Теорія автоматичного керування» Конспект лекцій з дисципліни

На pис. 1.6 наведена спрощена схема статичної системи автоматичного регулювання рівня рідини в гідравлічному об'єкті.

Сталий режим у системі можливий при рівності притоку Qпр. і витрат рідини Qв, тобто при Qпр. = Qв. Такий рівноважний стан може установлюватися при різних значеннях Qв і h, причому, чим більше Qв, тим менше h.

Qпр

РО

Qв	h

Рис. 1.6

Це означає, що стале значення керованої величини h залежить від величини зовнішнього збурюючого впливу Qв Статичні системи забезпечують набуття системою керування сталого режиму, але навіть теоретично не забезпечують відповідність керованої величини заданому значенню.

h

hзд

Qв

Рис. 1.7

Таким чином, для статичних систем характерна наявність помилки керування в сталому режимі, що підтверджується графіком залежності керованої величини h від зовнішнього впливу Qв наведеним на рис. 1.7

Розглянемо астатичну систему (рис. 1.8):

+

П

uжив

R

–

CД

РО Qпр

Qв	h

Рис. 1.8

На наведеному рисунку за допомогою правого движка змінного опору R установлюють задане значення рівня, положення ж лівого движка визначається висотою підйому поплавця, тобто фактичним значенням рівня. Сталий режим наступає тільки в одному єдиному випадку, коли обидва движки змінного опору R будуть перебувати навпроти один одного, тобто коли фактичний рівень рідини відповідатиме заданому рівню. В іншому випадку, напруга, що знімається з обох движків, посилена підсилювачем П змусить серводвигун CД обертатися, і за допомогою регулюючого органа змінювати величину притоку Qпр.; система буде перебувати в перехідному режимі. Таким чином, в астатичній системі забезпечується не тільки можливість сталого режиму, але й, саме головне, повна відповідність керованої величини заданому значенню у сталому режимі, тобто помилка керування у статиці завжди дорівнюватиме нулю.

Графік залежності керованої величини h від зовнішнього впливу Qв в астатичній системі має вигляд:

h

hзд

Qв

Рис. 1.9

Астатичні системи мають високу статичну точність керування, але, при цьому, в таких системах у порівнянні зі статичними підвищується час перехідного процесу, коливальність процесу керування, мають місце значні динамічні відхилення керованої величини від сталого значення.

–По наявності додаткового джерела енергії розрізняють системи керування прямої й непрямої дії. Так, у розглянутій статичній системі робота по переміщенню регулювального органа РО здійснюється за рахунок сили, що виштовхує поплавок, тобто за рахунок енергії об'єкта. Таку систему керування варто віднести до систем прямої дії. В астатичній системі регулювальний орган РО переміщується за допомогою серводвигуна СД, якому для його роботи, як і для вимірювальної схеми та підсилювачу П, необхідні додаткові незалежні джерела енергії. У цьому випадку маємо систему керування непрямої дії.

–По наявності в системі елементів, що перетворюють безперервну інформацію в дискретну форму, системи керування поділяються на безперервні та дискретні системи. Дискретні системи містять хоча б один елемент, вихідна величина якого приймає дискретні значення при плавній зміні вхідної величини. Існують різні способи дискретизації безперервної інформації за допомогою різних релейних елементів (квантування за рівнем), імпульсних елементів (квантування за часом), кодоімпульсних модуляторів (квантування за рівнем і за часом). При цьому функціональна схема повинна містити специфічні елементи, що дозволяють перетворювати характер інформації й обробляти перетворену інформацію по певному алгоритму. На функціональній схемі, зображеній на рис. 1.10, позначені необхідні елементи, які використовують в дискретних системах керування:

y(t)

xвих(t)

КІМ

ДОП

ПКА

Безперервна

+

–

частина

КІМ

Рис. 1.10

На схемі прийняті позначення:

КІМ – кодоімпульсний модулятор; ДОП – дискретний обчислювальний пристрій; ПКА – перетворювач код-аналог;

y(t) – завдання;

xвих(t) – керована величина.

Якщо безперервна величина представлена у вигляді якого-небудь цифрового коду, то такі дискретні системи прийнято називати цифровими; у

структурі цих систем за звичай є аналого-цифрові (АЦП) і цифро-аналогові (ЦАП) перетворювачі й цифровий обчислювальний пристрій (ЦОП).

–По наявності нелінійних елементів системи діляться на лінійні й нелінійні системи. При цьому, якщо в системі є хоча б один нелінійний елемент, то така система називається нелінійною. До нелінійних елементів відносять елементи системи, у яких у сталому режимі вихідна величина не прямо пропорційно залежить від вхідної величини.

–По наявності місцевих зворотних зв'язків розрізняють одноконтурні й багатоконтурні системи керування.

–Залежно від числа керованих величин системи бувають одномірні й багатомірні. При цьому багатомірні системи можуть бути системами зв'язаного й незв'язаного керування.

–По функціональному призначенню системи класифікуються як системи автоматичного керування температурою, тиском, вологістю і т.і.

–По виду енергії, яка використовується для керування, розрізняють електричні, пневматичні, гідравлічні, механічні й т.д. системи керування.

1.2 Математичне моделювання лінійних систем керування.

1.2.1Лінеаризація нелінійних диференціальних рівнянь динаміки САУ.

Математичний опис, необхідний для дослідження процесів керування,

виконується у вигляді диференціальних, інтегральних або алгебраїчних рівнянь. Динамічні процеси в інерційних системах та їхніх елементах описуються диференціальними або інтегральними рівняннями, що називають рівняннями динаміки, оскільки відбивають зміну в часі координат стану елементів з

урахуванням швидкості, прискорення й т.д. (1-я, 2-я … похідні).

Безінерційні елементи, як у перехідному, так й у сталому режимі, описуються алгебраїчними рівняннями, які називають рівняннями статики, оскільки відбивають співвідношення вхідних і вихідних величин у сталому режимі.

Якщо параметри елементів зосереджені (у цьому випадку координати стану є функціями лише часу), то рівняння динаміки є звичайним диференціальним рівнянням. Системи з розподіленими параметрами, в яких координати стану є функцією не лише часу, а й геометричних координат, описуються рівняннями в частинних похідних.

У загальному випадку диференціальні рівняння нелінійні, але при малих відхиленнях координат системи від стану рівноваги нелінійні рівняння можна приблизно замінити лінійними. Ця процедура заміни нелінійного рівняння лінійним називається лінеаризацією. Чим менші відхилення координат від стану рівноваги, тим точніше лінеаризоване рівняння описує реальний процес.

При складанні математичного опису будь-якої складної системи її попередньо представляють у вигляді сукупності окремих елементів

взаємозалежних між собою, установлюють фізичний зміст вхідних і вихідних величин.

Розглянемо якийсь елемент системи автоматичного керування, на який впливають одночасно дві вхідних величини (х1(t); х2(t)), в результаті чого змінюється вихідна величина х3(t) (рис. 1.11).

х1(t)
	Элемент
			х3(t)
х2(t)	САК

Рис. 1.11

Припустимо, що для розглянутого елемента складене диференціальне рівняння динаміки, що виявилося нелінійним.

F(x1 (t); x1 (t); x2 (t); x2 (t); x2 (t); x3 (t); x3 (t); x3 (t); x3 (t)) 0

(1.1)

Крапки над позначенням вхідних і вихідних змінних означають похідну, а їхня кількість – порядок похідної.

З огляду на складності аналізу нелінійних рівнянь, а також той факт, що в процесі керування всі вхідні й вихідні координати мало відхиляються від деяких сталих значень, лінеаризація представляється доцільною.

Припустимо, що сталий режим у системі має місце при деяких постійних

значеннях х10, х20, х30, тому їх похідні в такому випадку дорівнюють нулю:

х1(t)|0=x10; х2(t)|0=x20; х3(t)|0=x30

(1.2)

x1

0 x2

0 x2

0 x3

0 x3

0 x3

0 0

Тоді, з огляду на те, що в сталому режимі всі похідні дорівнюють нулю, рівняння статики приймає вид:

F (x10 ; x20 ; x30 ) 0	(1.3)
Вважаючи, що в динаміці всі змінні, як самі величини, так і їх похідні
отримують відносно стану рівноваги деякі прирости	, позначимо ці значення у
динаміці:

х1(t) = х10 + х1(t); x1(t) = 0+ x1 (t) ;

х2(t) = х20 +

х2(t); x2 (t) = 0+

x2 (t) ; x2 (t) = 0 +

x2 (t) ;

х3(t) = х30 +

х3(t); x3 (t) = 0+

x3 (t) ; x3 (t) = 0+

x3 (t) ; x3 (t) = 0+

x3 (t)

Розкладемо функцію F(x1 (t); x1 (t); x2 (t); x2 (t); x2 (t); x3 (t); x3 (t); x3 (t); x3 (t))

Тейлора:

F(x1 (t); x1 (t); x2 (t); x2 (t); x2 (t); x3 (t); x3 (t); x3 (t); x3 (t))

F(x ; x ; x )

dF

x (t)

dF

x

(t)

dF

x (t)

dF

x

(t)

x (t)

x

(t)

x (t)

x

(t)

10

20

30

1

1

2

2

1

0

1

0

2

0

2

0

dF

x

(t)

dF

x (t)

dF

x

(t)

dF

x (t)

dF

x

(t)

x2 (t)

2

x3 (t)

3

x3 (t)

3

x3

(t)

3

x3 (t)

3

0

0

0

0

0

(1.4)

у ряд

(1.5)

члени вищого порядку малості 0 .

Урівнянні прийняті позначення виду dFx(t) 0 , які варто розуміти як значення

часткової похідної функції F по х(t) при значеннях змінної у сталому режимі

х(t)|0.

Віднімаючи рівняння сталого режиму (1.3) і відкидаючи члени вищого порядку малості, одержимо:

dF

x (t)

dF

x

(t)

dF

x (t)

dF

x

(t)

dF

x

(t)

x1(t)

1

x1(t)

1

x2 (t)

2

x2 (t)

2

x2 (t)

2

0

0

0

0

0

(1.6)

dF

x (t)

dF

x

(t)

dF

x

(t)

dF

x

(t) 0

x3 (t)

3

x3

(t)

3

x3

(t)

3

x3 (t)

3

0

0

0

0

Це рівняння, як і вихідне, описує той же динамічний процес у тій же системі керування. Всі часткові похідні являють собою постійні коефіцієнти, оскільки в них замість змінних підставлені їхні числові значення в сталому режимі. По суті, це рівняння являє собою суму перших ступенів різних змінних з відповідними коефіцієнтами. Таке рівняння є лінійним.

Відмінність його від вихідного нелінійного полягає в наступному:

–Лінійне рівняння є наближеним , оскільки воно отримане в результаті відкидання в розкладанні Тейлора членів вищого порядку малості.

–Невідомими функціями часу є не самі змінні х1(t),х2(t),х3(t) і їхні похідні, а прирости х1(t), х2(t), х3(t) і т.д. Таке рівняння називається рівнянням у приростах (у варіаціях).

Зотриманого виразу видно, що лінеаризація зводиться до одержання повного диференціала функції при заданих сталих значеннях змінних. Це можливо лише для функцій, що диференціюються, тобто таких, які у всіх точках мають кінцеві похідні. Функції, що не диференціюються, в такий спосіб лінеаризовувати не можна, існують інші способи лінеаризації, які будуть розглянуті далі.

1.2.2 Форми запису диференціальних рівнянь. Функція передачі.

Розглянемо простий варіант, у якому у елемента системи керування є одна вхідна величина х1 й одна вихідна х2.(рис. 1.12).

	х1(t)				х2(t)
			Элемент
			Рис. 1.12
Припустимо, що вихідне рівняння має вигляд:
F(x1(t); x1(t); x2 (t); x2 (t); x2 (t); x3 (t)) 0					(1.7)

У лінеаризованому вигляді:

dF

x

(t)

dF

x

(t)

dF

x

(t)

dF

x

(t)

dF

x

(t) 0

x1(t)

1

x1(t)

1

x2 (t)

2

x2 (t)

2

x2 (t)

2

0

0

0

0

0

Введемо позначення постійних коефіцієнтів:

a	dF					;a	dF					;a	dF					;b	dF					b	dF
	x	(t)					x	(t)					x	(t)					x	(t)					x	(t)
0						1						2						0						1
	2				0		2				0		2				0		1				0		1				0

(1.8)

(1.9)

Після цього перейдемо до стандартної форми запису. Пам’ятаючи завжди, що рівняння динаміки записано у приростах, для більш стислої форми відкинемо позначку :

a2	d 2 x (t)	a1	dx (t)	a0 x2 (t) b1	dx (t)	b0 x1 (t)	(1.10)
	2		2		1
	2		dt
	dt				dt

Маючи на увазі, що х1 є вхідною величиною, а х2 загальному виді рівняння може бути записано:

a

d n x (t)

a

d n 1x (t)

a x

(t)

âèõ

âèõ

dtn

dtn 1

n

n 1

0 âèõ

b

d m x (t)

b

d m 1x (t)

b x

(t)

âõ

âõ

dtm

dtm 1

m

m 1

0 âõ

– вихідною, у

(1.11)

Диференціальне рівняння може бути записане в операторній формі:

(an pn an 1 pn 1 a1 p a0 )xâèõ (t) (bm pm bm 1 pm 1 b1 p b0 )xâõ (t)

(1.12)

де р = dtd – оператор диференціювання.

Операторна форма рівняння не змінює його сутності, воно залишається диференціальним. У сталому режимі, коли хвх = const, хвих = const , p= dtd 0 ,

одержуємо рівняння статики:
звідки:	а0хвих = b0хвх,	(1.13)
	õâèõ b0 xâõ kxâõ ,
		(1.14)
де k = b0	a0
	– коефіцієнт передачі (підсилення),	який визначає крутість
a
0

статичної характеристики.

Аналітичне рішення диференціальних рівнянь, особливо високого порядку, пов'язане з певними математичними труднощами, тому для полегшення цього завдання використовують спеціальні перетворення (наприклад, Лапласа або Карсона-Хевісайда), які дозволяють перейти від диференціальних рівнянь до алгебраїчних. При цьому у вихідних рівняннях здійснюється заміна реальних змінних і їхніх похідних відповідними зображеннями.

В оригіналах рівнянь незалежної змінною є час t, а в їх зображеннях - комплексна змінна p=c+jω.

Пряме перетворення Лапласа, тобто перехід від оригіналу до зображення здійснюється за допомогою інтеграла Лапласа:

X ( p) x(t)e pt dt L x(t) .	(1.15)
0

Для багатьох функцій існують таблиці перетворень Лапласа (див. таблицю).

		Формули прямого і оберненого перетворення за Лапласом
	№	Оригінал	Зображення
	п/п
	1	1 t		1
				p

2

1 t

1

e p

p

3

t a

a 1

,

a 1

pa 1

4

eat

1

p a

5

sin t

p2 2

6

cos t

p

p2 2

7

eat sin t

p a 2

2

8

eat cos t

p a

p a 2

2

9

t

n

at

1

e

p a n 1

n!

10

1

eat

1

1

p p a

a

№

Оригінал

Зображення

п/п

11

1

eat

1

t

1

p2 p a

a2

a

12

1

e

at

e

bt

1

p a p b

a b

13

1

ae

at

be

bt

p

p a p b

a b

14

1

eat

1

ebt

1

1

a

a b

b

b a

ab

p p a p b

1

at

1

bt

a b

t

1

15

e

e

a2b2

a2 a b

b2 b a

ab

p2 p a p b

16

1

eat

1

ebt

1

ect

1

a b a c

b

a b c

c a c b

p a p b p c

17

a

eat

b

ebt

c

ect

p

a b a c

b

a b c

c a c b

p a p b p c

18

a2

e

at

b2

e

bt

c2

e

ct

p2

a b a c

b

a b

c

c a c b

p a p b p c

Практичний перехід від диференціальних рівнянь до їхніх зображень по Лапласу здійснюється без будь-яких обчислень. Формально, при нульових початкових умовах, перетворення здійснюється шляхом заміни оригіналів

функції х(t) їхніми зображеннями Х(р), а символів диференціювання рn = d n dtn

позначенням оператора Лапласа рn. Операції диференціювання оригіналу функції в операційному обчисленні відповідає операції множення її зображення на комплексне число р:

d n x(t)					n	X ( p) ,
L				p			(1.16)
	dt	n

операція інтегрування оригіналу функції відповідає операції поділу її зображення на р:

	L x(t)dt	X ( p)	(1.17)
		p

З огляду на це запишемо вихідне рівняння (1.11), використовуючи перетворення Лапласа:

(an pn an 1 pn 1 a1 p a0 )Xâèõ ( p) (bm pm bm 1 pm 1 b1 p b0 )Xâõ ( p) .

(1.18)

Така форма запису називається операційною формою. Рівняння в операційній формі по природі є алгебраїчним, розв’язанням якого є зображення за Лапласом Xвих(p) змінної у часі величини xвих(t).

Xâèõ ( p)	b pm b			pm 1 b p b				Xâõ ( p) .	(1.19)
	m	n	m 1	p	n 1	1	0
	a p		a			a p a
	n		n 1			1	0

Для визначення оригіналу можна скористатися або таблицями зворотних перетворень, або шляхом обчислення відповідного інтеграла зворотного перетворення Лапласа:

	1 c j		pt	1	X ( p) .
x(t)		c j X ( p)e		dp L		(1.20)
	2 j

Дріб, що знаходиться в правій частині зображення по Лапласу вихідної величини (1.19), являє собою відношення зображень вихідної і вхідної величин (при нульових початкових умовах)і називається функцією передачі W(p).

W ( p)	X ( p)			b pm b		pm 1 b p b			.	(1.21)
	X		( p)	a pn a	m 1	pn 1 a p a
	âèõ			m			1	0
		âõ		n	n 1		1	0
У сталому режимі, тобто при р=0, функція передачі W(0) чисельно дорівнює
коефіцієнту передачі k:				W (0) b0
					k .					(2.22)
				a0
Знаменник функції передачі (1.21) прирівняний до нуля називається
характеристичним рівнянням
	an pn an 1 pn 1 a1 p a0 =0,									(1.23)

яке визначає перехідну складову протікання процесу.

1.2.3 Види з’єднань елементів систем керування.

Утворюючи ту чи іншу систему автоматичного керування, окремі елементи системи керування можуть бути з’єднані між собою різними способами. Розрізняють послідовне та паралельне з’єднання. При послідовному з’єднанні вхідний сигнал послідовно проходить через всі елементи. При паралельному з’єднанні можливі два варіанти: перший, коли один вхідний сигнал подається на входи всіх ланок, а всі їхні вихідні сигнали додаються на суматорі (прямий зв'язок), другий, коли вихідний сигнал якогось елементу, або певна його частина, знову проступає на її вхід (зворотний зв’язок). При тому, цей сигнал може додаватися до основного або відніматися (відповідно додатний або від’ємний зворотний зв'язок).

Розглянемо визначення еквівалентної функції передачі структури при послідовному з’єднанні ланок (рис. 1.13):