав кут повороту n·π/2.

Більш поширене інше формулювання критерію Михайлова: Для стійкості системи автоматичного керування необхідно і достатньо, щоби при зміні ω від 0 до ∞ годограф Михайлова пройшов послідовно у додатному напрямку n квадрантів.

При тому слід пам’ятати, що взагалі ω являє собою деякий штучний параметр, який за своєю фізичною суттю не є частотою.

На рисунку зображені криві Михайлова для різних за стійкістю систем керування 3 –го порядку. Як видно з рисунка, у відповідності до критерію стійкості Михайлова годограф 1 відповідає стійкій системі, 2 – нестійкій, а 3 та 4

– системам, які знаходяться на межі стійкості. Причому, значення ω, при якому

годограф 3 проходить через початок координат, відповідає саме частоті незатухаючих коливань, характеристичне рівняння у даному випадку має принаймні одну пару чисто уявних кореня з нульовою дійсною частиною.

Y(ω)

1

X(ω)

2

43

Увипадку, коли годограф починається з початку координат, характеристичне рівняння має один нульовий корінь (у характеристичному рівнянні відсутній вільний член).

–Критерій стійкості Найквіста.

На відміну від попередніх випадків, критерій стійкості Найквіста дозволяє робити висновки щодо стійкості замкнених систем по вигляду АФЧХ розімкненої системи.

Будемо вважати, що функція передачі розімкненої системи має вигляд:

W ( p)	M ( p)	,	(4.25)
	N ( p)

де M(p), N(p) – відповідно чисельник та знаменник функції передачі.

При тому слід пам’ятати, що в мінімально фазових системах порядок чисельника m не перевищує порядку знаменника n.

При підстановці р =jω в (4.25) отримаємо комплексний коефіцієнт передачі

W ( j )	M ( j )	U ( ) jV ( ) ,	(4.26)
	N ( j )

де U(ω), V(ω) – дійсна та уявна частини комплексного коефіцієнту передачі. Якщо змінювати ω в межах -∞<ω<+∞, то отримаємо повну АФЧХ як

дзеркальне відображення характеристик отриманих при зміні ∞ в межах -∞<ω<0 та 0<ω<+∞. Оскільки m ≤ n, то при частоті ∞→0 модуль W(jω) , буде наближатися до нуля, тобто АФЧХ розімкненої системи має закінчуватися в початку системи координат.

Сформулюємо вимоги до амплітудно-фазової частотної характеристики розімкненої системи, при виконанні яких система автоматичного керування в замкненому стані буде стійкою.