7. Приведены для сравнения кривые распределения времени ожидания вызовов при упорядоче нной и неупорядоченной очередях.

Среднее время ожидания обслуживания не зависит от дисциплины очереди и в условных едини­цах времени определяется из выражений:

Расчет вероятности условных потерь и среднего времени ожидания при постоянной длитель­ности обслуживания. Рассматриваемая модель отличается от предыдущей временем обслуживания, которое в этом случае предполагается постоянной величиной. Постоянное время обслуживания, в отличие от экспоненциального распределения длительности занятия (3.1), не обладает свойством отсутствия последействия. Поэтому при определении распределения вероятностей P (>t) необхо­димо учитывать не только количество вызовов, находящихся на обслуживании, но и моменты окон­чания каждого из них; это приводит к громоздким и неудобным для вычисления аналитическим вы­ражениям, которые поэтому заменяют семейством соответствующих кривых.

Y

и

-Л

1

V-Л

(4.24)

При неупорядоченной очереди (случайном выборе на обслуживание) и однолинейной модели ( V= 1) обычно пользуются кривыми Бёрке (рис. 4.8а), а при упорядоченной очереди — кривыми Кроммелина (рис. 4.86). При постоянной длительности обслуживания средняя длительность ожида­ния обслуживания по отношению к задержанным вызовам меньше времени ожидания при случайной длительности обслуживания и определяется по формуле

Пример 4.1

РМ)

0.00!

0,000!

При обслуживании с явными потерями с вероятностью потерь по вызовам p_B<10°/o опреде­лить количество линий (прибо­ров) однозвенного ПДВ, если поток телефонных вызовов от N=100 абонентских линий имеет в ЧНН интенсивность 180 выз/ч, среднее время обслуживания одного занятия составляет h=100 с. Вычислить нагрузку, обслу­женную этим ПДВ.

Решение. Поскольку теле­фонные вызовы поступают слу­чайно и число создающих их источников N=100, можно пред­положить, что характеристики потока вызовов близки к харак­теристикам простейшего потока вызовов Поэтому при решении задачи можно использовать мо­дель простейшего потока с пара­метром Л=ц=180 выз/ч. Прини­мая среднее время одного заня-

постоянной

длительности обслужива­

кня

ет нелинейным

мутационным

очереди;

чешюп

ком­

устроист-

неупорядоченной

в >порядо-

очереди

тия h=100 с за условную единицу времени, имеем Л=(180/3600)х 100=5 выз/усл.ед. вр.

Обслуживанию простейшего потока ПДВ в режиме с явными потерями соответствует модель, рассчитываемая по пер­вой формуле Эрланга. Учитывая, что вероятность потерь по вызовам р_в=р^рн=р, и подставляя значения р=0,010 и Л=5 выз/усл. ед. вр. в (4.3), получим

5

V!

0,010 >

, _с 5² 5³ 5^{V :}

Рис

4.8.

Р(1)

Распределение

1 + 5 + + +... +

времени

Ожидания

при

2! 3! V!

или в символической записи 0,010>E_V(5).

Для решения уравнения используем табл. 4.1. Поскольку при V' = 10 потери составляютр-Е₁₀(5)=0,018385, а при V" = 11 они равны р"=Е_п(5)=0,008287, то в соответствии с условием потребуется V=11 приборов. Воспользовавшись (4.11) и учитывая, что Г=Л=5, определим обслуженную нагрузку

Y = Y(1 - Pv ) = Y[1 - Ev (Y)] = 5[1 - E_u (5)] = 4,96 Эрл.

Пример 4.2. Определить емкость полнодоступного пучка линий при обслуживании с явными потерями с ве­роятностью потерь по вызовам р_В<0,010,. если обслуженная им телефонная нагрузка, создаваемая N=50 источниками, составляет Y_o=2,36 Эрл.

Решение. Поскольку число источников телефонной нагрузки N<100. а вызовы поступают случайно, то в качестве модели потока вызовов можно принять поток вызовов ВОЧИ. Определим интенсивность одного источника в единицу свободного времени. Для этого воспользуемся формулой (4.17), предварительно решив ее относительно а и подставляя значения Y₀, N и р_В:

а =

Y₀

(N - Yo)(1 - p_B)

236

(50 - 2,36)(1 - 0,010)

0,050 выз./усл. ед. вр.

Моделью обслуживания ПДВ потока ВОЧИ в режиме с явными потерями является формула Энгеста (4.14). Подставляя в нее значения N=50, а=0,05 и р_В=0,10, имеем

0,05^ГС;, £0,05 С

0,010 >

Х=0

Для решения уравнения воспользуемся табл. 4.2. Так, имеем

рВ = f (N = 50; V' = 6; а = 0,05) = 0,02017;

рВ = f (N = 50; V" = 7; а = 0,05) = 0,006158.

Отсюда следует, что емкость ПДВ составляет семь линий.

Пример 4.3. Определить условные потери, долю вызовов, обслуживаемых с ожиданием, и среднее время ожидания обслуживания, если создаваемая 1200 источниками вызовов телефонная нагрузка Y=0,6 Эрл обслуживается однолинейным устройством при случайном выборе вызова из очереди и постоянной длительности обслуживания h=25 мс. Допустимое время ожидания составляет Г_доп=100 мс.

Решение. Условиям задачи соответствует математическая модель Бёрке. По кривой (рис. 4.8) при a=Y/V=0,6/1=0,6 Эрл для значений t=0 и t=t_OT/h=100/25=4 усл. ед. вр. определяем: Р(>0)=0,600, или 60% всех вызовов обслуживаются с ожида­нием, P(>t=4 усл. ед. вр.)=0,030, или 3% всех вызовов обслуживаются с временем ожидания больше 100 мс, и Р(>0)— Р(>4)=0,60—0,03=57% всех вызовов обслуживаются с временем ожидания меньше 100 мс. Среднее время ожидания обслу­живания задержанных вызовов (4.25) составляет

Гэ

h

2(V -Л)

25

2(1 - 0,6)

31,2 мс.