Методчка по информатике

Лабораторная работа №22

Тема. Решение нелинейных уравнений и систем.

Цель работы. Изучение возможностей и приобретение навыков при решения нелинейных уравнений и систем в MathCAD.

Задание. Выполнить в MathCAD задание из лабораторной работы №9 (табл. 12

– 14).

Рекомендации к выполнению лабораторной работы. Рассмотрим не-

сколько примеров.

Пример 1. Найти решение уравнения x3+0.4x2+0.6x–1.6=0.

Для решения задачи нужно задать массив коэффициентов v для дальнейшего использования в функции polyroots(v). Определить вектор коэффициентов многочлена можно при помощи символьной операции Symbolics → Polynomial Coefficient. При этом многочлен должен быть введен в рабочий лист, и одна из переменных выделена. Далее полученный вектор необходимо присвоить какой либо переменной и найти решение, вызвав функцию вычисления корней полинома. Результаты аналитического и графического решений приведены на рис. 43.

Рис. 43. Численное и графическое решение полинома

Пример 2. Найти корни уравнения f(x)=0.

На рис. 44 видно, что график функции f(x) трижды пересекает ось абсцисс, то есть уравнение имеет три корня. Функция root(F(x), x, a, b) возвращает с заданной точностью значение переменной x, при котором выражение F(x) равно нулю, a и b – пределы интервала изоляции корня46.

46 Обратите внимание на последнее обращение к функции root на рис.3.78. MathCAD выдал сообщение об ошибке: «Значения на обоих концах интервала должны иметь противоположные знаки». Произошло это потому,

что интервал изоляции задан неверно. На графике видно, что на концах этого интервала функция знак не меняет.

91

Рис. 44. Решение нелинейного уравнения

Пример 3. Решить систему уравнений: {x2+y2+3x–2y=4, x+2y=5}.

Данная система легко сводится к одному уравнению при помощи элементарных преобразований (рис. 45). Линейное уравнение решается относительно одного из двух неизвестных, например, можно выразить х через у, выполнив команду Symbolic\Variable\Solve при выделенном х. Полученное выражение необходимо подставить в квадратное уравнение и упростить(Symbolic\Variable\Collect).

Решение квадратного уравнения с одним неизвестным, полученного в результате преобразований заданной системы, приведено на рис. 3.77. Графическое решение уравнение показало, что имеется два действительных корня. Поэтому решающий блок используется дважды с соответствующими начальными значениями.

Рис. 45. Преобразование системы к одному уравнению

Рис. 46. Решение системы уравнений

92

На рис. 47 показано, как решить заданную систему с помощью решающего блока.

Рис. 47. Решение системы уравнений с помощью решающего блока

Лабораторная работа №23

Тема. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем.

Цель работы. Изучение возможностей и приобретение навыков при решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем в MathCAD.

Задание.

Решить задачу Коши y =f(x,y), y(x0)=y0 на отрезке [x0,xn] методом Рунге-Кутта с постоянным шагом (табл. 29). Изобразить графики решений, вычисленных с ша-

гами h, 2h и h/2.

Решить задачу Коши y 1=f1(x,y1,y2), y 2=f2(x,y1,y2), y1(а)=y1,0, y2(а)=y2,0 на от-

резке [a,b] методом Рунге-Кутта с постоянным шагом h=0.1 (табл. 30). Изобразить графики решений, вычисленных с шагами h, 2h и h/2.

№

1

2

3

4

5

6

F(x,y,y )

e	x	1 dy e					x	dx 0
		y ln y xy 0
4 x			2	y	xy		2	x 0
						2 e x
3e x tgydx									dy 0
						cos 2
								x
		1 e x yy e x

y sin x y ln x

y(x0)=y0 №

y(0)=0.5 16

y(1)=e 17

y(0)=-tg2 18

y(1)= 19 arctg(2-e)

y(0)=1 20

y( 2)=e 21

Таблица 29. Варианты заданий

F(x,y,y )

dx

y(x0)=y0

xdx ydy x

2

ydy xy

2

y(1)=1

3(x

2

y y)dy

2 y

2

dx

0

y(0)=1

y( 2)= 2

y sin x sin y

yy

1 2x

y(0)=1

y

e2 x

3 dy 2e2 x dx 0

y(0)=0.25

sin y cos xdy cos y sin xdx

y(0)= 4

93

№					F(x,y,y )
7		xdx												ydy						0
		1 y											1 x
8		1 y 2 dx xdy
9						2					y y
10	e x 2 dy 2e x dx 0
11		2y ln y xy 0
12
	2								y				xy									x 0
		x					2												2
13	4
		xdx												ydy						0
		1 y											1 x
14		xdy y ln ydx 0
15	6xdx 6ydy 2x2 ydy 3xy 2 dx
№					f1(x,y1,y2)
1	arctg															1
								1		y						2	y							2
																								2
															1
2		arct(x2 y22 )
3					x			2	y1				y
																		2
4							x					y					2
									2								2
5												x
					1 x								2		y					2
																				2
6			sin(x								2						y	2
																		2 )
№			f1(x,y1,y2)
7							sin( y2 )													2
8													1		y
		x cos( y																			)
9		sin y										cos					2	y			2
									1
10
		3 3x 2 y12 y1
11								y		2					y	2
12		y							1			x
															2	y					2
				2																1
13								y1					x
			exp( y1												y2 )
14												1
15			3 exp( y1 )
														1			2
					cos( y y													)
16								y2 ln x
17								x y								2
															1
18					arctg(xy2 )

y(x0)=y0

№

F(x,y,y )

y(x0)=y0

y(1)=1

22

1 y

2

y(0)=1

y

1

x

2

y( 4)=1

23

y xy 1 x2 y

y(1)=1

y(0)=1

24

xyy 1 x 2

y(1)=1

y(0)=1/9

25

y( 2)=1

(xy

y tgx y 1

y(1)=e

26

2

x)dx ( y x

2

y)dy 0

y(0)=0

y(0)=-1

27

1 y

2

y(0)=0

y

1 x

2

0

y(0)=1

28

e

x

dx

1

y(0)=1

1

dy

y(1)=1

29

1 x 2

y xy 2

x 0

y(0)=0

y(1)=2

30

y 10

x y

y(1)=0

Таблица 30. Варианты заданий

	f2(x,y1,y2)																				y1(а)	y2(а)	a	b
							1				2										1	0	-1	1
	sin( y y												)
												1									0.5	1.5	0	2
	sin(x y													)							-1	1	0	4
			1				xy								2
cos( y																		)			1	0	0	5
			xy		1			y		2
			y				2														0.2	0	-1	1
	1 x					2			y							2
															1
		cos(xy1 )																			0	0	0	4
	f2(x,y1,y2)																				y1(а)	y2(а)	a	b
									1												0.5	-0.5	-1	3
		cos( y										)									-0.6	2	2	5
			1				y							2
	sin( y															)
	cos y1 cos y2																				0	0	-1	3
	x	2	y						2		y										0.5	1.3	0	2
								1											2
			y 2		y							2									1	1	1	3
			1
y2 cos x sin 2x																					0.8	3.5	2	4
			y2			x															1	-1	2	4
	exp( y1								y2 )												0	-3	2	5
				1
	2 exp( y																)
														1
	sin( y1 y2 )																				0	0	0	2
			y	y								2									-2	-1	1	4
			1								2
	y y									2		2									0	1	-1	1
			1
			sin( y1 )																		0	0	-2	1

94

№

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

f1(x,y1,y2)

y	y	2
1

y12 y22

y12 y1 y2

x 2 y1 y2

(3xy1 2y2 2x) / 5

	y	2
y	7x
1
y	2x
1
x 3y			2

x y1 y2

2xy1

x 2 y12 y22

y	1	x

x y1 y2

f2(x,y1,y2)

				1
		1	y	2	y	2
				1		2

			y y	2
			1
y	2		(x y			)
				1
x		2	y y
					2
				1

(xy1 y2 x) / 5

exp( xy		)
	1
2x 5y
		1
4 y	3x
1
y	3x
1

x y1 y2

6xy2

x 2 y12 y22

x2 y12 xy2

	x	y	2
			1

y1(а)	y2(а)	a	b
0	0	0	4
-1	1	0	4
1	1	0	3
1	1	0	3
0	0	0	3
0	0	-0.5	0.5
-0.5	0.5	-0.5	0.5
2	-2	0	2
1	2	1	3
4.5	5	2	3
1.5	2	2	3
-2	-2	-3	0

Рекомендации к выполнению лабораторной работы. Рассмотрим не-

сколько примеров.

Пример 1. Решить задачу Коши

x x x	3	cos(t)
x(0) 2		.

На рис. 48 приведен пример использования функции rkfixed при решении задачи Коши.

Рис. 48. Решение дифференциального уравнения

95

Пример 2. Решить задачу Коши

		cos(x y)
x			, x(0)	0, y(0)	0
	y sin(x t y)

на интервале [0;10]. Решение задачи представлено на рис. 49.

a 0				b 10
				cos x0 x1
D(t x)					t x
			sin x
				0	1
				0
H rkfixed				a b 50 D
				0
6
4
H 1
2
0			2	4	6	8	10
					H 0

Рис. 49. Решение системы дифференциальных уравнений

96

ЛИТЕРАТУРА

1.Алексеев Е.Р. Универсальный самоучитель начинающего пользователя ПК. –

М., НТ Пресс, 2007.–640с.

2.Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. MathCAD 12. Самоучитель. –М., НТ Пресс,

2005.–360с.

3.Алексеев Е.Р. (под общей редакцией О.В. Чесноковой) Подробное руководство для начинающих осваивать Интернет. –М., НТ Пресс, 2008.–448с

4.Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Турбо Паскаль 7.0. Самоучитель. _ М., НТ Пресс, 2004.–320с.

5.Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В., Кучер Т.В. Free Pascal и Lazarus: Учебник по программированию. Библиотека ALT Linux. - М. ALT Linux, 2010. -438с.

6.Алексеев Е.Р., Чесноква О.В. Matlab 7. Самоучитель. М.: НТ Пресс, 2006. - 464

7.Алексеев Е.Р., Чесноква О.В. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9. Самоучитель. М.: НТ Пресс, 2006.

-496с.

8.Богумирский Б. Эффективная работа на IBM PC в среде Windows. СПб.- Пи-

тер, 1997.- 1120 с.

9.Биллинг В. А., Дехтярь М. И. VBA и офисное программирование. - М., Русская редакция, 1998.

10.Вильям Орвис. Excel для ученых, инженеров и студентов. - Киев, Юниор,

1999.

11.Глинский Я.Н., Анохин В.Е., Ряжская В.А. Бейсик. QBasic и Visual Basic.- Киев: ДиаСофт, 2002.- 192 с.

12.Дьяконов В., Mathcad 2000: учебный курс–СПб: Питер, 2000.–592 с.

13.Кишик А.Н. Word 2002. Эффективный самоучитель. Быстро... просто...

наглядно...- Киев: ДиаСофт, 2001.- 256 с.

14.Клименко А. Эффективный самоучитель работы на ПК. Основной курс.- Ки-

ев: ДиаСофт, 2002.- 496 с.

15.Коднянко В.А. Использование Internet. Учебное пособие.- Красноярск:

КГТУ, 2001.

16.Культин А. C/C++ в задачах и примерах. BHV-СПб

17.Кузьменко В.Г. VBA 2002. – М.:ЗАО “Издательство бином”, 2002.–624 с.

18.Ларсен Рональд. У. Инженерные расчеты в Excel. - М., Вильямс, 2002.

19.Титаренко Г. Visual Basic 6.0 Коллекция BHV BHV-Киев

20.Янг М. Internet. Полное руководство. BHV-Киев

21.Delphi 2007. Алгоритмы и программы. Учимся программировать на Delphi 2007/ Чеснова О.В. Под общ. ред. Алексеева Е.Р. – М.: НТ Пресс, 2008. – 368с.: ил.

22.Scilab: Решение инженерных и математических задач/ Е.Р. Алексеев, О.В. Чеснокова, Е.А. Рудченко. – М.: ALT Linux; БИНОМ. Лаборатория знаний,

2008. – 260с.: 8с. ил.:.-(Библиотека ALT Linux).

23.Методические указания и задания к лабораторным работам по алгоритмизации (для студентов всех специальностей) / Л.В. Славинская, В.И. Зензеров – Донецк: ДонНТУ, 2008. – 84 с.

97

24.Методические указания к выполнению лабораторных робот в MS Excel для студентов всех специальностей. / сост. Алексеев Е. Р., Чеснокова О. В. - Донецк, ДонНТУ, 2004. – 112с

25."Основи алгоритмізації і програмування на мові VBA".Методичні вказівки і завдання / Автори: Єдемська Є.М., Славінська Л.В.– Донецьк: ДонНТУ, 2009.

– 134 с.

26.Методичні вказівки і завдання до лабораторних робіт по темі: «Основи роботи з текстовим процесором MS WORD» / Автори: Зензеров В.І., Славінська Л.В.. – Донецьк: ДонНТУ, 2009. – 95с.

27.Методичні вказівки і завдання до курсової роботи з дисципліни «Інформатика і системологія» для студентів-екологів / уклад.: Славінська - Донецк: Дон-

НТУ, 2008. – 76 с.

28.Методические рекомендации и контрольные задания по курсу «Информатика и системология» для студентов специальности 7.070801 «Экология и охрана окружающей среды» заочной формы обучения. Чеснокова О.В., Алексеев Е.Р., Павлыш В.Н. Донецк, ДонНТУ, 2006. - 30с.

29.Методическое пособие (конспект лекций) по курсу «Информатика и компьютерная техника». Часть 1. Работа на персональном компьютере под управлением Windows. Алексеев Е.Р., Анохина И.Ю., Чеснокова О.В., Донецк: ДонНТУ. - 2004. – 179с.

30.Методическое пособие (конспект лекций) по курсу «Информатика и компьютерная техника». Часть 2. Основи алгоритмізації. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В., Донецк: ДонНТУ. -2004. – 55с.

98