3. Вывод уравнения Бернулли в избыточных давлениях

Мы говорили ранее, что в металлургической теплотехнике пользуются давлением, избыточным над атмосферным. Мы записали уравнение Бернулли (1.22) в общем виде. Теперь приведем уравнение Бернулли к такому виду, при котором все его члены будут выражены в избыточных давлениях. Для этого представим канал, окруженный воздухом плотностью _в, по которому движется газ плотностью _г (рис. 1). Принимая плотность газа и воздуха неизменными, напишем уравнение Бернулли для газа и воздуха применительно к сечениям канала Z₁ и Z₂.

Рисунок 1

Для газа: .

Для воздуха (считаем, что он в спокойном состоянии, т.е. W_в=0).

.

Вычитаем из первого уравнения второе и получаем уравнение Бернулли для газа в избыточных давлениях:

.

или окончательно это можно записать так (с учетом ранее принятых обозначений):

. (1.24)

Это равенство справедливо для идеальной среды, лишенной вязкости. При движении реального газа по каналу часть его энергии затрачивается на преодоление различных сопротивлений и происходит потеря энергии. Тогда уравнение Бернулли можно записать так:

. (1.25)

Окончательно закон Бернулли формулируется так: «При установившемся течении несжимаемой жидкости или газа для различных сечений канала сумма давлений всех видов является постоянной.»

4. Уравнение Эйлера

Статика газов изучает равновесие (состояние покоя) газов. Основными уравнениями для статики газов являются уравнения Эйлера.

На любой объем покоящегося газа действуют только силы тяжести и давления. Силы инерции и трения проявляются лишь при движении среды. В неподвижном (покоящемся) объеме газа объемные силы – силы тяжести действуют по вертикали, т. е. в направлении координатной оси Z, и вызывают соответствующие изменение давления. Уравнение Эйлера для статики газов составлено как баланс изменения энергии 1 м³ газа в направлении координатной оси Z и имеет вид:

, (1.9)

где  – плотность газа, кг/м³; g – ускорение силы тяжести, м/с²; dp – изменение (приращение) давления при изменении высоты столба газа на величину dz, в целом – градиент давления.

Уравнение (1.9) представляет собой баланс энергии, при котором изменение потенциальной энергии 1м³ газа на отрезке dz приводит к соответствующему изменению давления, т. е. можно записать уравнение (1.9) следующим образом:

. (1.10)

Решим уравнение (1.10) для каких-то двух сечений Z₁ и Z₂, расположенных на расстоянии Н друг от друга при условии =const, т. е. газ как несжимаемая среда.

Рисунок 1

.

Тогда , (1.11)

где Р₁ и Р₂ – абсолютное давление соответственно в сечениях I и II;

; g; H – геометрическое давление, обусловленное силой тяжести и зависящее от  и высоты Н столба газа, Па;

Z₁, Z₂ – расстояние от произвольно выбранного уровня отчета 0–0 до сечений I и II, м.

Это основное уравнение статики газов.

Распределение избыточного давления на стенки сосуда заполненного горячим газом

Выше мы отмечали, что разность между избыточным давлением Р_г газа в сосуде и давлением окружающего воздуха Р_в на том же уровне есть статическое давление: Р_ст=Р_г–Р_в.

Если давление газа в сосуде меньше атмосферного, это означает, что сосуд находится под разрежением. Величина разрежения показывает, на сколько давление газов в сосуде меньше атмосферного: Р_раз.= – Р_ст=Р_г–Р_в.

Поверхность, в каждой точке которой статическое давление равно нулю (Р_ст=0), называют уровнем нулевого избыточного давления.

Для печной теплотехники важное значение имеет исследование распределения избыточного давления на стенки сосуда, заполненного горячим газом. Для этого воспользуемся основным уравнением статики (1.11). Рассмотрим, как определить статическое давление применительно к сосуду, открытому снизу (рис 1)

Рисунок 1

В сечении I сосуд сообщается с атмосферой, поэтому давление со стороны газа равно давлению со стороны воздуха, следовательно Р_ст1=Р_г1–Р_в1=0,т.е. (Р_г1=Р_в1)

В сечении II давление со стороны газа равно , а со стороны воздуха .

Статическое давление в сечении II .

Из этого уравнения видно, что, если газ горячий, т. е. _г_в, то стенки сосуда испытывают избыточное давление со стороны газа. Величина его прямо пропорциональна высоте Н и разности плотности воздуха _в и газа _г (_г зависит от t_г). Избыточное давление, обусловленное разностью плотностей воздуха и газа, есть геометрическое давление, т. е. в данном случае Р_ст= Р_геом=.

Для сосуда, открытого сверху (рис2), давление газа в сечении I равно давлению атмосферного воздуха, следовательно Р_ст1=Р_г1–Р_в1=0.

Рисунок 2

Применим уравнение (1.11) для сечения II:

Статическое давление в сечении II равно:

; или ;

Это означает, что при _г_в избыточное давление в сосуде будет отрицательным, т. е. сосуд будет находиться под разряжением, величина которого равна Р_геом. т. е.

. (1.12)

Избыточное давление, обусловленное разностью плотностей воздуха и газа, играет важную роль в работе печей. Если нулевое избыточное давление (Р_ст=0) находится на уровне пода печи, то над уровнем пода давление в печи больше атмосферного. Это приводит к выбиванию горячих газов через отверстия и неплотности в стенках печи. Следствием может быть ухудшение условий работы металлических конструкций и перерасход топлива. Если нулевое избыточное давление поддерживать несколько выше уровня пода, то часть печи ниже уровня нулевого давления будет находится под разрежением, будет подсос холодного воздуха. Это приведет к перерасходу топлива, снижению температуры печи и увеличению угара (окисления) металла. Однако вред от подсосов воздуха больше, чем от выбивания горячих газов из печи. Поэтому нулевое давление необходимо поддерживать на уровне пода, а печь делать более герметичной.