02_Metodichka_MMSA

Обчислити річний рівень інфляції і річний індекс інфляції.

Побудувати графік змінювання купівельної спроможності суми 1000 грн.

Розробити загальну математичну модель динаміки споживчого кошика і динаміки купівельної спроможності суми А.

39. Показник x(t) змінюється з часом і може приймати тільки невід’ємні значення. Для показника задано деяке характерне значення а. Швидкість зміни показника в момент часу t є прямо пропорційною до різниці значення показника в цей момент і його характерного значення. Побудувати закон зміни показника у випадку неперервного і дискретного часу. Порівняти динаміку показника для обох моделей.

40. Виробник товару формує пропозицію товару на ринок у поточному періоді часу на основі цін, що установилися в попередньому періоді. Функція пропозиції має вигляд: S(p(t-1))=Sp(t-1)+C. Функція попиту має вигляд: D(p(t))=Ap(t)-B. Дослідити ринок на стійкість.

41. Виробник товару формує пропозицію товару на ринок у поточному періоді часу на основі цін, що установилися в попередньому періоді. Функція пропозиції має вигляд: S(p(t-1))=Sp(t-1)+L. Функція попиту має вигляд: . Дослідити ринок на стійкість.

42. Сформулювати і розв’язати задачу рантьє для схеми простих відсотків при наявності реінвестицій.

43. Сформулювати і розв’язати задачу рантьє для схеми складних відсотків.

44. Сформулювати і розв’язати задачу рантьє для схеми простих відсотків за умови, що при k – тому вилученні коштів з рахунка знімається сума, яка дорівнює R(1+i)^k.

45. Клієнт взяв у банку кредит розміром Q грн. терміном на два роки під p% річних. Повернення кредиту повинне здійснюватись рівними порціями щомісяця, плюс відсотки по кредиту за місяць. Розрахувати поточний розмір щомісячного платежу і загальний обсяг коштів, сплачених клієнтом.

46. Для найпростішої моделі бінарного ринку Стоуна розрахувати розмір бюджетної компенсації при збільшенні ціни на один з товарів у k разів. Провести порівняльний аналіз оптимальних споживчих наборів до і після компенсації.

47. Побудувати і дослідити динамічну модель типу “Доход = Споживання + Інвестиції” у випадку, коли споживання постійне.

48. Побудувати і дослідити динамічну модель типу “Доход = Споживання + Інвестиції” у випадку, коли споживання зростає экспоненційно.

49. Побудувати і дослідити динамічну модель типу “Доход = Споживання + Інвестиції” у випадку, коли споживання зростає лінійно.

50. Бурулька має конічну форму. Під впливом теплого повітря вона тане з постійною швидкістю. За одну хвилину з бурульки збуває шар товщиною а міліметрів. Під бурулькою стоїть склянка циліндричної форми. Побудувати графік функції, що описує закон зміни висоти стовпа води в склянці.

Питання, що виносяться на екзамен

1. Поняття моделі. Типи моделей. Види математичних моделей. Основні етапи математичного моделювання. Ілюстрація на прикладах.

2. Точне відновлення лінійної функції по її значеннях у заданих точках.

3. Точне відновлення поліноміальної функції по її значеннях у заданих точках.

4. Точне відновлення дробово-лінійної функції по її значеннях у заданих точках.

5. Точне відновлення показникової і логарифмічної функцій по їхніх значеннях у заданих точках.

6. Побудова найкращої прямої методом найменших квадратів. Оцінювання точності моделі.

7. Побудова найкращої параболи методом найменших квадратів. Оцінювання точності моделі.

8. Лінійна функція як модель прямо пропорційної залежності. Залежність моделі від параметрів. Приклади лінійних моделей.

9. Квадратична функція як математична модель. Залежність моделі від параметрів. Приклади квадратичних моделей.

10. Дробово-лінійна функція як модель оберненої пропорційної залежності. Залежність моделі від параметрів. Приклади дробово-лінійних моделей.

11. Функції експоненціального типу як математичні моделі. Залежність моделі від параметрів. Приклади моделей експоненціального типу.

12. Тригонометричні функції як математичні моделі. Залежність моделі від параметрів. Приклади тригонометричних моделей.

13. Перетворення графіків функцій при відображеннях виду .

14. Теорема Креггса про найкоротший шлях.

15. Задача про маневрування автомобіля за наявності заднього ходу (). Постановка задачі та її розв’язок.

16. Задача про маневрування автомобіля при відсутності заднього ходу (). Постановка задачі та її розв’язок.

17. Задача про рух яхти галсами. Постановка задачі та її розв’язок.

18. Похідна та інтеграл як моделі. Еластичність функції, властивості еластичності, еластичність елементарних функцій, економічний зміст еластичності.

19. Прості відсотки: визначення і властивості. Постановка задачі і розв’язок.

20. Складні відсотки: визначення і властивості. Постановка задачі і розв’язок.

21. Накопичувальна рента у випадку простих відсотків. Постановка задачі і розв’язок.

22. Накопичувальна рента у випадку складних відсотків. Постановка задачі і розв’язок.

23. Задача рантьє у випадку простих відсотків. Постановка задачі і розв’язок.

24. Задача рантьє у випадку складних відсотків. Постановка задачі і розв’язок.

25. Задача споживчого вибору. Модель Стоуна для споживчого ринку.

26. Взаємозамінність товарів, індекс компенсації. Теорема про взаємозамінність товарів.

27. Показники економічної динаміки. Їхнї властивості.

28. Найпростіша модель динамічної рівноваги. Порівняльний аналіз моделі з дискретним та неперервним часом.

29. Павутиноподібна модель економічної динаміки.

30. Динамічна модель “Доход = Споживання + Інвестиції” (час неперервний).

31. Ігри з нульовою сумою і скінченою кількістю стратегій. Постановка задачі для двох гравців. Чисті і змішані стратегії. Теорема Неймана. Демонстрація на прикладі.

32. Ігри з ненульовою сумою, кооперативні ігри. Точка погрози, переговорна множина, оптимальність по Парето, розв’язок по Нэшу. Задача про сімейну суперечку.

33. Принципи моделювання стохастичних систем. Демонстрація на прикладі.

34. Ігри в умовах невизначеності. Модель гри в орлянку. Імовірності банкрутства гравців.

35. Імітаційне моделювання. Принципи побудови імітаційних моделей. Приклад розробки та використання імітаційної моделі.

Перелік літератури

1. Математическое моделирование, под. ред. Дж. Эндрюса и Р.Мак-Лоуна. – М., 1979.

2. Шапиро К.М. Использование задач с практическим содержанием в пре­по­да­вании математики. – М., 1990.

3. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Метематические ме­то­ды в экономике. – М., 1998.

4. Ширяев А.Н. Вероятность. – М., 1989.

5. Яглом И.М. Математические структуры и математическое моделирова­ние. – М., 1980.

6. Пухначёв Ю.В., Попов Ю.Л. Учись применять математику. – М., 1977.

7. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М., 1964.

8. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. – М., 1985.

9. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. – М., 1977.

10. Рогальский Ф.Б., Курилович Я.Е., Цокуренко А.А. Математические ме­то­ды анализа экономических систем. – М., 2001.

11. Гренандер Ч., Файнберг В. Краткий курс вычислительной вероятности и статистики. – М., 1978.

Методичні поради

Математичне моделювання і системний аналіз

(українською мовою)

Мельник Сергій Анатолійович

Вайсруб Наталя Володимирівна

Редактор Р.В.Щадько

Підписано до друку 2006 р. Формат 60х90/16. Папір типографський.

Офсетний друк. Умовн. друк. арк. 5,2. Тираж 100 прим. Замовлення №

Видавництво Донецького національного університету.

83055, м. Донецьк, вул.. Університетська, 24

Надруковано: Центр інформаційних комп’ютерних технологій

Донецького національного університету,

83055, м. Донецьк, вул.. Університетська, 24

Свідоцтво про держреєстрацію:

Серія ДК № 1854 від 24.06.2004 р.