02_Metodichka_MMSA

Закон розподілу, як відомо, може визначатись за допомогою: функції розподілу, ряду розподілу або щільності розподілу, характеристичної функції тощо. Закон розподілу можна побудувати теоретичними засобами, виходячи з умов експерименту та законів природи. Якщо цей шлях виявляється занадто складним, то застосовують статистичні методи, які базуються на багаторазовому повторенні експерименту та обробці набутого статистичного матеріалу за допомогою теорем та алгоритмів математичної статистики.

Сучасна теорія ймовірностей та теорія випадкових процесів є високорівневими аксіоматичними строгими математичними теоріями. В даному курсі елементи теорії моделювання випадкових процесів представлені на прикладах процесу Пуасона та вінерівського процесу. Процес Пуасона будується як модель, яка обчислює кількість подій у найпростішому потоці. Він є типовим представником випадкових процесів із неперервним часом та зліченою множиною станів. Деталі цієї теорії можна знайти в [7, с. 106-115]. Вінерівський процес є математичною моделлю одного з найбільш поширених типів природних процесів – дифузійних процесів. Подробиці викладені в [8, с. 63-67]. Ці два процеси та розподіли, які вони представляють, займають чільне місце серед стохастичних динамічних моделей.

Загалом при вивченні курсу “Математичне моделювання та системний аналіз” поряд із вивченням теорії слід значну увагу приділяти закріпленню набутих навичок на прикладах. Суттєву допомогу в цьому надають задачі та приклади з книг [2], [4], [11]. Наведемо приклад математичної моделі стохастичного експерименту.

8.1. Задача оцінювання шансів банкрутства страхової компанії

Постановка задачі. Одною з головних проблем у роботі страхової компанії є проблема оцінювання шансів банкрутства компанії, тобто шансів, що складеться така ситуація, коли фінансових ресурсів компанії не вистачить для виплати страхових відшкодувань клієнтам. Будемо вважати, що розглядається страховий портфель компанії, до складу якого входять М штук однотипових страхових полісів. Розглядається робота компанії протягом року і за одиницю часу обрано деякий короткий проміжок часу (наприклад, одна година), N – кількість таких проміжків, що припадають на рік. Розмір одноразового страхового відшкодування є випадковою величиною , закон розподілу якої нам відомий. Також нам відома ймовірність p – ймовірність того, що протягом одиниці часу настане одна страхова подія. Протягом року компанія планує одержати страхових внесків на суму P, які вона додасть до свого резервного фонду U. Необхідно обчислити ймовірність того, що за підсумками року сума страхових виплат перевищить фінансовий ресурс компанії .

Страхова компанія, як фінансова установа, є класичним прикладом стохастичної системи, оскільки моменти появи страхових випадків, кількість таких випадків, розміри страхових відшкодувань є випадковими величинами, які підкоряються певним ймовірнісним законам. Розробимо математичну модель, яка дозволить розраховувати шанси збанкрутіння компанії за підсумками року. Якщо одиниця часу обрана достатньо малою, то можна вважати, що протягом цього інтервалу часу може настати не більше одної страхової виплати. Природно вважати, що розміри різних страхових виплат не залежать одна від одної. Крім того, ми розглядаємо однотипові страхові поліси. Це дає нам право вважати, що випадкові величини є незалежними однаково розподіленими випадковими величинами з однаковою функцією розподілу . Кількість страхових виплат, які доведеться здійснити протягом року, також є випадковою величиною . Але з умов задачі випливає, що її розподіл повинен бути біноміальним розподілом з імовірністю успіху p та кількістю випробувань N. Отже,

.

Тоді . Позначимо через – очікуваний середній розмір однієї страхової виплати, а через – дисперсію розміру виплати. Тоді середні показники загальної річної виплати будуть такими: , . Якщо одиницю часу обрати такою, щоб виконалась нерівність , то при фіксованому значенні величина матиме приблизно нормальний розподіл. Отже, отримуємо наближену формулу для оцінки ймовірності банкрутства компанії

.

Тут – функція розподілу стандартного нормального закону.

Таким чином, ми побудували математичну модель, яка дає можливість оцінювати шанси банкрутства компанії за підсумками року.

Варіанти індивідуальних завдань

Варіант 1

1. Відсотки по кредиту при щомісячному нарахуванні простих відсотків на всю величину кредиту 10 тис. грн. за два місяці склали 450 грн.

а) Якою є річна номінальна ставка кредиту?

б) Розрахуйте переплату по кредиту у відсотках за 5 років.

в) Якою повинна бути річна номінальна ставка, щоб за 5 років переплатити не більш 30% від величини кредиту, якщо відсотки виплачуються щомісячно, а тіло кредиту повертається наприкінці терміну кредитування?

г) Відповісти на запитання в) у припущенні, що кредит виплачується рівними частинами щомісяця за 5 років і відсотки нараховуються на залишок суми кредиту щомісяця. Запишіть відповідь спочатку в загальному вигляді, а потім, підставивши числові значення параметрів, обчисліть шукану величину.

2. Гравці А і В грають у таку гру. Гравець А робить ставку 4 грн., а гравець В – 5 грн. З коробки, що містить дві білих, одну чорну і дві червоних кулі, гравець А бере навмання одну кулю. Гравець В з коробки, що містить одну білу і дві чорних кулі, бере навмання одну кулю. Якщо кулі одного кольору, то перемагає А і забирає весь призовий фонд. Якщо одна куля біла, а інша чорна, то перемагає В і забирає весь призовий фонд. Якщо серед вийнятих куль є червона, то результат вважається нічийним і кожен гравець одержує половину призового фонду. Відповісти на наступні питання.

а) Якою є імовірність того, що В переможе?

б) Якою є імовірність того, що А буде мати додатний прибуток?

в) Яким є очікуваний середній прибуток кожного гравця?

г) Вкажіть всі можливі величини ставки гравця В, при яких його очікуваний середній прибуток буде більшим від очікуваного середнього прибутку гравця А (при цьому величина ставки гравця А не змінюється)?

д) Гравці грають тричі, роблячи щораз такі ставки: А – 4 грн., В – 5 грн. Якою є імовірність того, що за підсумком трьох ігор А буде мати додатний прибуток? Яким є очікуваний середній прибуток гравця А?

Варіант 2

1. Банк виплачує 102$ кожні півроку по валютному внеску, виходячи з 7% річної номінальної ставки.

а) Якою є величина початкового внеску, якщо нараховуються прості відсотки?

б) Якою є величина початкового внеску, якщо нараховуються складні відсотки з щомісячним нарахуванням і з піврічним зняттям відсотків? Порівняйте результат з пунктом а)

в) Розрахуйте суму, накопичену на рахунку наприкінці четвертого року, якщо щороку знімається тільки 100$ наприкінці року, а відсотки нараховуються за схемою б). Запишіть відповідь спочатку в загальному вигляді, а потім, підставивши числові значення параметрів, обчисліть шукану величину.

г) Якою повинна бути номінальна річна ставка, щоб банк виплачував 500$ кожні півроку за схемою нарахування відсотків а), якщо початковий внесок дорівнює 5000$ ?

2. Гравці А і В грають у таку гру. Гравець А робить ставку 3 грн., а гравець В – 5 грн. З коробки, що містить чотири картки, на яких написані числа 1, 2, 3, 4, гравець А бере навмання картку, записує побачене число і повертає картку назад у коробку. Гравець В з тієї ж коробки бере навмання картку, записує отримане число і повертає картку в коробку. Якщо сума отриманих чисел ділиться на 4, то перемагає А і забирає весь призовий фонд. Якщо сума ділиться на 3, то перемагає В і забирає весь призовий фонд. Якщо сума не ділиться ні на 4, ні на 3, то результат вважається нічийним і кожен гравець одержує половину призового фонду. Відповісти на наступні питання.

а) Якою є імовірність того, що В переможе?

б) Якою є імовірність того, що А буде мати додатний прибуток?

в) Яким є очікуваний середній прибуток кожного гравця?

г) Вкажіть всі можливі величини ставки гравця В, при яких його очікуваний середній прибуток буде більшим від очікуваного середнього прибутку гравця А (при цьому величина ставки гравця А не змінюється)?

д) Гравці грають тричі, роблячи щораз такі ставки: А – 3 грн., В – 5 грн. Якою є імовірність того, що за підсумком трьох ігор А буде мати додатний прибуток? Яким є очікуваний середній прибуток гравця А?

Варіант 3

1. На депозитний рахунок внесено 3000$ під річну номінальну ставку 9% із щоквартальним зняттям відсотків.

а) Знайдіть суму відсотків, що клієнт знімає щокварталу, якщо нараховуються прості відсотки?

б) Знайдіть суму відсотків, що клієнт знімає щокварталу, якщо щомісячно нараховуються складні відсотки? Порівняйте результат з пунктом а).

в) Розрахуйте суму, накопичену на рахунку наприкінці четвертого року, якщо щороку знімається тільки 200$ наприкінці року; якщо відсотки не знімаються взагалі. Відсотки нараховуються за схемою б). Запишіть відповідь спочатку в загальному вигляді, а потім, підставивши числові значення параметрів, обчисліть шукану величину.

г) Якою повинна бути номінальна річна ставка, щоб сума відсотків за схемою нарахування б) за кожні півроку дорівнювала 450$ ?

2. Гравці А і В грають у таку гру. Гравець А робить ставку 7 грн., а гравець В – 9 грн. З коробки, що містить два зелених, один синій і два жовтих олівців, гравець А бере навмання один олівець. Гравець В з коробки, що містить один зелений і два синіх олівців, бере навмання один олівець. Якщо олівці одного кольору, то перемагає А і забирає весь призовий фонд. Якщо один олівець зелений, а інший синій, то перемагає В і забирає весь призовий фонд. Якщо серед вийнятих олівців є жовтий, то результат вважається нічийним і кожен гравець одержує половину призового фонду. Відповісти на наступні питання.

а) Якою є імовірність того, що В переможе?

б) Якою є імовірність того, що А буде мати додатний прибуток?

в) Яким є очікуваний середній прибуток кожного гравця?

г) Вкажіть всі можливі величини ставки гравця В, при яких його очікуваний середній прибуток буде більшим від очікуваного середнього прибутку гравця А (при цьому величина ставки гравця А не змінюється)?

д) Гравці грають тричі, роблячи щораз такі ставки: А – 7 грн., В – 9 грн. Яка імовірність того, що за підсумком трьох ігор А буде мати додатний прибуток? Яким є очікуваний середній прибуток гравця А?

Варіант 4

1. Кредит у сумі 50 тис. грн. виданий на три роки з умовою повернення 70 тис. грн.

а) Нехай клієнт, одержавши гроші, кладе їх на депозит під прості відсотки на три роки. Якою повинна бути номінальна річна ставка депозиту, щоб клієнт залишився у виграші?

б) Відповісти на запитання а), якщо щомісяця нараховуються складні відсотки. Запишіть відповідь спочатку в загальному вигляді, а потім, підставивши числові значення параметрів, обчисліть шукану величину.

в) Якою повинна бути номінальна річна ставка депозиту при нарахуванні відсотків за схемою б), щоб клієнт міг знімати щорічно 5 тис. грн. та при цьому через три роки повернути кредит?

2. Гравці А і В грають у таку гру. Гравець А робить ставку 3 грн., гравець В робить ставку 4 грн. Один раз підкидають три монети – одна вартістю 1 коп. і дві вартістю 5 коп. Результатом експерименту вважається сума цифр, що випали на монетах (якщо випав герб, то вважають, що випав 0). Якщо сума виявилася парною, то перемагає А і забирає весь призовий фонд. Якщо сума виявилася непарною, то перемагає В і забирає весь призовий фонд. Якщо всі три монети упали гербом догори, то результат вважається нічийним і гравці поділяють призовий фонд порівно. Відповісти на наступні питання.

а) Якою є імовірність того, що В переможе?

б) Якою є імовірність того, що А буде мати додатний прибуток?

в) Яким є очікуваний середній прибуток кожного гравця?

г) Вкажіть всі можливі величини ставки гравця В, при яких його очікуваний середній прибуток буде більшим від очікуваного середнього прибутку гравця А (при цьому величина ставки гравця А не змінюється)?

д) Гравці грають тричі, роблячи щораз такі ставки: А – 3 грн., В – 4 грн. Якою є імовірність того, що за підсумком трьох ігор А буде мати додатний прибуток? Яким є очікуваний середній прибуток гравця А?

Варіант 5

1. Кредит у сумі 40 тис. грн. виданий на три роки з умовою повернення 60 тис. грн.

а) Нехай клієнт, одержавши гроші, частину з них кладе на депозит на три роки під прості відсотки з річною номінальною ставкою 19%. Яку мінімальну частину кредиту потрібно покласти на депозит, щоб через три роки грошей на рахунку вистачило для погашення кредиту?

б) Відповісти на запитання а), якщо щомісяця нараховуються складні відсотки. Запишіть відповідь спочатку в загальному вигляді, а потім, підставивши числові значення параметрів, обчисліть шукану величину.

в) Нехай клієнт кладе всю суму кредиту на депозит за схемою б). Яку найбільшу суму може знімати з рахунку щорічно клієнт, щоб грошей, що залишилися через 3 роки на рахунку, вистачило для погашення кредиту?

2. Гравці А і В грають у таку гру. Гравець А робить ставку 20 грн., а гравець В – 15 грн. З коробки, що містить чотири картки, на яких написані числа 1, 2, 3, 4, гравець А бере навмання картку, записує побачене число і повертає картку назад у коробку. Гравець В з тієї ж коробки бере навмання картку, записує отримане число і повертає картку в коробку. Якщо сума ділиться на 3, то перемагає А і забирає весь призовий фонд. Якщо сума отриманих чисел ділиться на 4, то перемагає В і забирає весь призовий фонд. Якщо сума не ділиться ні на 4, ні на 3, то результат вважається нічийним і кожен гравець одержує половину призового фонду. Відповісти на наступні питання.

а) Якою є імовірність того, що А переможе?

б) Якою є імовірність того, що В буде мати додатний прибуток?

в) Яким є очікуваний середній прибуток кожного гравця?

г) Вкажіть всі можливі величини ставки гравця А, при яких його очікуваний середній прибуток буде більшим від очікуваного середнього прибутку гравця В (при цьому величина ставки гравця В не змінюється)?

д) Гравці грають тричі, роблячи щораз такі ставки: А – 20 грн., В – 15 грн. Якою є імовірність того, що за підсумком трьох ігор А буде мати додатний прибуток? Яким є очікуваний середній прибуток гравця А?

Варіант 6

1. Кредит у сумі 60 тис. грн. виданий на деякий термін зі ставкою простих відсотків 15% річних на всю величину кредиту і умовою повернення 80 тис. грн.

а) Визначте тривалість терміну кредитування. Запишіть відповідь спочатку в загальному вигляді, а потім, підставивши числові значення параметрів, обчисліть шукану величину.

б) Нехай тіло кредиту виплачується рівними частинами щомісяця, при цьому нараховуються прості відсотки на залишок кредиту з номінальною річною ставкою 15% із щомісячним нарахуванням. Процентні виплати здійснюються також щомісяця. Розрахуйте термін кредитування такий, щоб переплата по кредиту склала 20%.

в) Розрахуйте суму щомісячних рівних платежів, якщо в схемі б) усі виплати будуть здійснюватись рівними частинами.

2. Гравці А і В грають у таку гру. Гравець А робить ставку 5 грн., гравець В робить ставку 7 грн. Один раз підкидають три монети – одна вартістю 2 коп. і дві вартістю 5 коп. Результатом експерименту вважається сума цифр, що випали на монетах (якщо випав герб, то вважають, що випав 0). Якщо сума виявилася парною, то перемагає А і забирає весь призовий фонд. Якщо сума виявилася непарною, то перемагає В і забирає весь призовий фонд. Якщо всі три монети упали гербом догори, то результат вважається нічийним і гравці поділяють призовий фонд порівно. Відповісти на наступні питання.

а) Якою є імовірність того, що В переможе?

б) Якою є імовірність того, що А буде мати додатний прибуток?

в) Яким є очікуваний середній прибуток кожного гравця?

г) Вкажіть всі можливі величини ставки гравця В, при яких його очікуваний середній прибуток буде більшим від очікуваного середнього прибутку гравця А (при цьому величина ставки гравця А не змінюється)?

д) Гравці грають тричі, роблячи щораз такі ставки: А – 5 грн., В – 7 грн. Якою є імовірність того, що за підсумком трьох ігор А буде мати додатний прибуток? Яким є очікуваний середній прибуток гравця А?

Варіант 7

1. Яку суму необхідно покласти клієнтові на депозит у банк:

а) під прості відсотки з номінальною річною ставкою 15%, щоб через 10 років одержати 50 тис. грн.?

б) під складні відсотки з щомісячним нарахуванням з номінальною річною ставкою 15%, щоб через 10 років одержати 50 тис. грн.? Порівняєте з пун­к­том б).

в) Нехай 1000 грн. вкладені за схемою б). Скільки часу потрібно, щоб одержати на рахунку 100 тис. грн.? Запишіть відповідь спочатку в загальному вигляді, а потім, підставивши числові значення параметрів, обчисліть шукану величину.

г) Нехай клієнт діє за схемою в) і додатково вносить щомісяця 100 грн. на рахунок. Через скільки років на рахунку буде 100 тис. грн.? Порівняйте результат з пунктом в).

2. Гравці А і В грають у таку гру. Гравець А робить ставку 30 грн., а гравець В – 50 грн. З коробки, що містить дві білих, одну чорну і дві червоних кулі, гравець А бере навмання одну кулю. Гравець В з коробки, що містить одну білу і дві чорних кулі, бере навмання одну кулю. Якщо кулі одного кольору, то перемагає А і забирає весь призовий фонд. Якщо серед вийнятих куль є червона, то перемагає В і забирає весь призовий фонд. Якщо одна куля біла, а інша чорна, то результат вважається нічийним і кожен гравець одержує половину призового фонду. Відповісти на наступні питання.

а) Якою є імовірність того, що В переможе?

б) Якою є імовірність того, що А буде мати додатний прибуток?

в) Яким є очікуваний середній прибуток кожного гравця?

г) Вкажіть всі можливі величини ставки гравця В, при яких його очікуваний середній прибуток буде більшим від очікуваного середнього прибутку гравця А (при цьому величина ставки гравця А не змінюється)?

д) Гравці грають тричі, роблячи щораз такі ставки: А – 30 грн., В – 50 грн. Якою є імовірність того, що за підсумком трьох ігор А буде мати додатний прибуток? Яким є очікуваний середній прибуток гравця А?

Варіант 8

1. Відсотки по кредиту при щомісячному нарахуванні простих відсотків на всю величину кредиту 25 тис. грн. за два місяці склали 1120 грн.

а) Якою є річна номінальна ставка кредиту?

б) Розрахуйте переплату по кредиту у відсотках за 7 років.

в) Якою повинна бути річна номінальна ставка, щоб за 7 років переплатити не більше 35% від величини кредиту? Запишіть відповідь спочатку в загальному вигляді, а потім, підставивши числові значення параметрів, обчисліть шукану величину.

г) Відповісти на запитання в) у припущенні, що кредит виплачується рівними частинами щомісяця за 7 років і відсотки нараховуються на залишок суми кредиту щомісяця.

2. Гравці А і В грають у таку гру. Гравець А робить ставку 10 грн., а гравець В – 7 грн. З коробки, що містить чотири картки, на яких написані числа 2, 3, 4, 5, гравець А бере навмання картку, записує побачене число і повертає картку назад у коробку. Гравець В з тієї ж коробки бере навмання картку, записує отримане число і повертає картку в коробку. Якщо сума отриманих чисел ділиться на 3, то перемагає А і забирає весь призовий фонд. Якщо сума ділиться на 4, то перемагає В і забирає весь призовий фонд. Якщо сума не ділиться ні на 4, ні на 3, то результат вважається нічийним і кожен гравець одержує половину призового фонду. Відповісти на наступні питання.

а) Якою є імовірність того, що А переможе?

б) Якою є імовірність того, що В буде мати додатний прибуток?

в) Яким є очікуваний середній прибуток кожного гравця?

г) Вкажіть всі можливі величини ставки гравця А, при яких його очікуваний середній прибуток буде більшим від очікуваного середнього прибутку гравця В (при цьому величина ставки гравця В не змінюється)?

д) Гравці грають тричі, роблячи щораз такі ставки: А – 10 грн., В – 7 грн. Якою імовірність того, що за підсумком трьох ігор А буде мати додатний прибуток? Яким є очікуваний середній прибуток гравця А?

Варіант 9

1. Банк виплачує 210$ кожні півроку з валютного внеску, виходячи з 9% річної номінальної ставки.

а) Якою є величина внеску, якщо нараховуються прості відсотки?

б) Якою є величина внеску, якщо нараховуються складні відсотки з щомісячним нарахуванням і з піврічним зняттям відсотків? Порівняйте результат з пунктом а).

в) Розрахуйте суму, накопичену на рахунку наприкінці шостого року, якщо щороку знімається тільки 150$ наприкінці року, а відсотки нараховуються за схемою б).

г) Якою повинна бути номінальна річна ставка, щоб банк виплачував 700$ кожні півроку за схемою нарахування відсотків а), якщо на рахунок внесено 6000$ ? Запишіть відповідь спочатку в загальному вигляді, а потім, підставивши числові значення параметрів, обчисліть шукану величину.

2. Гравці А і В грають у таку гру. Гравець А робить ставку 12 грн., гравець В робить ставку 10 грн. Один раз підкидають три монети – одна вартістю 2 коп., одна вартістю 5 коп. і одна вартістю 10 коп. Результатом експерименту вважається сума чисел, що випали на монетах (якщо випав герб, то вважають, що випав 0). Якщо сума виявилася парною та не рівною нулю, то перемагає А і забирає весь призовий фонд. Якщо сума виявилася простим числом, більшим за 2, то перемагає В і забирає весь призовий фонд. У всіх інших випадках результат вважається нічийним і гравці поділяють призовий фонд порівно. Відповісти на наступні питання.

а) Якою є імовірність того, що А переможе?

б) Якою є імовірність того, що В буде мати додатний прибуток?

в) Яким є очікуваний середній прибуток кожного гравця?

г) Вкажіть всі можливі величини ставки гравця А, при яких його очікуваний середній прибуток буде більшим від очікуваного середнього прибутку гравця В (при цьому величина ставки гравця В не змінюється)?

д) Гравці грають тричі, роблячи щораз такі ставки: А – 12 грн., В – 10 грн. Якою є імовірність того, що за підсумком трьох ігор А буде мати додатний прибуток? Яким є очікуваний середній прибуток гравця А?

Варіант 10

1. На депозитний рахунок внесено 5000$ під річну номінальну ставку 10% із щоквартальним зняттям відсотків.

а) Знайдіть суму відсотків, що клієнт знімає щокварталу, якщо нараховуються прості відсотки?

б) Знайдіть суму відсотків, що клієнт знімає щокварталу, якщо щомісячно нараховуються складні відсотки? Порівняєте з пунктом а).

в) Розрахуйте суму, накопичену на рахунку наприкінці третього року, якщо щороку знімається тільки 250$ наприкінці року; якщо відсотки не знімаються взагалі. Відсотки нараховуються за схемою б).

г) Якою повинна бути номінальна річна ставка, щоб банк виплачував 650$ кожні півроку за схемою нарахування б)? Запишіть відповідь спочатку в загальному вигляді, а потім, підставивши числові значення параметрів, обчисліть шукану величину.

2. Гравці А і В грають у таку гру. Гравець А робить ставку 15 грн., гравець В робить ставку 10 грн. Один раз підкидають три монети – одна вартістю 1 коп., одна вартістю 2 коп. і одна вартістю 5 коп. Результатом експерименту вважається сума цифр, що випали на монетах (якщо випав герб, то вважають, що випав 0). Якщо сума виявилася простим числом, більшим за 2, то перемагає А і забирає весь призовий фонд. Якщо сума виявилася парною та не рівною нулю, то перемагає В і забирає весь призовий фонд. В усіх інших випадках результат вважається нічийним і гравці поділяють призовий фонд порівно. Відповісти на наступні питання.

а) Якою є імовірність того, що А переможе?

б) Якою є імовірність того, що В буде мати додатний прибуток?

в) Яким є очікуваний середній прибуток кожного гравця?

г) Вкажіть всі можливі величини ставки гравця А, при яких його очікуваний середній прибуток буде більшим від очікуваного середнього прибутку гравця В (при цьому величина ставки гравця В не змінюється)?

д) Гравці грають тричі, роблячи щораз такі ставки: А – 15 грн., В – 10 грн. Якою є імовірність того, що за підсумком трьох ігор А буде мати додатний прибуток? Яким є очікуваний середній прибуток гравця А?

Варіант 11

1. Кредит у сумі 35 тис. грн. виданий на чотири роки з умовою повернення 65 тис. грн.

а) Нехай клієнт, одержавши гроші, кладе їх на депозит під прості відсотки на чотири роки. Якою повинна бути номінальна річна ставка депозиту, щоб клієнт залишився у виграші?

б) Відповісти на запитання а), якщо щомісяця нараховуються складні відсотки. Запишіть відповідь спочатку в загальному вигляді, а потім, підставивши числові значення параметрів, обчисліть шукану величину.

в) Якою повинна бути номінальна річна ставка депозиту при нарахуванні відсотків за схемою б), щоб клієнт міг знімати щорічно 5 тис. грн. та при цьому через чотири роки повернути кредит?

2. Гравці А і В грають у таку гру. Гравець А робить ставку 7 грн., а гравець В – 5 грн. З коробки, що містить три білих, одну чорну і одну червону кулі, гравець А бере навмання одну кулю. Гравець В з коробки, що містить дві білих, одну червону і одну чорну кулі, бере навмання одну кулю. Якщо кулі різних кольорів, то перемагає А і забирає весь призовий фонд. Якщо обидві кулі білі, то перемагає В і забирає весь призовий фонд. Якщо обидві вийняті кулі одного кольору, але не білі, то результат вважається нічийним і кожен гравець одержує половину призового фонду. Відповісти на наступні питання.

а) Якою є імовірність того, що В переможе?

б) Якою є імовірність того, що А буде мати додатний прибуток?

в) Яким є очікуваний середній прибуток кожного гравця?

г) Вкажіть всі можливі величини ставки гравця В, при яких його очікуваний середній прибуток буде більшим від очікуваного середнього прибутку гравця А (при цьому величина ставки гравця А не змінюється)?

д) Гравці грають тричі, роблячи щораз такі ставки: А – 7 грн., В – 5 грн. Якою є імовірність того, що за підсумком трьох ігор А буде мати додатний прибуток? Яким є очікуваний середній прибуток гравця А?

Варіант 12

1. Кредит у сумі 55 тис. грн. виданий на шість років з умовою повернення 75 тис. грн.

а) Нехай клієнт, одержавши гроші, частину з них кладе на депозит на шість років під прості відсотки з річною номінальною ставкою 17%. Яку мінімальну частину кредиту потрібно покласти на депозит, щоб через шість років грошей на рахунку вистачило для погашення кредиту?