Рис, 4.5, Модель обслуживания с яв­ными потерями сообщения потока от ограниченного числа источников (по­тока вочи) полнодоступным вклю­чением (пдв)

Для вычисления вероятности P₀ выполним последовательную подстановку значений P_i в уравне-

V

ние нормировки У P = 1.

² Потоком освобождений называется последовательность моментов окончания обслуживания телефон­ных вызовов. Если случайное время обслуживания определяется распределением (3.1), то поток освобождений является одинарным потоком.

Так как параметр поступающего потока вызовов A_t = а( N — i), то в (4.3) можно подставить значения Л₀ = aN, A = а(N — 1) и т.д.

Тогда

ас

(4.4)

р = ^ ^N

^Г1 ~ V ’

I,acN

x=0

где C_N - число сочетаний из N по i. Выражение (4.4), известное в литературе как формула Энгеста, позволяет определить вероятность занятости ровно i(0 < i < V) линий ПДВ при обслуживании с яв­ными потерями потока вызовов от N источников телефонной нагрузки (V < N < го) - потока ВОЧИ.

Расчет вероятности явных потерь при обслуживании простейшего потока вызовов. Перехо­дя к пределу при N — го в (4.3) и учитывая предельное свойство потока ВОЧИ lim A. = A , имеем

N ——го

^A0 ^A • • • ^AV_—1

i!

^{N —го}у ^A0^A1 —^Ax-1

X=0 x!

P = lim •

A

i!

z

x=0

_Ax

x!

(4.5)

Это выражение представляет собой распределение Эрланга. Перейдем к определению характери­стик качества обслуживания простейшего потока вызовов.

Вероятность потерь по времени определяется выражением, которое получают непосредственно из (4.5) подстановкой i = V:

P_t = ^PV

_AV

V!

V x

ZA

x!

x=0

Эта формула называется первой формулой Эрланга.

где и и ц_п — интенсивность поступающего и потерянного потоков вызовов.

Вероятность потерь по нагрузке можно определить из соотношения между поступающей и об­служенной нагрузками, а для стационарного потока — из соотношения их интенсивностей Y и Y₀. Ин­тенсивность поступающей нагрузки найдем по (3.16) при значении h, принятом за единицу времени:

го го t

Y = Z iP* =Z i^A * ^—A

го

A

i=1

i=1

i!

= A* ~^A V = A* ~^Ae^A = A ,■—5(i— 1)!

где P — вероятность занятия i линий ПДВ в модели без потерь сообщения. Из этого уравнения, в

частности, следует, что число вызовов простейшего потока, поступающих за среднее время одного занятия (усл. ед. вр.), численно равно интенсивности поступающей нагрузки, выраженной в эрлан­гах, т. е. для простейшего потока справедливо численное тождество

A = Y.

x_

i!

x=0

x!

Аналогично определим интенсивность обслуженной нагрузкиⁱⁱ

i=1

i=1

V x

ZA

лЛ

Теперь определим потери сообщения по нагрузке:

Рн =

Y_H Y - Yo A-A(1 - Pv)

Y

Y

A

= Pv

(4.11)

Из сравнения трех характеристик потерь сообщения (4.6), (4.7) и (4.11) следует, что: p_t = р_в⁼р_н = =P_v= р, т. е. вероятности потерь вычисляются по первой формуле Эрланга (4.6), обычно представляе­мой в символической форме

р = Ev(A) или р = Ev(Y). (4.12)

Первая формула Эрланга (4.6) табулирована для ПДВ емкостью от 0,01 до 200 Эрл [6]. Вероятно­сти р=ЕА^) для Vот 1 до 20 линий (приборов) приведены в табл. 4.1.

Расчет вероятности явных потерь при обслуживании телефонного потока ВОЧИ. Для оцен­ки качества обслуживания, потока ВОЧИ полнодоступным пучком линий необходимо определить вероятности потерь по времени, вызовам и нагрузке.

Вероятность потерь по времени при i = V определяется из уравнения Энгсета (4.4)

р₍ = ^Pv

aCN

x=0

(4.13)

Нагрузка, Эрл	Количество приборов (линий)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1,0	500000	200000	062500	015385	003067	000511	000073	000009	000001	000000
2,0	666667	400000	210526	095238	036697	012085	003441	000859	000191	000038
3,0	750000	529142	346154	206107	110054	052157	021864	008132	002703	000810
4,0	800000	615385	450704	310680	199067	117162	062749	030420	013340	005308
5,0	833333	675676	529661	398343	284868	191847	120519	070048	037458	018385
6,0	857143	720000	590164	469565	364400	264922	185055	121876	075145	043142
7,0	875000	753846	637546	527345	424719	331330	284871	178822	122101	078741
8,0	888889	780488	675462	574635	479003	389752	308165	235570	173141	121661
9,0	900000	801980	706395	613809	524908	440516	361584	289158	224300	167963
10,0	909091	819672	732064	646663	563952	485515	409041	338318	273208	214582
11,0	916667	834483	753681	674545	597423	522736	450984	382756	318714	259580
12,0	923077	847059	772118	698464	626352	556089	488045	422655	360426	301925
Продолжение
Нагрузка, Эрл	Количество приборов (линий)
	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1,0	—	—	—	—	—	—	—	—	—	—
2,0	000007	000001	000000	000000	—	—	—	—	—	—
3,0	000221	000055	000013	000003	000001	000000	—	—	—	—
4,0	001926	000642	000197	000056	000015	000004	000001	000000	—	—
5,0	008287	003441	001322	000472	000157	000049	000014	000004	000001	—
6,0	022991	011365	005218	002231	000892	000334	000118	000039	000012	000004
7,0	047717	027081	014373	007135	003319	001450	000597	000232	000085	000030
8,0	081288	051406	030665	017221	009101	004350	002127	000945	000398	000159

как отношение математических ожиданий соответствующих потоков: Л_П = Л_УР_У и Л = Ълр.

i=0

а(N - У)

Вероятность потерь по нагрузке рассчитывается после определения распределения Р*, соответ­ствующего модели обслуживания без потерь потока ВОЧИ. Как очевидно, потерь не будет при У* = N. Учитывая это условие, после несложных преобразований приведем (4.4) к виду

Опуская промежуточные преобразования, определим интенсивность поступающей нагрузки за ус­ловную единицу времени

Y = Ъ iP* = Ъ iCN [

i=1

i=1

1 + а

1 + а

Y = N-

^{y У} асN

Y0 =Ъ iP =Ъ

Аналогично найдем интенсивность обслуженной нагрузки

и Y = N-

i=1 i =1

Ъа^ХС₁

^{а(1 -} Рв ⁾

¹ +^{а(1 -} Рв ⁾'

Х=0

С учетом уравнений (4.14) и (4.15) определим вероятность потерь по нагрузке

_а^У_С^У

N-1

= YП = _{1 -} Yl = _{1 -}¹ + ^{а(1 -} Р В ^)Рн „ а

1 +а

^и Рн =•

x=0

Сопоставляя значения вероятностей потерь (4.13), (4.14) и (4.18), получим:

N - У N – Y N - У

Рн = Pt; Рн = Рв ; Рв =

N

N

Отсюда следует, что при обслуживании потока телефонных вызовов от ограниченного числа ис­точников вероятности потерь сообщения не равны между собой и тем больше отличаются друг от друга, чем меньше количество источников вызовов N, причем p_H<PB^<p_t.

N

Ъ^аХС.

N - Y

Вероятности потерь по вызовамр_В=/(Ы, У, а) при фиксированном числе источников N=10, 20, 30 и 50 и значениях параметра а = 0,05; 0,010; 0,15 и 0,20 Эрл приведены в табл. 4.2. Табулированные в широких пределах вероятности потерь р_В приведены в [19].

Расчет вероятности условных потерь и среднего времени ожидания при случайной длительно­сти обслуживания. Предположим, что полнодоступный пучок емкостью У линий обслуживает про­стейший поток вызовов (рис. 4.6). Время обслуживания одного вызова - случайная показательно - рас­пределительная величина (3.1) со средним значением h, принятым за единицу времени. Поэтому для параметра простейшего потока X, принята размерность: число вызовов за условную единицу време­ни. При занятости всех V линий поступающие вызовы ставят в очередь, где они ждут обслуживания [имеется т мест ожидания (1<m<<х>)], которое выполняется по мере освобождения линий ПДВ. Что­бы все вызовы дождались обслуживания, на величину параметра накладывается ограничение X<. V, так как при X>V постоянно будут заняты все V линий и очередь необслуженных вызовов будет про­грессивно расти.

Таблица 4.2. Вероятность потерь по вызовам p_B=f(N, V, а)

U	а=0,05	а=0,10	а=0,15	а=0,20
		N=10
1	1,3104	0,4737	0,5745	0,6429
2	0,05844	0, 1593	0,2563	0,3396
3	0,006772	0,03584	0,01823	0,1368
4	0,0005076	0,005347	0,004086	0,03945
		N = 20
1	0,4872	0,6552	0,7403	0,7917
2	0,1798	0,3709	0,4998	0,5876
3	0.04848	0,1737	0,2982	0,3997
4	0.009602	0,06496	0,1518	0,2423
5	0,001438	0,01912	0,06393	0,1269
6	0,0001677	0,004441	0,02189	0,05591
		N = 30
1	0,5918	0,7436	0,8131	0,8530
2	0,2929	0,5101	0,6307	0,7049
3	0,1165	0,3146	0,4599	0,5592
4	0,03647	0,1698	0,3096	0,4210
5	0,009036	0,07824	0,1884	0,2963
6	0,001804	0,03035	0,1016	0,1916
7	0,0002963	0,009874	0,04768	0,1118
8	0,00004073	0,002708	0,01929	0,05794
		N =50
1	0,7102	0,8305	0,8802	0,9074
2	0,4601	0,6659	0,7601	0,8133
3	0,2649	0,5106	0,6411	0,7182
4	0,1322	0,3700	0,5251	0,6229
5	0,5615	0,2498	0,4148	0,5286
6	0,02017	0,1548	0,3133	0,4367
7	0,006158	0,08685	0,2240	0,3492
8	0,001614	0,04361	0,1500	0,2683
9	0,0003675	0,01948	0,09294	0,1964
10	0,00007349	0,007731	0,05282	0,1358

Обозначим вероятность состояния модели, при котором в момент t находятся на обслуживании и ожидают в очереди i вызовов (0<i<V+m) через P , (t). При t ^ ж устанавливается состояние стати­стического равновесия и вероятности P _i (t) стремятся к постоянному пределу P_i и не зависят от на­чального распределения Р _i (0). Распределение этих вероятностей определяется вторым уравнением Эрланга (вывод уравнения см., например, [18])

P

X р i! ^P°	при	i < V;
(хХ	^-V х р
I I	^Р0	при
1V)	V!

(4.20)

i > V,

V-1 X

где Р₀

ZA

"XT⁺

V! V-X

v=0

Определим для рассматриваемой модели основные характеристики качества обслуживания. Ожидание обслуживания может возникать только в случае занятости всех V линий ПДВ. Поэтому вероятность ожидания Р (>0) для поступившего вызова

зовов

VocmynatQuiLiS

ад

P + р + р +V= У P

P(> 0) =

V+1 V+2 i •

С учетом значений Pi определяемых из (4.20), и свойств суммы членов бесконечной убывающей гео-

i=V

ад

метрической прогрессии У (Лх/х!) = 1/(1 - Л/V) = V/(V - Л) , поскольку Л/V < 1, имеем

х=0

ад ^{i V} V V ад * ^V

^р(>⁰⁾=Ш) тг^р0 4^pojJ) ^{и р(}>⁰⁾=

Л^_Р_ V! V-Л

V- л^х л^х V

х=0 х! V! V-Л

(4.21)

Это выражение называется второй формулой Эрланга. Если числитель и знаменатель формулы (4.21)

v лх

разделить на У , то после несложных преобразований можно получить более удобную для прак-

х=0 ^х!

тических расчетов формулу

V

P(> 0) =

V-л

Ev (Л)

(4.22)

+л

Вероятность условных потерь P ( >t) определяется дисциплиной очереди. Различают упорядо­ченную и неупорядоченную очереди. При упорядоченной очереди вызовы обслуживаются в порядке их поступления. При неупорядоченной очереди действует случайный выбор на обслуживание (все вызовы имеют одинаковую вероятность быть выбранными на обслуживание). Вероятность условных потерь (т. е. вероятность ожидания обслуживания более допустимого времени) при упорядоченной очереди определяется из уравнения (см. вывод, например, [18])

P(> t) = P(> 0)е^-(V-л,

(4.23)

где Р(>0)—вероятность, определяемая из уравнения (4.22), а t — допустимое время ожидания, представленное в условных единицах времени.

Рис. 4.7. Распределение времени ожи­

дания P(>t)

в упорядоченной (кри­

вая /) и неупорядоченной (кривая 2)

очередях

при

зкспоненцн альном

рас

пределении

длительности

обслужи-

ванна

При неупорядоченной очереди вероятность

Р( > t) зависит не только от числа ожидающих вы­зовов в момент

поступления рассматриваемого вызова, но и от количества вызо­вов, поступающих потом в течение времени ожида­ния, что приводит к гро-

моздким аналитическим