Способ последовательных приближений

Уравнения (6.57), (6.58) являются уравнениями двух гипербол. Уравнение (6.57) описывает гиперболу с действительной полуосью «b» параллельной оси «x» и центром, смещенным на –1 по оси «y» (рис.6.15).

(6.57)

Уравнение (6.58) описывает гиперболу с действительной полуосью «С» параллельной оси «Y» и центром, смещенным на –1 по оси «X»

(6.58)

Координаты точки пересечения этих гипербол являются корнями системы (6.57) (6.58). Решая эту систему методом последовательных приближений, задаемся первоначальным значением Х=Х₀ и, подставляя его в уравнение (6.58), находим приближенное значение Y=Y₁. Подставляя значение Y₁ в уравнение (6.57), находим более точное значение Х=Х₁, которое в свою очередь подставляем в уравнение (6.58), определяя более точное значение Y=Y₂. Эта операция повторяется до совпадения двух последующих значений с требуемой степенью точности.

Рис.6.15 Схема сходимости при определении корней системы уравнений (6.57) (6.58)

На рис.6.15 стрелками показана схема сходимости к точному корню системы. Из уравнений (6.57) (6.58) и рис. 6.15 видно, что имеет смысл принимать первоначальное значение Х₀>b, а Y₀>c, что избавит от лишних вычислений.

Графический метод

Систему уравнений (6.57) (6.58) можно решить графически. Для этого, задаваясь произвольным значением «Y» (например 1,2,3 и т. д.) и подставляя его в равенство (6.57) находим значение «Х». По полученным данным строим гиперболу, описываемую уравнением (6.57).

Аналогично задаваясь произвольным значением «х» и подставляя их в уравнение (6.58) получаем значение «y» и строим гиперболу, описываемую уравнением (6.58). Координаты точки пересечения этих графиков и дадут решение системы.

Пример расчета

Заданы сопротивления ветвей простого диагонального соединения и общая депрессия соединения. Определить, расходы воздуха во всех ветвях соединения и сделать проверку полученного результата, используя второй закон расчета вентиляционных сетей

Дано: R₁=0.8 km; R₂=0.12 km; R₃=0.2 km; R₄=0.36 km; R₅=0.45 km H=300 кг/м²

Определить; Q,q₁, q_2, q₃, q_4, q_5.

Решение задачи

Определим направление движения воздуха в диагонали 2-3.

В нашем примере R₁/R₃=0.8/0.2=4.0, а R₂/R₄=0.12/0.36=0.33, следовательно

>и воздух в диагонали будет двигаться от узла 3 к узлу 2. В этом случае, согласно, необходимо изменить обозначения сопротивлений ветвей диагонального соединения, так как показано на рис.6.14

Вычислим по равенствам (6.56) значения вспомогательных величин a,b,c,d.

a==1.936 b==0.75 c==1.12 d==1.5

С учетом полученных значений вспомогательных величин равенства (6.57) (6.58) можно записать в виде

x=0.75(6.74)y=1.12 (6.75)

Систему уравнений (6.74) (6.75) решаем методом последовательных приближений. Задаемся первоначальным значением x=x₀=1.5 и из уравнения (6.75) определяем значение y₁=2.17. По уравнению (6.74) определяем значение x₁=1.44 и т. д. y₂=2.14, x₂=1.43, y₃=2.13. Дальнейшие вычисления не имеют смысла. Окончательно принимаем x=1.43, y=2.13

Так как, по условию задачи задана общая депрессия соединения, то для опреде­ления общего расхода воздуха и потоков воздуха в ветвях необходимо определить, общее сопротивление диагонального соединения по формуле (6.72)

R₀=km

Определим общий расход воздуха в сети по формуле (6.73)

Q₀==47.1 м³/с

Определяем поток воздуха в диагонали по формуле (6.60), а потоки воздуха в остальных ветвях по формулам (6.61-6.64)

q₅=м³/с

q₂=q_5*x=10.33*1.43=14.77 м³/с; q₃=q₅*y=10.33*2.13=22.0 м³/с

q₁=q₃+q₅=22.0+10.33=32.33 м³/с q₄=q₂+q₅=14.77+10.33= 25.1 м³/с

Проверяем правильность полученного распределения воздуха, используя второй закон расчета вентиляционных сетей.

Для контура 1-2-3-1 должно выполнятся равенство (6.53), а для контура 2-4-3-2 равенство (6.54)

0.8*14.77^2- 0.45*10.33²-0.12*32.33²=0,07=0

0.2*25.1² - 0.36*22.0² +0.45*10.33²=-0,2=0

Незначительная невязка по депрессии связана с округлениями при вычислениях.

6. МЕТОДИКА РАСЧЕТА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВОЗДУХА В СЛОЖНОЙ ВЕНТИЛЯЦИОННОЙ СЕТИ

Задана вентиляционная сеть произвольной сложности, а также общее количество воздуха или тип вентилятора для проветривания шахты. Необходимо определить расходы воздуха во всех ветвях соединения.

Для любого элементарного контура вентиляционной сети всегда выполняются 1-й и 2-й законы расчета вентиляционных сетей:

∑q_i=0 (7.1)

∑h_i=0 (7.2)

∑h_i+∑p_i=0 (7.3)

где ∑q_i-сумма расходов воздуха в узле;

∑h_i- алгебраическая сумма депрессий ветвей элементарного контура;

∑p_i- алгебраическая сумма давлений, создаваемая вентиляторами во всех ветвях замкнутого контура.

Задача о распределении воздуха в сложной вентиляционной сети решается методом последовательных приближений. Он заключается в том, что первоначальное распределение воздуха задается произвольно, однако в целом по контуру или для узла сети оно должно подчиняться уравнению неразрывности потока, т.е. равенству (7.1).

Первоначально произвольно принятое значение расхода воздуха в ветви q_iотличается от действительногоqна некоторую величину ∆q_i. Тогда депрессия любой ветвиh_iможет быть выражена равенством:

h_i=R_iq=R_i(q+∆q_i)² (7.4)

Раскрывая скобки правой части равенства, получим

h_i=R_i(q)²+2R_iq∆q_i+R_i(∆q_i)²(7.5)

Полагая, что ∆q_iмало, отбрасываем тем более малую величину R_i(∆q_i)²и из равенства (7.5) определяем величину ошибки для одной ветви

∆q_i= (7.6)

Для всех ветвей, входящих в элементарный контур величина ошибки определится по формуле

∆q_i= (7.7)

С учетом равенства (7.3), согласно которому ∑h_i=-∑p_i, окончательно получим

∆q_i= (7.8)

где -алгебраическая сумма депрессий ветвей замкнутого контура;

-сумма произведенийR_iнаqпо всем ветвям, взятая без учета направления потока;

-алгебраическая сумма давлений, создаваемая вентиляторами во всех ветвях замкнутого контура.

При расчете распределения воздуха в сложной вентиляционной сети необходимо выполнять следующие правила:

1. Обход каждого элементарного контура выполнять по часовой стрелке;

2. Потоки, направленные по часовой стрелке считаются положительными, против часовой стрелки отрицательными;

3. Если величина ошибки (поправки) рассчитанная по формуле (7.8) положительна (>0), то она суммируется с потоками воздуха, направление которых совпадает с направлением обхода контура и вычитается из расходов направленных против направления обхода контура;

4. Если величина ошибки имеет отрицательный знак, она вычитается из потоков воздуха, направление которых совпадает с направлением обхода контура и суммируется с противоположными потоками;

5. Если величина ошибки по абсолютному значению больше первоначально принятого расхода воздуха и вычитается из него, это значит, что первоначально принятое направление воздуха неверно и его необходимо изменить на противоположное направление.

6. Расчет выполняется несколько раз, пока последующие расходы воздуха будут отличаться от предыдущих расходов с требуемой степенью точности.