10. Теплопроводность.Уравнение Фурье

Передача тепла теплопроводностью возникает при наличии разности температур между отдельными частицами тела. Передача теплопроводностью, без конвенции и излучения, происходит в твердых непрозрачных телах. Атомы в более нагретой части, например, металлического стержня имеют большую кинетическую энергию, их колебания интенсивнее, чем колебания атомов в менее нагретой части стержня. Более «горячие» атомы, сталкиваясь с менее «горячими», отдают им свою энергию, восстанавливая ее непрерывно за счет подводимого извне тепла. Процесс переноса тепла идет непрерывно. Процесс переноса тепла теплопроводностью тем интенсивнее, чем резче изменяется температура, те. Е. чем больше градиент температуры. Передача тепла теплопроводностью описывается законом Фурье, который был выведен 1822 г.

где q – удельный тепловой поток Вт/м²

В соответствии с эти законом вектор плотности теплового потока пропорционален по модулю градиенту температуры и направлен в сторону убывания температуры (поэтому знак «–»).

Так как теплопроводность зависит от разности температур, то тепловые потоки в теле связаны с распределением температуры в этом теле – температурным полем. Если температурное поле тела меняется с течением времени, то оно является нестационарным, а передача тепла – нестационарной теплопроводностью. Неизменное во времени температурное поле называется установившимся или стационарным, а передача тепла – стационарной теплопроводностью.

Интенсивность распределения тепла характеризуется тепловым потоком.

, Вт, Дж/с, ккал/ч

где Q – количество тепла проходящее в единицу времени через данную поверхность в перпендикулярном к ней направлении.

Удельный тепловой поток:

(Вт/м², ккал/м² ч),

где F – площадь поверхности, через который осуществляется теплоперенос, м².

 это коэффициент теплопроводности Вт/м*град.

Это мощность приходящая на площадку в 1 м² при градиенте температуры 1 град/м. Для металлов он тем выше чем выше электропроводность металлов._мет=5–385 Вт/(м*град). У сплавов коэффициент теплопроводности меньше чем у чистых металлов. С увеличением температуры коэффициент теплопроводности падает.

Для неметаллических твердых материалов  более низкие 0,15–19 Вт/(м*град). С ростом температуры для большинства неметаллических твердых материалов коэффициент теплопроводности растет. Определяют его по справочникам или для определения материалов задается зависимость от температуры в виде эмпирических формул.

11. Граничные условия можно задавать различными способами и на них влияет характер взаимодействия поверхности тела с окружающей средой.

1. Граничные условия первого рода (первая краевая задача).

В этом случае задается распределение t по всей поверхности тела и изменение этого распределения во времени, т. е. задается функция: Т_пов.=f(х, у, z, ).

Примером граничных условий первого рода является линейное изменение t⁰ поверхности во времени:

где С_н – скорость нагрева.

К описанному условию можно отнести задачу разогрева кладки печи или задачу нагрева (охлаждения) тел при термообработке с заданной скоростью.

Другим примером граничных условий первого рода является постоянство температуры поверхности:

Это задачи нагрева или охлаждения с мгновенным повышением (снижением) t⁰_пов. Тела (закалка, выдержка, томление металла).

2. Граничные условия второго рода (вторая краевая задача).

В этом случае задается распределение плотности теплового потока q по всей поверхности тела и изменение этого распределения во времени.

где n – координата, направленная к поверхности тела.

Таким образом, задание граничных условий второго рода – это задание величины градиента t⁰ на поверхности тела .

Часто принимают, что q=const – постоянный во времени и по всей поверхности тела.

Встречается в металлургических и камерных печах граничные условия третьего рода (смешанная краевая задача).

В этом случае задаются t⁰ окружающей среды или внешнего источника тепла Т₀ и закон теплообмена между средой и поверхностью тела.

Граничные условия часто третьего рода – часто встречаются на практике.

По существу задаемся некоторая связь между известной t⁰ окружающей среды (внешнего источника тепла) и неизвестными t⁰ поверхности тела и градиентом температур на поверхности.

Например, если внешний теплообмен осуществляется путем конвективной теплоотдачи, то плотность теплового потока, подводимого к поверхности тела, выражается формулой Ньютона:

где T₀ – t⁰ окружающей среды;

Т_пов. – t⁰ поверхности тела.

С другой стороны плотность теплового потока на поверхности тела q может быть выражена постулатом или формулой Фурье:

где n – координата, направленная по нормам к поверхности тела.

Приравнивая правые части уравнений, на основании закона сохранения энергии, получим математическую формулировку граничных условий третьего рода:

;

Частный случай Т₀=const или Т_печ.= const; – нагрев заготовки в печи при постоянной температуре. На практике при нагреве металла производят сочетание граничных условий нагрева. Например вначале нагрев при q_.= const, а заканчивать нагрев при t_печ=_.const.