Теорія автоматичного керування» Конспект лекцій з дисципліни
.pdf
Недоліком розглянутих оцінок є те, що для визначення запасу стійкості необхідно знаходити два числа: βз й γз. Ні те, ні інше окремо, ні обоє разом ніяк не визначають однозначно чисельно хоча б один з основних прямих показників якості керування. Щодо цього, то більш зручно оцінювати якість керування по частотному показнику коливальності.
Частотний показник коливальності
Побудуємо АФЧХ розімкнутої системи:
Im(W(jω)
)
C |
Вк |
Re(W(jω)) |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
O |
|
|
|
|
Ak
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
На малюнку CAk |
CO OAk |
1 W( j ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
OA |
|
|
W( j ) |
|
|
|
|||||||
Розглянемо відношення векторів: |
k |
|
k |
( j |
|
) |
, де |
|
|
) |
|
||||||
CA |
|
1 |
W( j |
k |
) |
|
k |
|
|
( j |
|
||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектор АФЧХ замкнутої системи. АЧХ замкнутої системи А(ω) являє собою |
|||||||
модуль АФЧХ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W( j ) |
|
|
ОА |
|
А(ω)= |
( j K ) |
|
|
k |
|
|
к |
|
|
|
|
1 W( j k ) |
|
|
САк |
Відношення ОАк , будучи значенням АЧХ замкнутої системи, однозначно
САк
залежить від ступеня стійкості. Чим ближче АФЧХ розімкнутої системи підходить до точці С, тим менше відрізок САk і більше відрізок ОАk, а отже, тим більше максимум зазначеного відношення. Якщо АФЧХ пройде через точку С, то довжина відрізка САk стає рівної нулю, а значення А(ω) – нескінченності. При цих умовах система буде на межі стійкості, у ній виникнуть незагасаючі коливання.
Із зазначеного випливає, що максимум відношення А(ω)= OАк , характеризує
САк
коливальність системи.
Частотним показником коливальності М називається максимальне значення АЧХ замкнутої системи при початковій ординаті, рівній одиниці тобто являє собою відносну висоту резонансного піка АЧХ.
Розглянемо більш детально частотний показник коливальності як оцінку якості.
Для судження про частотний показник коливальності М замкнутої системи на комплексній площині W(jω) варто нанести лінію відповідну заданому значенню М=const.
Вважаємо, що комплексний коефіцієнт передачі розімкнутої системи представлений у вигляді W(jω) = U(ω)+j V(ω), де U(ω) і V(ω) - значення дійсної та уявної частин відповідно.
Тоді з вищенаведеного рисунка випливає, що
|
ОАк= |
U 2( к ) V 2( к ) |
|
|
|
|||
САк= ( 1 U( к ))2 V 2( к ) . |
|
|
||||||
Отже: |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
ОАк |
|
U 2 ( к ) V 2 ( к ) |
|
|
|||
М2= |
СА |
|
|
|
|
|
, |
|
(1 U ( |
))2 V 2 |
( |
) |
|||||
|
к |
|
|
к |
|
к |
|
|
або інакше:
М2(1-U(ωк)))2+М2V2(ωк) =U2(ωк) +V2(ωк).
Розкрив дужки, одержимо
М2-2М2U(ωк) +M2U2(ωк) +M2V2(ωк) =U2(ωк) +V2(ωк); (М2-1)U2(ωк) +(M2-1)V2(ωк) -2M2U(ωк) = - M2.
Розділивши на М2-1:
U2(ωк) +V2(ωк) |
2М2U( |
к |
) |
|
М2 |
|
. |
||||
М |
2 |
1 |
|
|
М |
2 |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Інтегральні оцінки якості керування.
Лінійна інтегральна оцінка.
Непрямі оцінки якості керування не дозволяють судити про час керування tк і величину перерегулювання δ у сукупності, без визначення того й іншого окремо. Тому виникає потреба в таких оцінках, які б виражали аналітичну залежність між двома й більше показниками якості керування й параметрами системи. Такими оцінками у певній мірі є інтегральні (сумарні) оцінки.
Введемо поняття «динамічне відхилення».
Під динамічним відхиленням ε(t) будемо розуміти різницю між сталим х (∞) і поточним х(t) значеннями керованої величини, тобто
(t) x( ) x(t)
При цьому, не слід плутати терміни «динамічне відхилення» й «динамічна помилка». Під динамічною помилкою (t) вмовимося розуміти різницю між
заданим у і фактичним поточним значенням керованої величини, тобто
(t) y x(t)
При такому трактуванні термін «статичне відхилення» втрачає фізичний зміст, тому що в сталому режимі відхилення керованої величини від свого сталого значення завжди дорівнює нулю.
Сутність інтегральних оцінок легше всього пояснити на наступних прикладах.
Нехай криві перехідних процесів, що відбивають зміну динамічного відхилення ε (t) у часі мають вигляд, представлений на малюнку (криві 1,2).
|
x(t) |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
tk1 |
|
|
t |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
tk3 |
|
|
|
|
|
tk2 |
|
|
|
|
|
|
|||
Максимальні відхилення в обох перехідних процесах однакові, але час процесу керування tк2 у другого більше, ніж у першого tк1, отже перший процес має кращий якісний показник з позицій швидкодії.
На тім же малюнку представлені ще два графіки перехідних процесів (криві 3,4), у яких один в той же час керування tк3, але максимальне динамічне відхилення різне. У цьому випадку якість керування перехідного процесу 3 вище, ніж у 4-го.
Зрівнювати якість керування для перехідних процесів, що відрізняються як за часом керування, так і по максимальному динамічному відхиленню (наприклад, криві 1 й 3), шляхом зіставлення окремих показників якості не представляється можливим.
Однак, при зіставленні кривих 3, 4 порізно, зауважуємо, що в обох випадках кращим по якості керування виявляється той перехідний процес у якого час
керування tк і максимальне відхилення менше, а це відповідає меншій площі між кривою й віссю абсцис. Ця площа аналітично може бути виражена як
I1 ( t )dt
0
Отже, вимога мінімуму площі, тобто інтеграла І1, може послуговувати інтегральною оцінкою якості керування.
Назва «інтегральна оцінка» пов'язана не з тим, що для її визначення потрібно обчислювати інтеграл певного виду (надалі переконаємося, що в цьому зовсім немає необхідності), а з тим, що ця оцінка дозволяє встановити якість керування одночасно відразу по двох показниках: час керування, величина динамічного відхилення.
Для обчислення інтеграла 11 слід мати виражену в аналітичній фермі функцію (t) , тобто вирішити відповідне диференціальне рівняння, що найчастіше
пов'язано з певними утрудненнями.
Якщо відома функція передачі замкнутої системи Ф(р), то значення лінійної інтегральної оцінки може відбуватися без обчислення відповідного інтеграла. Зображення по Лапласу реальної функції ε(t) можна визначити скориставшись інтегралом Лапласа:
( р) (t) ptdt
0
Отже
|
|
|
|
|
|
|
lim ( p ) lim |
|
( t )e ptdt |
|
( t )dt I |
1 |
|
p 0 |
p 0 |
|
|
|||
|
|
0 |
|
0 |
|
|
Отриманий вираз свідчить про те, що лінійна інтегральна оцінка якості
|
|
|
I1 lim ( p ) |
|
|
|
p 0 |
|
Зображення |
||
|
|
( p) Х(0) Х( p) |
|
Х( р) |
Беручи до уваги, що функція передачі замкнутої системи в динаміці Ф(р)= |
||
, а в сталому режимі Ф(0) = |
X (0) |
, можна записати: |
|
Y ( р) |
|
||
|
Y (0) |
||
|
|
X ( р) Ф( р) Y ( р) |
|
|
|
X (0) Ф(0) Y (0). |
|
У розглянутих формулах:
Х(р) – зображення по Лапласу керованої величини в динаміці; Y(р) – зображення завдання у динаміці;
Х(0) і Y(0) – зображення зазначених величин у сталому режимі. Вважаючи, що на вхід системи подається одиничний стрибкоподібний
задаючий вплив y(t)=1(t), зображення по Лапласу якого
Y ( р) Y (0) 1р,
одержимо вираз для лінійної інтегральної оцінки якості
I1 |
lim ( p ) lim |
Ф( 0 ) Ф( р) |
. |
|
|
||||
|
p 0 |
p 0 |
р |
|
Розглянемо приклад, в якому функція передачі замкнутої системи має вигляд:
Ф( р) |
К |
|
, а Ф( 0 ) К. |
|
Тр 1 |
||||
|
|
|||
Лінійна інтегральна оцінка якості керування
|
|
К |
К |
|
|
I1 |
lim |
Тр 1 |
lim |
||
|
|||||
|
р |
||||
|
p 0 |
p 0 |
|||
КТр К К |
|
|
|
|
|
|
|
Тр 1 |
lim |
КТр |
lim |
КТ |
|
КТ . |
|
р |
( Тр 1)р |
Тр 1 |
|||||
p 0 |
p 0 |
|
|||||
Мінімум інтегральної оцінки I1 можливий при КТ = 0. Ця умова виконується при K = 0 або Т = 0. При К = 0 перехідна характеристика при y(t)=1 являє собою пряму, що збігається з віссю абсцис. У цьому випадку керована величина х(t) завжди дорівнює нулю для будь-яких значень задаючого впливу у(t). Іншими словами, керуюча частина системи не виконує функціонального призначення, тобто керування фактично відсутнє.
При Т = 0 система керування в динамічному відношенні є ідеальною ланкою з функцією передачі Ф(р)=К. Якість керування в цьому випадку дійсно буде оптимальним, але цей факт і не вимагав яких-небудь математичних доказів, оскільки оптимальна якість керування реалізується завжди при ідеальних властивостях системи керування.
Квадратична інтегральна оцінка.
При всій простоті й наочності лінійна інтегральна оцінка не позбавлена істотного недоліку. Як ілюстрацію розглянемо два перехідних процеси, один із яких аперіодичний, інший являє собою незатухаючі коливання.
У першому випадку (крива 1) час керування tк обмежений, у другому
Більше того, крива 2 свідчить про те, що система перебуває на межі стійкості, для якої ступінь стійкості h = 0, в принципі не є працездатною. Об'єктивно, якість керування для кривої 1 у будь-якому разі вища.
Однак, якщо скористатися лінійною інтегральною оцінкою I1, висновок буде діаметрально протилежним. Площа під кривою 1 обмежена, у той час як для кривої 2 сума додатних і від’ємних площ, розташованих під і над кривою 2, тотожно дорівнює нулю. Отже мінімум лінійної інтегральної оцінки якості не завжди свідчить про високу якість керування. Звідси випливає, що оцінка I1 не може застосовуватися до коливальних процесів.
ε(t)
1 2
t
З огляду на вищенаведений недолік лінійної інтегральної оцінки, іноді використовують нелінійну оцінку у вигляді інтеграла
I 11 ( t ) d t ,
0
як суму модулів площ, обмежених кривою перехідної характеристики. Однак обчислення зазначеної нелінійної оцінки пов’язане зі значними труднощами, тому вона не одержала широкого поширення й застосовується вкрай рідко.
Знаки позитивних і негативних площ при коливальному перехідному процесі не будуть враховуватися, якщо всі значення (t) піднести до квадрата. В
такому випадку одержимо квадратичну інтегральну оцінку I2.
I2 2( t )dt.
0
Обчислення оцінки I2 зручно проводити по формулі Релея
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 (t)dt |
|
|
( j ) |
|
d , |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
де ( j ) - зображення Фур'є функції часу (t). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( j ) Ф(0) Ф( j ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Ф(0) Ф( j ) |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Ф(0) Ф( j ) |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
I2 |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В астатичних системах при y (t) = 1 стале значення х ( ) = 1, тобто Ф(0) =1. Для таких систем оцінка I2 може бути визначена як
|
|
1 |
|
|
1 Ф( j ) |
|
2 |
|
1 |
|
|
Ф ( j ) |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
I2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
d , |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
де Ф ( j ) - комплексний коефіцієнт передачі замкнутої системи по сигналу
помилки.
Неважко встановити зв'язок квадратичної інтегральної оцінки
|
|
1 |
|
|
Ф ( j ) |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|||||||
I2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
зеквівалентною частотою смуги пропускання
2
Wе Ф( j ) d .
0
що дає додаткові можливості у визначенні I2 по АЧХ замкнутої системи.
Інтегральна оцінка Красовського.
Недоліком квадратичних інтегральних оцінок є те, що тут нічим не обмежується форма кривої перехідного процесу. Виявляється, наприклад, що для зовсім різних за формою процесів вони мають одне й теж значення квадратичної інтегральної оцінки.
Часто виявляється, що обрані по мінімуму цієї оцінки параметри системи відповідають занадто сильно коливальному процесу, тому що прагнення наблизити процес до ідеального стрибка в реальних системах викликає завищену швидкість зміни керованої величини при переході до сталого значення, що приводить до підвищеної коливальності й значного перерегулювання.
Так, якщо на вхід системи подати стрибок впливу, що задає, то для мінімізації динамічного відхилення крива x (t) повинна прагнути до ламаної лінії ОВС.
|
х(t) |
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
В |
|
|
С |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Але наближення кривої перехідного процесу до цієї лінії вимагає збільшення кута нахилу кривої на початковій стадії процесу (наближеня частини кривої ОД до відрізка ОВ). Збільшення ж початкової швидкості викликає значне перерегулювання внаслідок інтерційнности ланок реальних систем.
Красовським А. А. була запропонована квадратична інтегральна оцінка Iк, що накладає обмеження не тільки на величину динамічного відхилення (t) , але й
на швидкість її зміни (t).
Iк 2 (t) Т2 2 (t) dt
0
З'ясуємо характер процесу до якого буде прагне крива (t) при використанні
квадратичної оцінки якості Красовського. Виконаємо деякі перетворення:
|
|
2 |
(t) Т |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t) |
2 |
|
|
|
|
|
||
Iк |
|
|
(t) 2Т |
(t) (t) 2Т (t) (t) dt |
(t) Т |
dt |
2Т (t) (t)dt; |
|||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Перетворимо підінтегральний вираз другого інтеграла: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т d |
2 |
(t) dt Тd 2 (t) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2Т (t) (t)dt 2Т (t) d (t) dt |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
тоді: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(t) |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t) T |
dt T |
(t) |
; |
|
||||||||||||
|
|
|
Iк |
(t) Т |
(t) dt Td |
|
|
|
(t) |
|
0 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при t = 0 (0) 0 , а при t = ( ) 0, тому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Iк |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(t) T (t) |
|
dt T 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, або в |
||
Мінімум цієї інтегральної оцінки буде можливий при (t) T (t) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зображеннях Лапласа Tp 1 ( p) 0 Рішення цього рівняння:
t
(t) 0e T
Отриманий результат свідчить про те, що застосування квадратичної оцінки передбачає виконання вимоги переходу системи від одного сталого стану до іншому не стрибкоподібно, а плавно, за експонентним законом, що істотно знижує коливальность і перерегулювання.
У принципі можливо використати більше складні вирази, ніж запропонований Красовським, у які крім першої похідної відхилення будуть входити друга, третя й т.д. похідні.
Так, наприклад, обмежившись при подачі ступінчастого впливу y(t)
відхиленням (t), першою похідною |
|
і |
другою похідною |
|
одержимо |
|||
(t) |
(t), |
|||||||
інтегральну оцінку у вигляді: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Iк1 |
2 |
(t) T12 |
2 (t) T24 2 (t) dt |
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ця оцінка буде характеризувати наближення перехідного процесу до екстремалі, обумовленої рішенням диференціального рівняння
T 2 |
|
|
|
(t) T (t) (t) 0 |
|
2 |
|
1 |
Экстремаль у цьому випадку буде відповідати більше складній кривій, ніж експонента, що дозволяє задати більш точно перехідний процес. Можна отримати більше плавний процес, але зате й більше тривалий.
Інтегральні оцінки якості керування широко використовуються при синтезі САК, зокрема при визначенні оптимальних параметрів систем.
Так, якщо потрібно вибрати оптимальні значення двох конструктивних параметрів μ й ν структурно заданої системи, виходячи з мінімуму однієї з
інтегральних оцінок, то по наведених формулах визначають |
|
I = f (μ, ν). |
||||
Потім дорівнюють до нуля частинні похідні |
I |
й |
I |
, |
звідки обчислюють |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||
значення параметрів μopt і νopt.
Так, наприклад, при використанні квадратичної інтегральної оцінки I2 для системи третього порядку були отримані оптимальні значення коефіцієнтів Вишнєградського А1 й А2 (значення приводяться без доказу): А1 = 2; А2 = 1.
Однак судячи з діаграми Вишнєградського, точка із зазначеними координатами занадто близько розташована до межі стійкості, що свідчить про підвищену коливальність й значне перерегулювання.